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第一章 数的认识
第1节 整 数
知识点一 整数的分类
1.自然数
(1)在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4…叫做自然数。一个物体也没有，用“0”表示，“0”也是自然数。所有的自然数都是整数。
(2)最小的自然数是“0”，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
2.整数的分类
温馨提示：自然数都是整数，但它只是整数的一部分，不能说“整数都是自然数”。
知识点二 整数的组成
1.计数单位
(1)个(一)、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿等都是计数单位。
(2)每相邻两个计数单位之间的进率都是十。像这样每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫十进制计数法。
2.数位和位数
(1)在计数时，计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位。同一个数字所在数位不同，表示数的大小也就不同。
(2)位数是指一个数用几个数字写出来(最左端数字不能是0)，有几个数字就是几位数，或者说，一个自然数含有几个数位就是几位数。
整数数位顺序表
数级 …… 亿级 万级 个级
数位 …… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位
计数单位 …… 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 (一)
知识点三 整数的读写
1.整数的读法
先分级再从最高级读起；亿级、万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”或“万”字，每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
2.整数的写法
先分级，再从最高级写起；数位上是几就写几，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
知识点四 整数的大小比较
比较两个整数的大小时，可以按照下面的规则来比较：
(1)位数不相同的两个数，位数多的数就大。
(2)位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位的数相同，就比较下一个数位上的数……
知识点五 整数的改写
有时为了读写方便，常常把一些较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
改写时，如果是整万或整亿的数，只要省略万位或亿位后面的0，换成一个“万”或“亿”字；如果不是整万或整亿的数要在万位或亿位的右边，点上小数点，去掉小数点末尾的0，在数的后面加上“万”或“亿”字。改写后的数与原数相等，用“=”连接。
知识点六 整数的近似数
在生产和生活中，人们经常使用近似数。求整数的近似数，可以用“四舍五入”法。是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高位上的数是小于5，还是等于或大于5。省略尾数后的数与原数不相等，用“≈”连接。
经 典 例 题
【例1】 在+4,—3,—9,0,80,19,—6中,正整数有( )，负整数有( )，自然数有( )。
【答案】 +4、80、19 - 3、--9、--6 +4、0、80、19
【例2】 一个数由2个亿、4个千万、9个百万、7个万、8个千和5个一组成，这个数写作( )，省略亿位后面的尾数约是( )，改写成以“万”作单位的数是( )。
【答案】 249078005 2亿 24907.8005万
【例3】 比较下面每组中两个数的大小。
(1)989898和 1010100
(2)649000 和 694000
【答案】 < <
【例4】 用三个8 和三个0组成的六位数中，一个零都不读出的最小的六位数是( )，只读出一个零的最大的六位数是( )，读出两个零的六位数是( )。
【答案】 808800 880800 800808
分 级 训练
基础过关
一、填空题。
1.450380是( )位数,它读作( ),其中5 在( )上,表示( )个( )。
2.长江流域的面积是一百八十万八千五百平方千米，横线上的数写作( )平方千米；改写成以“万”为单位的数是( )万平方千米，把这个数四舍五入到万位约是( )万平方千米。
3.在8 和5 之间添加( )个零是八十万零五。
4.与最小的五位数相邻的两个数是( )和( )。
5.一个数由6个亿，38个万，69个百组成，这个数写作( )，省略万后面的尾数约是 ( )。
6.在下面的□中填上适当的数字，使第一个数最接近50亿，第二个数最接近15万
4□76300000 153□72
7.2109403 是( )位数,最高位是( )位。 其中“1”在( )位上,表示( )位上,表示( ),“4”在( )。
8.比较下面各组数的大小。
100000 99999 1024000 1014000 67549208 67549280
11万 110000 1亿 10000 万 一千三百二十万 12300000
9.用三个5 和三个0组成的六位数中，一个零都不读的最小的六位数是( )，只读出一个零的最大的六位数是( )，读出两个零的六位数是( )。
