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2025年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
（2025 届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷）
试卷共 5页，完卷时间 120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核
对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位
置书写作答，在试卷上答题无效．
3．辅助线作图可先使用 2B铅笔画出，确定后必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔确定．
4．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回．
姓名： 准考证号： 座位号：
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题意的。）
1．已知集合 = ∣ 2 ≤ 4 ， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =
A．{ 1,0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{ 2, 1,0,1,2} D．{ 1,0,1,2}
2．若 3 + + 4 = 6 + 8i，则 =
A． 2 B． 3 C．2 D．2 2
3．已知向量 = , 2 , = 1,2 ，若 ⊥ ，则 =
A． 5 B．25 C．5 D．2 5
4．已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 3) = ( 1)，且 ( 1)是奇函数，则下列结论错误的
是
A． ( 1) = 0 B． (0) = (2) C． ( 4) = (4) D． (11) = 1
5 cos( π．已知 ) 3cos = 1，则 sin(2 π ) =
6 6 6
A． 35 B 17． C 17 35． D．
36 18 18 36
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长 50%．截止
至 2025年，其算力已提升至 2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力
预计在哪一年首次突破 7500PetaFLOPS？ （参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.477，lg5 ≈ 0.699）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
数学试卷 — 1— （共 5页）
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
7．已知一个圆台的上，下底面半径分别为 1和 4，高为 3 3．若该圆台内有一个正方体，且该正
方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为
A 9． B 8 27 27 3． C． D．
8 3 8 16
8．已知 1, 2, 3, 4是等差数列， 1, 2, 3, 4是公比为 的等比数列， ∈ 1,2,3,4 | = 为 3元
集，则 =
A 1 1． 或 2 B． C． 2 D．2
2 2
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个
选项是符合题意的。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。）
9．已知函数 = sin + > 0, > 0, π < < π 的部分图象如图所示，把函数
2
11
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到函数 = 的图象，则
10
A + π． 为偶函数
3
B． 的最小正周期是π
C 2π． 的图象关于直线 = 对称
3
D．将 5π 3π 7π图象向左平移 后，在 , 上单调递减
12 8 12
10．已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，过焦点的直线 与抛物线 交于 1, 1 ， 2, 2 两点，则
下列说法一定正确的是
A． ≥ 8 B． 1 2 = 4, 1 2 = 16
C．以 为直径的圆与直线 = 2相切 D．若点 2,0 ，则有 + = 0
4 1 , ≤ 1
11． = 21 1，下列说法正确的有log0.5 + , >2 2
A． 的减区间为 ∞,0 ∪ 1 , + ∞ B． 的值域为 ∞, 3
2 2
C．若 = 1有 3个零点，则 ∈ 0,1 D．若 = 有 5个零点，则 ∈ 0,
2
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
12．若(1 2 )5( + 2) = 0 + 1 + + 6 6，则 1 + 2 + …+ 6 = .
13．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一
只红铃虫的产卵数 y（个）和温度 ℃ 的 8组观测数据，制成图 1所示的散点图．现用两种模型①，
= e + ，② = 2 + 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到
图 2所示的残差图．
数学试卷 — 2— （共 5页）
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
根据收集到的数据，计算得到如下值：
8 8 8
8
=1
2
=1 =1
2 =1
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 = ln
1 1
， =
8
=1 ， =
2
， =
8 ；
8 8 =1
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出 y关于 x的回归方程是 .附：对于一组数据 1, 1 ，

, , = + = =1 2 2 ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，
2
=1
= ．（第一空 2分，第二空 3分）
14．已知点 为等腰△ 外接圆⊙ 上的一个动点， = 2 = 4，则 的取值范围
为 .
四、解答题（本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
已知数列 的前 n项和为 ， 1 = 3， +1 +1 = 2 + 3 .
1 （ ）求证：数列 是等差数列.3
（2 = ）设 ，数列 的前 n项和为 4 ，求 .
数学试卷 — 3— （共 5页）
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
16．（15分）
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1与 1 交于点 ，且 1 ⊥平面 1 1．
（1）求证： ⊥ ；
（2）若 = 2 ，求直线 与平面 1 1所成角的正弦值．
17．（15分）
2025亚冬会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某
校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级 12个班学生中每班随机选出 5名学生参加“体能
达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于 60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不
合格”的人数不超过总人数的 5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，
需要加强锻炼．
（1）已知某班级的 5名学生中，甲、乙 2位同学体能预测不合格，从这 5名学生中抽取 2名，记
X为抽取的 2名学生中体能合格的人数，求随机变量 X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用
2
五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 ，求甲在一轮
3
比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前 2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服
从正态分布 , 2 ．已知 = 74, = 7，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附：
< < + = 0.6826, 2 < < + 2 = 0.9544, 3 < < + 3 =
0.9974．
数学试卷 — 4— （共 5页）
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
18．（17分）
已知函数 = ln , ∈ .

