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高考数学考前冲刺押题预测 相等关系与不等关系
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标）当0＜x时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
2．（2024 上海）下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab
C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab
3．（2024 重庆）若函数f（x）＝x（x＞2），在x＝a处取最小值，则a＝（　　）
A．1 B．1 C．3 D．4
4．（2024 全国）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（　　）
A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3 D．log20.3＜20.3＜0.32
5．（2024 新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
6．（2024 包头模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 海拉尔区校级二模）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 如东县期末）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 南海区校级模拟）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（　　）
A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1
C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1
（多选）10．（2024 南岗区校级期中）已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝16，则（　　）
A．ab的最大值为8
B．2a+b的最小值为8
C．a+b的最小值为63
D．的最小值为
（多选）11．（2024 皮山县校级期末）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）
A．a2+b2≥2ab B．
C． D．
（多选）12．（2024 普宁市期末）下列结论正确的是（　　）
A．若x＜0，则的最大值为﹣2
B．若a＞0，b＞0，则
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则的最大值为9
D．若x∈[0，2]，则的最大值为2
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是 　 　．
14．（2024 河东区二模）已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是　 　．
15．（2024 天津）设a+b＝2，b＞0，则当a＝　 　时，取得最小值．
16．（2024 天津模拟）已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 　 　；
四．解答题（共4小题）
17．（2024 信阳期中）（1）已知x＜2，求f（x）x的最大值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝9，求的最小值．
18．（2024 黄陵县校级月考）已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．
19．（2024 肃南裕县校级期末）（1）已知x，求函数y＝4x﹣2的最大值；
（2）已知x＞0，y＞0且1，求x+y的最小值．
20．（2024 嘉峪关校级三模）已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．
（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2
（2）若f（x）＝x2﹣x+1，x1≠x2，求证：|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|
高考数学考前冲刺押题预测 相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标）当0＜x时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x时恒成立
∴
解得a＜1
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
2．（2024 上海）下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab
C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑思维．
【答案】B
【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD．
【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；
C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；
D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．
3．（2024 重庆）若函数f（x）＝x（x＞2），在x＝a处取最小值，则a＝（　　）
A．1 B．1 C．3 D．4
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．
【解答】解：f（x）＝xx﹣22≥4
当x﹣2＝1时，即x＝3时等号成立．
∵x＝a处取最小值，
∴a＝3
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．
4．（2024 全国）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（　　）
A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3 D．log20.3＜20.3＜0.32
【考点】不等式比较大小．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．
【解答】解：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1
∴log20.3＜0.32＜20.3
故选：C．
【点评】本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．
5．（2024 新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
【考点】其他不等式的解法；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】D
【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，
函数y是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．
6．（2024 包头模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用；等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【答案】A
【分析】由 a7＝a6+2a5求得q＝2，代入求得m+n＝6，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6+2a5，可得 ，∴q2﹣q﹣2＝0，∴q＝2．
∵，∴qm+n﹣2＝16，∴2m+n﹣2＝24，∴m+n＝6，
∴，当且仅当 时，等号成立．
故 的最小值等于 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．
7．（2024 海拉尔区校级二模）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用．
【答案】A
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y＝1，
则1，化为：xy，当且仅当2x＝y时取等号．
∴xy的最大值为．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2024 如东县期末）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据“乘1法”，可得（）（x+y），展开后，结合基本不等式可推出（4+m+2），解此不等式即可．
【解答】解：∵xy＞0，且x+y＝2，∴x＞0，y＞0，
∴（）（x+y）（4+m）（4+m+2）（4+m+2），
当且仅当即x＝2y时，等号成立，
∵不等式恒成立，
∴（4+m+2），化简得，m+45≥0，
解得1，即m≥1，
∴m的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 南海区校级模拟）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（　　）
A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1
C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1
【考点】不等式比较大小．
【答案】AD
【分析】A将a2﹣b2＝1，分解变形为（a+1）（a﹣1）＝b2，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；BC可通过举反例的方法证明其错误性；D若a＞b，去掉绝对值，将a3﹣b3＝1分解变形为（a﹣1）（a2+1+a）＝b3，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题D正确．
【解答】解：若a2﹣b2＝1，则a2﹣1＝b2，即（a+1）（a﹣1）＝b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b＜a+1，即a﹣b＜1，A正确；
若，可取a＝7，b，则a﹣b＞1，∴B错误；
若，则可取a＝9，b＝4，而|a﹣b|＝5＞1，∴C错误；
由|a3﹣b3|＝1，
若a＞b＞0，则a3﹣b3＝1，即（a﹣1）（a2+a+1）＝b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1
若0＜a＜b，则b3﹣a3＝1，即（b﹣1）（b2+1+b）＝a3，∵b2+1+b＞a2，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1
∴|a﹣b|＜1，∴D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题．
