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高考数学考前冲刺押题预测 圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024 安徽）直线x+y＝1与圆x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，）
C．（，） D．（0，）
2．（2024 全国）圆x2+y2＝1上的点到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值是（　　）
A．6 B．4 C．5 D．1
3．（2024 山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）
A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．4x﹣y﹣3＝0 D．4x+y﹣3＝0
4．（2024 大纲版）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|＝（　　）
A．4 B． C．8 D．
5．（2024 安徽）过点P（，﹣1）的直线l与圆x2+y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]
6．（2024 江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
7．（2024 安徽）直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则b＝（　　）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
8．（2024 重庆）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）
A．2 B．6 C．4 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 山东模拟）已知点A是直线上一定点，点P、Q是圆x2+y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（2024 厦门期末）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2+4x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是（　　）
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为
（多选）11．（2024 怀宁县校级期中）已知点A（2，0），圆C：（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，则a的取值可能是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．0
（多选）12．（2024 宁阳县校级期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　）
A．|PQ|的最小值为0
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　 　．
14．（2024 新课标Ⅲ）已知直线l：xy+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝　 　．
15．（2024 新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是　 　．
16．（2024 山东）圆心在直线x﹣2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 河西区模拟）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，），且圆心C在直线y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
18．（2024 四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．
19．（2024 山东学业考试）已知⊙O：x2+y2＝1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
20．（2024 南山区校级模拟）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2＝4，定直线m：x+3y+6＝0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
高考数学考前冲刺押题预测 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 安徽）直线x+y＝1与圆x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，）
C．（，） D．（0，）
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，所以圆心（0，a），半径r＝a，
由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y＝1的距离dr＝a，
当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1a，即a（1）＞1，因为a＞0，无解；
当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1a，即（1）a＜1，a1，
所以a的范围是（0，1）
故选：A．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相离时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道中档题．
2．（2024 全国）圆x2+y2＝1上的点到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值是（　　）
A．6 B．4 C．5 D．1
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】B
【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．
【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25＝0的距离是，所以圆x2+y2＝1上的点到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值是5﹣1＝4
故选：B．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．
3．（2024 山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）
A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．4x﹣y﹣3＝0 D．4x+y﹣3＝0
【考点】切点弦及所在直线的方程．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出另一个切线斜率，得到选项即可．
【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为y＝1，切点之一为（1，1），
显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；
另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．
4．（2024 大纲版）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|＝（　　）
A．4 B． C．8 D．
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【答案】C
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为x2﹣10x+17＝0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2| 的值．
【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，
设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），
则有|a|，||b|，
故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2＝x2 的两个实数根，
即a和b分别为x2﹣10x+17＝0 的两个实数根，∴a+b＝10，ab＝17，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝32，∴两圆心的距离|C1C2| 8，
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．
5．（2024 安徽）过点P（，﹣1）的直线l与圆x2+y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】D
【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．
【解答】解：由题意可得点P（，﹣1）在圆x2+y2＝1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，
则直线方程为 y+1＝k（x），即 kx﹣yk﹣1＝0．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1，
即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
6．（2024 江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|＝|CE|＝r，过点O作直线2x+y﹣4＝0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4＝0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．
【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，
由已知得|OC|＝|CE|＝r，
过点O作直线2x+y﹣4＝0的垂直线段OF，
交AB于D，交直线2x+y﹣4＝0于F，
则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4＝0的距离为：
d，
此时r
∴圆C的面积的最小值为：Smin＝π×（）2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
7．（2024 安徽）直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则b＝（　　）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；直线与圆．
【答案】D
【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．
【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
∴圆心坐标为（1，1），半径为1，
∵直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，
∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b＝0的距离等于圆的半径，
即，解得：b＝2或b＝12．
故选：D．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
8．（2024 重庆）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）
A．2 B．6 C．4 D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】B
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC2，CB＝R＝2，
∴切线的长|AB|6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 山东模拟）已知点A是直线上一定点，点P、Q是圆x2+y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用直线与圆的方程画出图形，利用排除法判断A的位置即可得到选项．
【解答】解：设点A坐标为（t，t），当AP、AQ均为圆切线时，∠PAQ＝90°，
此时四边形PAQO为正方形，则|OA|，即t2+（t）2＝2，
解得t＝0，t，
故A（0，），B（，0），
故选：AC．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．
（多选）10．（2024 厦门期末）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2+4x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是（　　）
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为
【考点】圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆O：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径R＝2，
