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高考数学考前冲刺押题预测 双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 新课标Ⅲ）双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（2024 天津）已知双曲线1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
4．（2024 天津）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
5．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．y2＝1 D．x21
6．（2024 全国）设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024 新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（2024 四川）过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（　　）
A． B．2 C．6 D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 枣庄模拟）已知P为双曲线C：y2＝1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（　　）
A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1 k2＝﹣3
B．mn
C．4m+n的最小值为
D．|AB|的最小值为
（多选）10．（2024 南通模拟）已知双曲线C：1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，圆O：x2+y2＝a2+5，P是双曲线C与圆O的一个交点，且tan∠PF2F1＝3，则下列结论中正确的有（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．点F1到一条渐近线的距离为
C．△PF2F1的面积为5
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
（多选）11．（2024 山东模拟）关于双曲线C1：1与双曲线C2：1，下列说法正确的是（　　）
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
（多选）12．（2023 重庆模拟）如图，过曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．S△OAP＝S△OBP
C．S△AOB＝b
D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率e＝2
三．填空题（共4小题）
13．（2024 辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　 　．
14．（2024 北京）已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为　 　；C的焦点到其渐近线的距离是　 　．
15．（2024 湖南）设F是双曲线C：1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 　 　．
16．（2024 北京）双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 湖北）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．
18．（2024 北京）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求m的值．
19．（2024 天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
20．（2024 陕西）已知双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，，求△AOB面积的取值范围．
高考数学考前冲刺押题预测 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c＝2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c＝2，，即，，
解得a＝1，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
2．（2024 新课标Ⅲ）双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF的顶点P的坐标，然后求解面积即可．
【解答】解：双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：yx，不妨P在第一象限，
可得tan∠POF，P（，），
所以△PFO的面积为：．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3．（2024 天津）已知双曲线1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2＝4，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2＝4，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x bx＝2b，
∴x＝±1
将A（1，）代入x2+y2＝4，可得14，∴b2＝12，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
4．（2024 天津）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），
则直线l的方程为y＝﹣b（x﹣1），
∵双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
∴b， （﹣b）＝﹣1，
∴a＝1，b＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
5．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．y2＝1 D．x21
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，
∴，
∴ba，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2＝4，
∴a＝1，b，
∴双曲线的方程为x21．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．
6．（2024 全国）设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】双曲线的焦点三角形．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】设|PF1|＝x，|PF2|＝y，根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2＝90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积
【解答】解：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，（x＞y）
根据双曲线性质可知x﹣y＝4，
∵∠F1PF2＝90°，
∴x2+y2＝20
∴2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝4
∴xy＝2
∴△F1PF2的面积为xy＝1
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系
7．（2024 新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
分别将x＝a，代入可得y＝±b，
即D（a，b），E（a，﹣b），
则S△ODEa×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
8．（2024 四川）过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（　　）
A． B．2 C．6 D．4
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．
【解答】解：双曲线x21的右焦点（2，0），渐近线方程为y，
过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，x＝2，
可得yA＝2，yB＝﹣2，
∴|AB|＝4．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 枣庄模拟）已知P为双曲线C：y2＝1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（　　）
A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1 k2＝﹣3
B．mn
C．4m+n的最小值为
D．|AB|的最小值为
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】先求出双曲线C的渐近线方程：y，设点P（x0，y0），利用点线距离公式求出m，n，再利用直线之间的关系求出直线PA，PB的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及mn为定值可判断C正确，由余弦定理可得|AB|的最小值，判断D正确．
【解答】解：如右图所示，设P（x0，y0），则．由题设条件知：
双曲线C的两渐近线：l1：y，l2：y．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1，k2，
所以k1 k2＝﹣3，故A选项正确；
由点线距离公式知：|PA|＝m，|PB|＝n，
∴mn||，故B选项错误；
∵4m+n≥442，所以C不正确；
由四边形AOBP中，所以∠APB＝120°，
|AB|，所以D正确，
故选：AD．
【点评】本题考查双曲线的性质，及点到直线的距离公式，及均值不等式的应用，属于中档题．
（多选）10．（2024 南通模拟）已知双曲线C：1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，圆O：x2+y2＝a2+5，P是双曲线C与圆O的一个交点，且tan∠PF2F1＝3，则下列结论中正确的有（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．点F1到一条渐近线的距离为
C．△PF2F1的面积为5
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
【考点】双曲线的几何特征；命题的真假判断与应用．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】依题意，圆O：x2+y2＝a2+5的直径为双曲线C：1（a＞0）的焦距|F1F2|，作图，对ABCD四个选项逐一分析即可得到答案．
【解答】解：∵双曲线C：1（a＞0），
∴c2＝a2+5，
又圆O：x2+y2＝a2+5，
∴圆O的半径为c，
∴|F1F2|为圆O的直径，∴∠F1PF2，
故作图如下：
对于A，∵tan∠PF2F1＝3，∴tan∠PF2F13，∴|PF1|＝3|PF2|，令|PF2|＝m（m＞0）），则|PF1|＝3m，
∴|F1F2|2＝（3m）2+m2＝10m2，∴|F1F2|m＝2c，又|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2m，
