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南充高中高2024级第二学期第二次月考
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟 总分：150分 ）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中
的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国
首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下
选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），
在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角
分别为、，测得，则按此法测得的
雷峰塔塔高为（ ）
A．68 B．70 C．72 D．74
5．向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积
为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且BD=3DC，AE=2EC，
BE与AD交于点M，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．复数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的有（ ）
A．长方体是平行六面体
B．正四棱柱是正方体
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．棱台的侧面是梯形
10．已知点在所在平面内，则下列叙述正确的有（ ）
A．若，则点是的外心
B．若，则点是的外心
C．若，则点是的垂心
D．若，则点是
的内心
11．下列选项中，正确的有（ ）
A．为第二象限角，则.
B．.
C．.
D．的值与的大小无关.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算 .
13．已知，则 .
14．在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且，则
面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知复数，且是实数．
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
16.（15分）已知，，且与共线.
求的值；
若，求的值.
17.（15分）已知分别为三个内角A，B，C的对边，且.
求角A；
若，求的周长取值范围.
18.（17分）已知两点，是函数
图象上相邻的最高点和最低点.
求函数的解析式；
用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；
将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值.
19.（17分）对于常数集合和变量，定义为相对集合的“元余弦方差”.
（1）若集合，，求相对集合的二元余弦方差；
（2）当集合，时，求相对集合的三元的余弦方差；
（3）在直角坐标系中，已知，，，为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在的图像上，是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.高2024级第二次月考数学答案
单选题 DCBC DDAD
多选题 9. ACD 10. AC 11. BD
填空题 12. 13. 14.
解答题
15解：（1）是实数，则，得，则 ....7分
，
复数对应的点在第四象限，则，得
故的取值范围是 .....................................13分
16解：（1）由与共线得：，则
， ........................................6分
则 ........................................8分
（2）由（1）知，，则
故或，或 ........................................15分
17解：（1）由已知得
即，
又，则，，
又，故， ........................................7分
（2）若，根据正弦定理有
则
，则，，，故 ..........15分
另 若，根据余弦定理有
即，当且仅当取“”，故
又，所以
18解：（1）由已知有，且，， ....................................2分
， ........................................4分
点是函数图象上的最高点，则，
，所以， ........................................6分
（2）用“五点法”画函数在一个周期内的简图
令，则，列表如下
........................................10分
描点作图如图所示 ........................................12分
注：没列表扣2分，作图不规范（如5个关键点有误或曲线走势有误）扣2分
将函数的图象向右平移个单位长度所得函数为
，其图象关于轴对称，则
，又，所以 ........................................17分
19解：（1）因为集合，，
由余弦方差的计算公式，可得 ........................................4分
（2）因为集合，时，由余弦方差的计算公式，可得
........................................10分
（3）当时，可得一元余弦方差为 ...........................11分
则，可得， ..........12分
又点P在的图像上，故设点，可得，
由，可得，
即 ........................................14分
所以，
可得，因，，
可得，而，故要成立，
当且仅当时，，此时，，
即当点时， ........................................17分
注：若直接得出方程的解为，只给结论分1分.

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