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高考数学考前冲刺押题预测 椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2024 来宾模拟）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
2．（2024 新课标）设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 乙卷）设B是椭圆C：y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2024 乙卷）设B是椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．[，1） B．[，1） C．（0，] D．（0，]
5．（2024 湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2
6．（2024 佛山模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （　　）
A． B．2 C．2 D．
7．（2024 福建期末）设F1（﹣4，0）、F2（4，0）为定点，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
8．（2024秋 玉溪校级期中）椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 福州期末）已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx（k≠0）与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形AF1BF2为平行四边形
B．∠F1PF2＜90°
C．直线BE的斜率为k
D．∠PAB＞90°
（多选）10．（2024 山东模拟）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（　　）
A．a﹣c＝m+R B．a+c＝n+R
C．2a＝m+n D．
（多选）11．（2024 德州一模）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（　　）
A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
（多选）12．（2024 无锡一模）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝　 　时，点B横坐标的绝对值最大．
14．（2024 浙江）已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　 　．
15．（2024 辽宁）已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|＝　 　．
16．（2024 浙江）椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新课标Ⅱ）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
18．（2024 新课标Ⅱ）椭圆C：1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
19．（2024 天津）设椭圆1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
20．（2024 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
高考数学考前冲刺押题预测 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 来宾模拟）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|＝|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2＝a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．
【解答】解：由题意可得c＝2，设右焦点为F′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P＝∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′＝180°知，
∠FPO+∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|8，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|＝2a＝4+8＝12，从而a＝6，得a2＝36，
于是 b2＝a2﹣c2＝3616，
所以椭圆的方程为1．
故选：C．
【点评】本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a2，b2，属于中档题．
2．（2024 新课标）设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|＝|F2F1|，根据P为直线x上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|
∵P为直线x上一点
∴
∴
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
3．（2024 乙卷）设B是椭圆C：y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】求出B的坐标，设P（，sinθ），利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．
【解答】解：B是椭圆C：y2＝1的上顶点，所以B（0，1），
点P在C上，设P（，sinθ），θ∈[0，2π），
所以|PB|
，
当sinθ时，|PB|取得最大值，最大值为．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4．（2024 乙卷）设B是椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．[，1） B．[，1） C．（0，] D．（0，]
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设P（x0，y0），可得|PB|22by0+a2+b2，y0∈[﹣b，b]，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．
【解答】解：点B的坐标为（0，b），设P（x0，y0），
则1，
∴a2（1），
故|PB|2（y0﹣b）2＝a2（1）+（y0﹣b）22by0+a2+b2，y0∈[﹣b，b]，
又对称轴y00，
当b时，即b≥c时，
则当y0＝﹣b时，|PB|2最大，此时|PB|＝2b，
故只需要满足b，即b2≥c2，则a2﹣c2≥c2，
所以e，
又0＜e＜1，
故e的范围为（0，]，
当b时，即b＜c时，
则当y0时，|PB|2最大，
此时|PB|2a2+b22b2+c2≥22b2＝4b2，
当且仅当c2即b＝c时等号成立，
又b＜c，所以|PB|2＞4b2，即|PB|＞2b，
故不满足题意，
综上所述的e的范围为（0，]，
方法二：根据题意，有B（0，b），设P（x0，y0），则|PB|≤2b （y0﹣b）2≤4b2，
也即a2（1）+（y0﹣b）2≤4b2，
不妨设b＝1，则 y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）2y0﹣a2+3≥0，
也即 y0∈[﹣1，1]，（y0+1）[（a2﹣1）y0﹣a2+3]≥0，
也即 y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）y0﹣a2+3≥0，
从而可得（a2﹣1）（﹣1）﹣a2+3≥0 a∈（1，]，
从而离心率的取值范围为（0，]，
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．
5．（2024 湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【考点】椭圆的几何特征；双曲线的几何特征；余弦定理．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为4c2＝4a2﹣3r1r2，
即，②
在双曲线中，①化简为4c2＝4r1r2，
即，③
联立②③得，4，
由柯西不等式得（1）（）≥（1）2，
即（）
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由，得，
∴，
令m，
当时，，
∴，
即的最大值为，
法3：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，
则a1+a2＝m，
则，
由正弦定理得，
即sin（120°﹣θ）
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
6．（2024 佛山模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （　　）
A． B．2 C．2 D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．
【解答】解：如图，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，
若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|m，
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，
即有4a＝2mm，即m＝2（2）a，
则|AF2|＝2a﹣m＝（22）a，
在直角三角形AF1F2中，
|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，
即4c2＝4（2）2a2+4（1）2a2，
∴c2＝（9﹣6）a2，
则e29﹣6，
∴e．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．
7．（2024 福建期末）设F1（﹣4，0）、F2（4，0）为定点，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【考点】椭圆的定义．
【专题】向量与圆锥曲线．
【答案】D
【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上，从而得到结论．
【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，
∵|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，
∴点M在线段F1F2上．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．（2024秋 玉溪校级期中）椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；待定系数法．
【答案】A
【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．
【解答】解：椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 福州期末）已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx（k≠0）与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形AF1BF2为平行四边形
B．∠F1PF2＜90°
C．直线BE的斜率为k
D．∠PAB＞90°