圆M：x2+y2+4x﹣2y+1＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，其圆心为（﹣2，1），半径r＝2，
依次分析选项：
对于A，两圆相交，有两条共切线，A正确，
对于B，圆O和圆M的半径相等，则线段OM的垂直平分线为AB，则圆O与圆M关于直线AB对称，B正确，
对于C，联立，化简可得4x﹣2y+5＝0，即AB的方程为4x﹣2y+5＝0，
O到AB的距离d，则|AB|＝22，C错误；
对于D，|OM|，则|EF|的最大值为|OM|+R+r4，D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查圆方程的综合应用，涉及圆与圆的位置关系、直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
（多选）11．（2024 怀宁县校级期中）已知点A（2，0），圆C：（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，则a的取值可能是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．0
【考点】圆的标准方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABC
【分析】设P（x，y），由PA2+PO2＝10得到P的轨迹为（x﹣1）2+y2＝4，圆C：（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，即两圆（x﹣1）2+y2＝4与（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1有交点，再由圆心距与两圆半径间的关系列不等式组求解．
【解答】解：设P（x，y），A（2，0），
由PA2+PO2＝10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2＝10，
整理得：（x﹣1）2+y2＝4．
圆C：（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，
即两圆（x﹣1）2+y2＝4与（x﹣a﹣1）2+（ya）2＝1有交点，
则1＝2﹣12+1＝3，
解得|a|．
∴a的取值可能是1，﹣1，．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
（多选）12．（2024 宁阳县校级期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　）
A．|PQ|的最小值为0
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，由圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于A、B，由圆与圆的位置关系分析|PO|的最小值、最大值，可得A错误，B正确；对于C，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得C正确，对于D，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得D错误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1，
圆心距|C1C2|5，
则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A错误，B正确；
对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k，C错误，
对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意如图可得AB与半径BC的关系，再由切线的斜率可得|AB|的值．
【解答】解假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，
则可得tan∠ADO，所以cot∠BAC，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，
由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC| cot∠BAC，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．
14．（2024 新课标Ⅲ）已知直线l：xy+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝　4　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d3，
∴|AB|＝22，
∵直线l：xy+6＝0，∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，设直线与x轴交于M点，
∴，，
∴CD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（2024 新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是　[﹣1，1]　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】[﹣1，1]．
【分析】法一：根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
法二：判断M的位置，利用圆的性质，转化求解即可．
【解答】解：法一：由题意画出图形如图：点M（x0，1），
要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN＝1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
法二：如图：
对圆O的张角为90°的点的轨迹为以圆O为圆心，为半径的圆内，
因此只需要点M在该圆内（包括圆上），可得x0的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．
16．（2024 山东）圆心在直线x﹣2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4　．
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由圆心在直线x﹣2y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r＝|2t|，
∵圆C截x轴所得弦的长为2，
∴t2+3＝4t2，
∴t＝±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t＝﹣1不符合题意，舍去，
故t＝1，2t＝2，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 河西区模拟）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，），且圆心C在直线y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．
【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y＝0，与x﹣y＝0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，
所以圆C的方程为x2+y2＝4；
（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），
∴直线l的方程为yk（x﹣1），即y＝kxk，
则圆心（0，0）到直线的距离d，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则有，
解得：k，
则直线l的方程为yx．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
直线l的方程：x＝1或yx．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．
18．（2024 四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y＝kx上，将Q坐标代入直线y＝kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）将y＝kx代入x2+（y﹣4）2＝4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12＝0（*），
根据题意得：Δ＝（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），
∴|OM|2＝（1+k2）x12，|ON|2＝（1+k2）x22，|OQ|2＝m2+n2＝（1+k2）m2，
代入得：，
即，
由（*）得到x1+x2，x1x2，
代入得：，即m2，
∵点Q在直线y＝kx上，∴n＝km，即k，代入m2，化简得5n2﹣3m2＝36，
由m2及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（，0）∪（0，），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n，
则n与m的函数关系式为n（m∈（，0）∪（0，））．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．
19．（2024 山东学业考试）已知⊙O：x2+y2＝1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【专题】压轴题；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可得 PQ2＝OP2﹣OQ2＝PA2，即 （a2+b2）﹣1＝（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．
（2）由于 PQ，利用二次函数的性质求出它的最小值．
（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP的最小值为，此时，求得b＝﹣2a+3，R取得最小值为1，从而得到圆的标准方程．
【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2＝OP2﹣OQ2．
由已知PQ＝PA，可得 PQ2＝PA2，即 （a2+b2）﹣1＝（a﹣2）2+（b﹣1）2．
化简可得 2a+b﹣3＝0．
（2）∵PQ，
故当a时，线段PQ取得最小值为．
（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．
而OP，故当a时，PO取得最小值为，
此时，b＝﹣2a+3，R取得最小值为1．
故半径最小时⊙P 的方程为 ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．
20．（2024 南山区校级模拟）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2＝4，定直线m：x+3y+6＝0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算；直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y＝3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．
（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|＝1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．
（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t的代数表达式，再讨论t是否为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，故kl＝3，
所以直线l的方程为y＝3（x+1）．
将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x＝﹣1符合题意；（4分）
当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x+1），由于，
所以|CM|＝1．由，解得．
故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0．（8分）
（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，
又A（﹣1，0）则，，故．即t＝﹣5．（10分）
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5＝0．
则，，
即，．
又由得，
则．
故t．
综上，t的值为定值，且t＝﹣5．（14分）
另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，
故△ANR∽△AMC．于是有|AM| |AN|＝|AC| |AR|．
由，得|AM| |AN|＝5．
故．（14分）
另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，
所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，
由相交弦定理得．（14分）
【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．
（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．
（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．
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