（多选）10．（2024 南岗区校级期中）已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝16，则（　　）
A．ab的最大值为8
B．2a+b的最小值为8
C．a+b的最小值为63
D．的最小值为
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对已知条件进行变形，然后结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为a，b为正实数，且16＝ab+2a+b≥ab+2，当且仅当2a＝b时取等号，
解得0＜ab≤8，即ab的最大值为8，A正确；
由16＝ab+2a+b得b，
所以2a+b＝2a2（a+1）44＝8，
当且仅当2a+2，即a＝2时取等号，B正确；
a+b＝aa+13，当且仅当a+1即a＝3时取等号，C正确；
2，当且仅当a＝1＝b+2时取等号，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（2024 皮山县校级期末）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）
A．a2+b2≥2ab B．
C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】综合题．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A对
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
∵ab＞0
∴
故选：AD．
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．
（多选）12．（2024 普宁市期末）下列结论正确的是（　　）
A．若x＜0，则的最大值为﹣2
B．若a＞0，b＞0，则
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则的最大值为9
D．若x∈[0，2]，则的最大值为2
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】直接利用均值不等式的应用和关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于x＜0，所以﹣x＞0，故，则，当且仅当x＝﹣1时，等号成立，故A正确；
对于B：由于若a＞0，b＞0，利用均值不等式，则，故B正确；
对于C：若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则（）（a+4b）＝1+45+4＝9（当且仅当a，b时等号成立），故C错误；
对于D：若x∈[0，2]，则，当且仅当x时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是 　　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】方法一、由已知求得x2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；
方法二、由4＝（5x2+y2） 4y2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．
【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2，
由x2≥0，可得y2∈（0，1]，
则x2+y2y2（4y2）
2，当且仅当y2，x2，
可得x2+y2的最小值为；
方法二、4＝（5x2+y2） 4y2≤（）2（x2+y2）2，
故x2+y2，
当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2，x2时取得等号，
可得x2+y2的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．
14．（2024 河东区二模）已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是　　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】．
【分析】可根据得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：∵，
∴，且a＞0，b＞0，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
15．（2024 天津）设a+b＝2，b＞0，则当a＝　﹣2　时，取得最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于a+b＝2，b＞0，从而，（a＜2），设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
【解答】解：法一：
∵a+b＝2，b＞0，
∴，（a＜2）
设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a），
f′（a），当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a＝﹣2时，取得最小值．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a时，取得最小值．
综合，则当a＝﹣2时，取得最小值．
法二：
因为a+b＝2，b＞0，
要取得最小值，则a＜0，
则，
，
当且仅当，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，
因为a+b＝2，
所以a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
16．（2024 天津模拟）已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 　10+4　；
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据条件消掉b，即将b代入原式得4，并乘“1”法，最后运用基本不等式求其最小值
【解答】解：∵ab，a，b∈（0，1），
∴b，
∴1﹣a＞0，1﹣b＝10，
∴2a﹣1＞0，
∴，
，
4，
4，
＝2（）+4，
＝2（）[（2﹣2a）+（2a﹣1）]+4，
＝2（1+2）+4，
≥2（3+2）+4＝2（3+2）+4＝10+4，
当且仅当时，即a时取等号，
故的最小值为10+4，
故答案为：10+4
【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，乘1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 信阳期中）（1）已知x＜2，求f（x）x的最大值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝9，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可得f（x）x﹣2+2＝2﹣（），然后结合基本不等式即可求解；
（2）由题意可得（）（x+y），然后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为x＜2，则f（x）x﹣2+2＝2﹣（）4，
当且仅当2﹣x即x＝﹣1时取等号，此时取得最大值﹣4；
（2）∵x，y是正实数，且x+y＝9，
则（）（x+y）（4），
当且仅当且x+y＝9即x，y时取等号，此时取得最小值．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
18．（2024 黄陵县校级月考）已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．
【考点】不等关系与不等式；简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．
【解答】解　设α+3β＝λ（α+β）+v（α+2β）
＝（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得，
从而解出λ＝﹣1，v＝2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
【点评】用待定系数法，利用不等式的性质解决，是基础题．
19．（2024 肃南裕县校级期末）（1）已知x，求函数y＝4x﹣2的最大值；
（2）已知x＞0，y＞0且1，求x+y的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；
（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵x，∴4x﹣5＜0．
∴y＝4x﹣53＝﹣[（5﹣4x）]+3
≤﹣23＝1，当且仅当x＝1时取等号．
∴ymax＝1．
（2）∵x＞0，y＞0且1，
∴x+y＝（x+y）1010+216，当且仅当y＝3x＝12时取等号．
∴x+y的最小值为16．
【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．
20．（2024 嘉峪关校级三模）已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．
（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2
（2）若f（x）＝x2﹣x+1，x1≠x2，求证：|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|
【考点】不等关系与不等式．
【专题】证明题；压轴题；不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用|x|＜a型绝对值不等式的几何意义可证得2＜x1+x2＜6，继而有|x1﹣x2|＝|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，从而可证得结论；
（2）依题意可求得|f（x1）﹣f（x2）|＝|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，利用（1）的结论即可证得原结论成立．
【解答】证明：（1）∵|x1﹣2|＜1，
∴﹣1＜x1﹣2＜1，即1＜x1＜3，…（2分）
同理1＜x2＜3，
∴2＜x1+x2＜6，…（4分）
∵|x1﹣x2|＝|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，
∴|x1﹣x2|＜2； …（5分）
（2）|f（x1）﹣f（x2）|＝|x1+x2|＝|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）
∵2＜x1+x2＜6，
∴1＜x1+x2﹣1＜5，
∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）
【点评】本题考查不等关系与不等式的证明，考查逻辑推理与分析证明的能力，属于难题．
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