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由椭圆的对称性可判断A；由b＝c，以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，可判断B；联立直线y＝kx和椭圆方程，结合直线的斜率公式可判断C；求得直线BE的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得P的坐标，由向量的数量积的性质，计算可判断D．
【解答】解：直线y＝kx（k≠0）与C交于A，B两点，由椭圆的对称性可得O为AB的中点，又O为F1F2的中点，
可得四边形AF1BF2为平行四边形，故A正确；
由椭圆方程可得a＝2，b＝c，以F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P在圆外，可得∠F1PF2＜90°，
故B正确；
由y＝kx与椭圆方程x2+2y2＝4联立，可得A（，），B（，），
即有E（，0），kBEk，故C正确；
设直线BE的方程为yk（x），联立椭圆方程x2+2y2＝4，
可得（1）x24＝0，
由xP，解得xP，即有P（，），
可得（，），（，），
即有 0，可得⊥，即∠PAB＝90°，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的性质，考查化简运算能力，属于难题．
（多选）10．（2024 山东模拟）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（　　）
A．a﹣c＝m+R B．a+c＝n+R
C．2a＝m+n D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意可知：a﹣c﹣R＝m，a+c﹣R＝n，从而求出a，c的值，进而求出的b值，推出结果．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：a﹣c﹣R＝m，a+c﹣R＝n，可得a﹣c＝m+R，所以A正确；a+c＝R+n，所以B正确；
可得aR，c．
则b2＝a2﹣c2＝（R）2﹣（）2＝（m+R）（n+R）．
则．所以D正确；
故选：ABD．
【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题．
（多选）11．（2024 德州一模）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（　　）
A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【考点】椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．
【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A正确；
根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即1越小，则e越大，椭圆越扁，故C不正确．
因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆的性质，到焦点的最大值最小值的情况及椭圆的圆扁与向径的比值的关系，属于中档题．
（多选）12．（2024 无锡一模）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小
【考点】椭圆的几何特征；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于曲线上任意取一点，由题意可以判断选项A，由椭圆方程中变量有范围限制，进而可以确定选项BC，再利用导数可以判断出选项D．
【解答】解：选项A：圆的方程为：，
所以圆上任意一点曲率半径为R4 R﹣3＝R，故A正确；
选项B，C：当a＞b＞0时，
（），
因为∈[0，a2]，所以∈[，]，
所以∈[，]，
所以曲半径的最大值为，最小值为，
故B错误，C正确；
选项D：a2，
令f（a），a＞1，
0，
∴R在（1，+∞）上随a增大而增大，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了新概念，曲线任意点的曲率，应用导数研究变化趋势，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝　5　时，点B横坐标的绝对值最大．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22＝m﹣（）2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值时m的值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（0，1），2，
可得﹣x1＝2x2，1﹣y1＝2（y2﹣1），
即有x1＝﹣2x2，y1+2y2＝3，
又x12+4y12＝4m，
即为x22+y12＝m，①
x22+4y22＝4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝﹣3m，
可得y1﹣2y2＝﹣m，
解得y1，y2，
则m＝x22+（）2，
即有x22＝m﹣（）2，
即有m＝5时，x22有最大值4，
即点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．
14．（2024 浙江）已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．
【解答】解：椭圆1的a＝3，b，c＝2，e，
设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，
连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，
设P的坐标为（m，n），可得3m＝4，可得m，n，
由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为
．
另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，|FF'|＝2c＝4，
可得cos∠PFF'，
sin∠PFF'，
可得直线PF的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．（2024 辽宁）已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|＝　12　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．
【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|＝2a＝6，
∴|AN|+|BN|＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．
16．（2024 浙江）椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接QF1，QF，
设QF与直线yx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，
在Rt△MOF中，tan∠MOF，|OF|＝c，
可得|OM|，|MF|，
故|QF|＝2|MF|，|QF1|＝2|OM|，
由椭圆定义得|QF|+|QF1|2a，得b＝c，
∴ac，
故e．
【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新课标Ⅱ）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；数形结合法；换元法；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用直接法不难得到方程；
（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；
（ii）利用S，代入已得数据，并对换元，利用“对号”函数可得最值．
【解答】解：（1）由题意得，
整理得曲线C的方程：，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）
（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），
E（x0，0），G（xG，yG），
∴直线QE的方程为：，
与联立消去y，
得，
∴，
∴，
∴，
∴
，
把代入上式，
得kPG
，
∴kPQ×kPG1，
∴PQ⊥PG，
故△PQG为直角三角形；
（ii）S△PQG
令t，则t≥2，
S△PQG
利用“对号”函数f（t）＝2t在[2，+∞）的单调性可知，
f（t）（t＝2时取等号），
∴（此时），
故△PQG面积的最大值为．
【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．
18．（2024 新课标Ⅱ）椭圆C：1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（1）．
（2）证明见解答．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】（1）解：椭圆C：1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：．
（2）证明：设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把直线y＝kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，
故xM，yM＝kxM+b，
于是在OM的斜率为：KOM，即KOM k．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
19．（2024 天津）设椭圆1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA＝∠MAO，得到x0＝1，转化为关于k的等式求得k的值．
【解答】解：（1）由，
得，
即，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．
∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA＝∠MAO，
∴x0＝1，
再设H（0，yH），
联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
Δ＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．
由根与系数的关系得，
∴，，
MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）（x﹣x0），
令x＝0，得yH＝（k）x0﹣2k，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x1+y1yH＝1[（k）x0﹣2k]＝0，
整理得：1，即8k2＝3．
∴k或k．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（2024 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由OP⊥MN，运用斜率之积为﹣1，解方程即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e，a2﹣b2＝c2，
解得a，c＝1，
可得椭圆方程为1；
（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，
代入椭圆方程4x2+5y2＝20，
可得（4+5k2）x2+20kx＝0，
解得x或x＝0，
即有P（，），
y＝kx+2，令y＝0，可得M（，0），
又N（0，﹣1），OP⊥MN，
可得 1，解得k＝±，
可得PB的斜率为±．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．
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