资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 统计
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
2．（2024 北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A．90 B．100 C．180 D．300
3．（2024 湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
4．（2024 新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
5．（2024 福建模拟）已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程x必过点（　　）
x
0 1 2 3
y
1 3 5 7
A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0）
6．（2024 天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（　　）
A．10 B．18 C．20 D．36
7．（2024 江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
8．（2024 新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线yx+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 重庆模拟）一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝4 B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为
（多选）10．（2024 衡水模拟）2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2019年12月～2020年12月）
根据散点图选择和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
R2 0.923 0.973
注：是样本数据中x的平均数，是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是（　　）
A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系
B．由预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米
C．曲线与都经过点（，）
D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好
（多选）11．（2024 城厢区校级模拟）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（　　）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
（多选）12．（2024 青岛模拟）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（　　）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是　 　．
14．（2024 辽宁）调查了某地若干户家庭的收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加　 　万元．
15．（2024 江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　 　．
16．（2024 上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
18．（2024 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2．
19．（2024 安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]．
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
20．（2024 新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] （200，400] （400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
高考数学考前冲刺押题预测 统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【考点】用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】转化思想；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
【解答】解：选项A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65；
同理选项B：E（x）＝2.5，D（x）＝1.85；
选项C：E（x）＝2.5，D（x）＝1.05；
选项D：E（x）＝2.5，D（x）＝1.45；
故选：B．
【点评】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．
2．（2024 北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A．90 B．100 C．180 D．300
【考点】分层随机抽样．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】C
【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600＝9：16，即可得出结论．
【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600＝9：16，
因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（2024 湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；概率与统计；新文化类．
【答案】B
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（2024 新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【考点】折线统计图．
【专题】图表型；探究型；概率与统计．
【答案】A
【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
5．（2024 福建模拟）已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程x必过点（　　）
x
0 1 2 3
y
1 3 5 7
A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0）
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】C
【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上．
【解答】解：回归方程必过点（，），
∵，4，
∴回归方程过点（1.5，4）．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归直线一定过样本中心点，本题是一个基础题．
6．（2024 天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（　　）
A．10 B．18 C．20 D．36
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；概率与统计；数据分析．
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43，5.47）的频率，再乘以样本的个数即可．
【解答】解：直径落在区间[5.43，5.47）的频率为（6.25+5）×0.02＝0.225，
则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为0.225×80＝18个，
故选：B．
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
7．（2024 江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【考点】求随机数法抽样的样本．
【专题】图表型．
【答案】D
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
8．（2024 新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线yx+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】样本相关系数．
【专题】规律型．
【答案】D
【分析】所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线yx+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线yx+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 重庆模拟）一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是（　　）
A．x＝4 B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】BCD
【分析】由一组数据的平均数是中位数的倍，列方程求出x＝5，由此求出众数、中位数、方差，从而能求出结果．
【解答】解：一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，
∵这组数据的平均数是中位数的倍，
∴（2+3+3+x+7+10），
解得x＝5，故A错误；
众数为3，故B正确；
中位数为4，故C正确；
平均数为：（2+3+3+5+7+10）＝5，
方差为：[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（10﹣5）2]，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、众数、中位数、方差等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
（多选）10．（2024 衡水模拟）2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2019年12月～2020年12月）
根据散点图选择和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
R2 0.923 0.973
注：是样本数据中x的平均数，是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是（　　）
A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系
B．由预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米
C．曲线与都经过点（，）
D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】直接由散点图判断A；取x＝16求得y值判断B；分别写出两回归方程所过样本点的中心判断C；由对应的相关指数的平方判断D．
【解答】解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误；
2021年3月，此时x＝16，代入，求得1.0509，故B正确；
曲线经过点（，），曲线经过点（ln，），故C错误；
因为0.973＞0.923，所以模型回归曲线的拟合效果比模型的好，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查散点图，考查两随机变量间的关系的应用，是基础题．
（多选）11．（2024 城厢区校级模拟）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（　　）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】计算题；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】AC
【分析】把数据从小到大依次排列然后根据标准差公式，由此可求出标准差、众数、平均数．
【解答】解：平均数：
众数为：出现次数最多的2和3
标准差：，
将数据按从小到大顺序排列，则1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
一共10个数，i＝10×85%＝8.5，
8.5不是整数，则第9项5是第85百分位数，
故选：AC．
【点评】主要考查标准差、众数、平均数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用．
（多选）12．（2024 青岛模拟）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（　　）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
【考点】频率分布折线图、密度曲线．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图直接求解．
【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：
在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：
x1＝（30+40+35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，
该企业2019年7月至12月的总利润约为：
（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，
∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；
在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：
（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；
在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，
∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；
在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是　0.1　．
【考点】方差．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）＝5.1，
∴该组数据的方差：
S2[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]＝0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．
14．（2024 辽宁）调查了某地若干户家庭的收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加　0.254　万元．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．
【解答】解：∵对x的回归直线方程．
∴0.254（x+1）+0.321，
∴0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321＝0.254．
故答案为：0.254．
【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．
15．（2024 江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　90　．
【考点】茎叶图．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．
【解答】解：根据茎叶图中的数据知，
这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，
它们的平均数为（89+89+90+91+91）＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．
16．（2024 上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝　36　．
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a+b＝13，3，解得a，b，再算出答案即可．
【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，
因为中位数是3，所以3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，
所以ab＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，
∴抽取比例为，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取255户．
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
18．（2024 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；转化思想；分析法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K215.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）＝（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则有K215.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.02+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；
比较可得：12，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直方图．
19．（2024 安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]．
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
【考点】补全频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，
故所求的概率为P．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．
20．（2024 新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] （200，400] （400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；定义法；概率与统计；数学建模；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得答案；
（3）由公式计算k的值，从而查表即可，
【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：；
该市一天的空气质量等级为2的概率为：；
该市一天的空气质量等级为3的概率为：；
该市一天的空气质量等级为4的概率为：；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：
[100×（2+5+6+7）+300×（16+10+7+2）+500×（25+12+8+0）]＝350，
（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，
人次≤400 人次＞400 总计
空气质量好 33 37 70
空气质量不好 22 8 30
总计 55 45 100
由表中数据可得：K25.820＞3.841，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
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