二、判断题。
1.最小的自然数是1。 ( )
2.个位、十位、百位……都是计数单位。 ( )
3.若把平均成绩记作0分，+3表示比平均成绩高3分，则比平均成绩少5分，记作-5分。
( )
4.与亿位相邻的是万位和十亿位。 ( )
5.用三个3和两个0组成一个五位数，要求这个五位数中的两个0都读出来，则组成的五位数是30303。 ( )
6.一个九位数的近似值是6亿，这个数最大是599999999。 ( )
能力提升
三、选择题。
1.下面各数在读数时一个0也不读的是( )。
A.620080000 B.35009000 C.700200600 D.80500000
2.下列数中，和45万最接近的数是( )。
A.452001 B.448999 C.450008 D.449000
3.8个十万，5个千，6个一组成的数是( )。
A.80506 B.850560 C.805006 D.80056
4.若565□504≈566万,那么□里可以填的数字的个数有( )。
A.5个 B.4个 C.2个 D.3个
5.如果3个连续自然数的和是45，那么紧接在它们后面的3个连续自然数的和是( )。
A.48 B.51 C.54 D.46
四、解决问题。
用8、0、0、0、3、4、1这七个数字组成一个七位数，使它满足下列要求
1.最大的七位数
2.最小的七位数
3.所有的零都不读出来的七位数(写出3个即可)
4.3个零都读出来的七位数(写出3个即可)
思维拓展
五、一个七位数省略万位后面的尾数后是732万，这个七位数最大是多少 最小是多少
第2节 因数与倍数
知识点一 因数和倍数
1.定义：在整数除法中，如果商是整数，而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
温馨提示：在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是自然数(一般不包括0)。
2.因数和倍数的关系及特点
(1)因数和倍数是相互依存的。
(2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
(3)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
(4)一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。
知识点二 2，5，3倍数的特征
1. 2的倍数:个位上是0,2,4,6,8的数。
2.5的倍数：个位上是0或5的数。
3.3的倍数：各个数位上数字的和是3的倍数的数。
知识点三 奇数和偶数
1.整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。最小的偶数是0，最小的奇数是1。
2.奇数±奇数=偶数 奇数±偶数=奇数
偶数±偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
知识点四 质数、合数与分解质因数
1.质数、合数与分解质因数
(1)质数：一个数，如果只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。
(2)合数：一个数，如果除了1 和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。
(3)质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。如:30=2×3×5,其中2,3,5本身是质数,又是30的因数，所以都是30的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数的方法：
①对于一个较小的数，可采用塔式分解图进行分解。如
40=2×2×2×5
②短除法。如 30=2×3×5
知识点五 最大公因数和最小公倍数
1.定义
(1)公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数。只有公因数1的两个数叫做互质数。
(2)公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
2.求最大公因数和最小公倍数
一般地，求几个数的最大公因数，最小公倍数通常用短除法。
用短除法求几个数的最大公因数时，先用这几个数的公因数连续去除，直到所得的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来。
用短除法求几个数的最小公倍数时，先用所有数的公因数去除.然后用任意两个数的公因数去除，直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的几个商连乘起来。
温馨提示：①如果两个数中小数是大数的因数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。②如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。
经 典 例 题
【例1】 判断。
(1)任何一个自然数最少有两个因数。( )
(2)一个数的倍数一定大于这个数的因数。( )
【答案】 (1)× (2)×
【例2】 20以内(不包括20)；既是偶数又是质数的数是( )，是奇数但不是质数的数是( )。
【答案】 2 1、9、15