∴双曲线C的离心率e，故A正确；
对于B，由于F1到渐近线y＝±x的距离d，故B正确；
对于C，由离心率e得a2，c25，
∴|F1F2|＝2cm，
∴m|PF2|，|PF1|＝3m，
∴△PF2F1的面积为5，故C错误；
对于D，由a2，得双曲线C的方程为：1（a＞0），故其两条渐近线方程为：y＝±x，即x±y＝0，
设M（p，q）为双曲线C上任意一点，则1，即1①，
M（p，q）到两条渐近线的距离d1，d2，
∴d1 d2 2，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查命题的真假判定与应用，考查逻辑思维能力与数学运算能力，属于难题．
（多选）11．（2024 山东模拟）关于双曲线C1：1与双曲线C2：1，下列说法正确的是（　　）
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；规律型；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】CD
【分析】求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可．
【解答】解：双曲线C1：1的顶点坐标（±3，0），渐近线方程：4x±3y＝0，离心率为：，焦距为10．
双曲线C2：1，即：，它的顶点坐标（±4，0），
渐近线方程：3x±4y＝0，离心率为：，焦距为10．
所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
（多选）12．（2023 重庆模拟）如图，过曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．S△OAP＝S△OBP
C．S△AOB＝b
D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率e＝2
【考点】双曲线的切线方程及性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出A，B的坐标，即可得，由x0的取值范围即可得|AB|min＝2b，从而可判断A，由中点坐标公式可判断P是A，B的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D．
【解答】解：先求双曲线上一点P（x0，y0）的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由，得，所以，
则在P（x0，y0）的切线斜率，
所以在点P（x0，y0）处的切线方程为：，
又有，化简即可得切线方程为：．
不失一般性，设P（x0，y0）是双曲线在第一象限的一点，
A（x1，y1）是切线与渐近线在第一象限的交点，
B（x2，y2）是切线与渐近线在第四象限的交点，
双曲线的渐近线方程是y＝±bx，
联立：，解得：，
联立：，解得：，
则，
又因为x0≥1，所以|AB|，即|AB|min＝2b，A错误；
由，
可知P（x0，y0）是A，B的中点，所以S△OAP＝S△OBP，B正确；
易知点D的坐标为，
则，
当点P（x0，y0）在顶点（1，0）时，仍然满足S△AOB＝b，C正确；
因为，所以，，
因为，则，解得，即，
代入，得，
所以，
，
所以，
所以c2＝4，c＝2，所以离心率，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查导数的几何意义，求在双曲线上一点P（x0，y0）的切线方程，双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　9　．
【考点】双曲线上的点与焦点的距离．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据|PA|+|PF′|≥|AF′|＝5两式相加求得答案．
【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），
∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|＝2a＝4
而|PA|+|PF′|≥|AF′|＝5
两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．
故答案为9．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．
14．（2024 北京）已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为　（3，0）　；C的焦点到其渐近线的距离是　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．
【解答】解：双曲线C：1，则c2＝a2+b2＝6+3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为（3，0），
其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
则点（3，0）到渐近线的距离d，
故答案为：（3，0），．
【点评】本题考查了双曲线的方程和其性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题．
15．（2024 湖南）设F是双曲线C：1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m＝﹣c，n＝2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m＝﹣c，n＝2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
1，
可得e25，
解得e．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．
16．（2024 北京）双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝　2　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，
∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，
即a＝b，
∵正方形OABC的边长为2，
∴OB＝2，即c＝2，
则a2+b2＝c2＝8，
即2a2＝8，
则a2＝4，a＝2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 湖北）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可得a2+b2＝4，得到a和b的关系，把点（3，）代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2＝4求得b，双曲线方程可得．
（2）可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2＝4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），
将点（3，）代入上式，得．解得a2＝18（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线方程为．
（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6＝0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（）∪（1，）．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2，x1x2，
于是，|EF|
而原点O到直线l的距离d，
∴S△OEF．
若S△OEF，即，解得k＝±，
满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y和．
【点评】本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．
18．（2024 北京）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求m的值．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b2＝c2﹣a2求得b，进而可得双曲线的方程．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0，把点M代入圆的方程气的m．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴b2＝c2﹣a2＝2，
∴所求双曲线C的方程为．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0（判别式Δ＞0），
∴m，y0＝x0+m＝2m，
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2＝5上，
∴m2+（2m）2＝5，∴m＝±1．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力
19．（2024 天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．
（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
由题设得，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0）．
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20＝0．
此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且Δ＝（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．
整理得m2+5﹣4k2＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．
从而线段MN的垂直平分线方程为．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，k≠0．
将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．
解得或．
所以k的取值范围是．
【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．
20．（2024 陕西）已知双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，，求△AOB面积的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（﹣n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB＝2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax﹣by＝0的距离为，
∴，
由，得
∴双曲线C的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x．
设A（m，2m），B（﹣n，2n），m＞0，n＞0．
由得P点的坐标为，
将P点坐标代入，化简得．
设∠AOB＝2θ，∵，∴，，．
又
∴．
记，，
由S'（λ）＝0得λ＝1，又S（1）＝2，，，
当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当时，
△AOB的面积取得最大值．
∴△AOB面积的取值范围是．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．
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