【例3】 4□6□既是2的倍数,又是3和5的倍数，这个四位数是多少
【答案】 4260或4560或4860
【例4】 有四个小朋友，他们的年龄是四个相邻的自然数。将他们的年龄数相乘，积是5040。这四个小朋友的年龄分别是( )岁、( )岁、()岁。)岁、(
【答案】 7 8 9 10
分 级 训 练
基础过关
一、填空题。
1.在12的所有因数中，是质数的有( )，是合数的有( )。
2.在1~9的自然数中，奇数有( )，偶数有( )，合数有 ( )，质数有( ),3的倍数有( )。
3.按要求在方框里填数。
(1)□□两个数位上的数一样，并且是5的倍数。
(2)35□既是2的倍数，又是5的倍数。
(3)既是2的倍数，又是5的倍数的最小的三位数是□□□。
4.15和40公有的因数有( )，公有的质因数有( )。
5.四个连续奇数的最小公倍数是315，这四个数中最大的一个数是( )。
6.已知 A=2×3×5×7,B=2×3×5×5,A、B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
7. a和b的最大公因数是1，则最小公倍数是( )。
8.两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144，这两个数的和是84，这两个数分别是( )和( )。
9.一个十位数，最高位上是最小的质数，十万位上是最小的合数，千位上是最大的一位数，百位上是与它的倒数相等的数，其余各位上是最小自然数，这个数写作( )，省略万位后面的尾数约是( )。
二、判断题。
1.除2外，所有的质数都是奇数。 ( )
2.两个合数一定不是互质数。 ( )
3.正整数a、b满足a>b,则a+b与a-b的奇偶性相同。 ( )
4.一个数的倍数总比这个数的因数大。 ( )
5.如果两个质数的和仍然是质数，那么它们的积一定是偶数。 ( )
6.三个连续非0自然数的积一定是6的倍数。 ( )
能力提升
三、选择题。
1.1、3、7都是21的( )。
A.质因数 B.公因数 C.因数 D.奇数
2.12、24 和36的公因数有( )个。
A.5 B.6 C.7 D.8
3.在等式 N=6×9=2×3×3×3中,6和9都是N的( )。
A.质数 B.质因数 C.因数 D.倍数
4.一个合数至少有( )个因数。
A.2 B.3 C.4 D.1
5.从0、3、5、6这4个数字中选择3个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )。
A.305 B.350 C.360 D.365
四、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数
36 和72 45和120 17和23
五、解决问题。
1.一张长105cm，宽75cm的长方形铁皮，要分成若干张大小完全相同的正方形铁皮且无剩余，这张长方形铁皮最少可以分成多少张正方形铁皮
2.一个自然数除以10余7，除以6余3，除以4余1。这个自然数最小是多少
3.甲乙两个齿轮相互咬合，甲有24个齿，乙有40个齿。甲的某一齿与乙的某一齿接触后，至少需要各转几周才能再次接触
4.实验室的地板是用一种长60cm，宽45cm的长方形砖铺成的。用这样的长方形砖铺地，至少要几块才能铺成正方形
思维拓展
六、从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆相距50米，现在改成每两根电线杆相距60米，除两端两根不需移动外，中间还有多少根不需移动
参考答案：
第1节
一、1.六 四十五万零三百八十 万 5 万 2.1808500180.85181 3.4
4.9999 10001 5.600386900 60039万 6.90
7.七 百万 十万 1个十万 百 4个百 8.> > <= = >
9.505500 550500 500505
二、1.× 2.× 3. 4.× 5. 6.×
三、1. B 2. C 3. C 4. A 5. C
四、1.8431000 2.1000348 3.8003410 30084104003810(不唯一)
4.3010804 1030804 8040301(不唯一)
五、最大 7324999 最小7315000
第2节
一、1.2,3 4,6,12 2.1,3,5,7,9 2,4,6,8 4,6,8,9 2,3,5,73,6,9 3.(1)5 5 (2)0 (3)1 0 0 4.1,5 5 5.9 6.301050 7. ab 8.36 48 9.2000409100 200041万
二、1. 2.× 3. 4.× 5. 6.
三、1. C 2. B 3. C 4. B 5. C
四、(1)最大公因数36 最小公倍数72 (2)最大公因数15 最小公倍数360 (3)最大公因数1 最小公倍数391
五、1.
7 5
3×5=15(cm)
105÷15=7(张)
75÷15=5(张)
7×5=35(张)
2. 2
2×5×3×2=60
60-3=57
3.2×2×2×3×5=120(个)
甲:120÷24=5(周)
乙:120÷40=3(周)
4.
5×3×4×3=180(cm)
180÷60=3(块)
180÷45=4(块)
3×4=12(块)
六、50和60的最小公倍数是300，则每隔300米有一根不需移动(37-1)×50=1800(米)
1800÷300=6(根) 6-1=5(根)

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