（1）若 = 0， = 1，求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；
（2）若 = 1是 的极大值点，求 a的取值范围；
（3）在（2 2 ）的条件下，若 + ≥ 0对 ∈ 1, + ∞ 恒成立，求 a的取值范围.
e
19．（17分）
我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点 , 0 的距离与到定直线 ：
2 2 2 = > > 0 的距离之比为常数 的点的轨迹叫做双曲线，其方程为 2 2 = 1 > 0, > 0 ，
2 2
其中 2 = 2 2 ，此时 叫做该双曲线的右准线.已知双曲线 ： 2 2 = 1 > 0, > 0 的左、右
焦点分别为 1 2,0 ， 2 2,0 ，直线 ： = 1是 的右准线.
（1）求 的方程以及 的离心率；
（2）设 与 轴的交点为 ，过点 2的直线与 的右支相交于 A，B两点，
（i）以 ，A，B为其中的三个顶点作平行四边形 ，求平行四边形 面积的取值范围；
（ii）设直线 与直线 的交点为 P，点 P在 y轴上的射影为 Q，直线 ， 与 x轴的交点分别为
G ，H，则 2 是否为定值 若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
2
数学试卷 — 5— （共 5页）
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷
数 学
命题组寄语：同学们，本次试卷不提供详细评分细则，在未来，每位同学都可以做自己的正确答案！
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D C C B A
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项
是符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． 13．①（2分） （3分） 14．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分）
（1）证明：因为，可得，
所以，
两边同除以，
可得，
即，
又因为，
可得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
由（1）可得，
所以，
可得，
所以，
则.
两式相减，可得
，
所以.
（15分）
（1）证明：因为平面平面，
所以，
在直三棱柱中，，
又平面平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在直三棱柱中，，
所以．
（2）解：由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点，
分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为平面平面，所以，
在直三棱柱中，四边形是矩形，所以四边形是正方形．
不妨设，则，
所以，
则．
设直线与平面所成角为，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（15分）
解：（1）由题意的可能取值为，
所以，
所以的分布列为
1 2
（2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”，
所以，
所以，
，
所以；
（3）由已知有，所以，
所以 ，
所以高二年级学生体能检测合格.
18.（17分）
解：（1），时，，，
，
故，
故在点处的切线方程为；
（2）的定义域为，，
由于是的极大值点，
故，故，
所以，
令得或，
若，则，故在上单调递增，故不存在极大值点，舍去；
若，令得或，令得，
故是的极大值点，满足要求；
若，令得或，令得，
故是的极小值点，不合要求；
若，则恒成立，令得，令得，
故是的极小值点，不合要求；
综上，a的取值范围为；
（3）由题意得，，
且当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
要想对恒成立，只需，
即，
设，，
则，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，
又，
所以恒成立，
故在上单调递减，
又，
故a的取值范围为.
19.（17分）
解：（1）设的半焦距为，易知，
因为：为的右准线，
所以，
解得，
所以，
所以的方程为，离心率；
（2）（i）由已知可得直线不与轴垂直，
设其方程为，
联立，整理得，，
设，，
则，，
因为A，B在C的右支上，
所以，
解得.
设平行四边形的面积为S，易知，
则，
设，
则.
因为在区间内单调递减，
所以，
则，
故平行四边形面积的取值范围为；
（ii）联立，得，.
设，，
由A，G，Q三点共线，
得，
解得，
同理得，
所以
，
即的中点为，
故为定值1.2025年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
（2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷）
试卷共5页，完卷时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效．
3．辅助线作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔确定．
4．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回．
姓名： 准考证号： 座位号：
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C．2 D．
3．已知向量，若，则
A． B．25 C．5 D．2
4．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？ （参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
7．已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为
A． B． C． D．
8．已知是等差数列，是公比为的等比数列，为元集，则
A． B． C． D．2
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。）
9．已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则
A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．将图象向左平移后，在上单调递减
10．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法一定正确的是
A． B．
C．以为直径的圆与直线相切 D．若点，则有
11．，下列说法正确的有
A．的减区间为 B．的值域为
C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．若，则 .
13．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中，，，；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 .附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．（第一空2分，第二空3分）
14．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
已知数列的前n项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）设，数列的前n项和为，求.
16．（15分）
如图，在直三棱柱中，与交于点，且平面．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
2025亚冬会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附：．
18．（17分）
已知函数.
（1）若，，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极大值点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围.
19．（17分）
我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：
的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线.
（1）求的方程以及的离心率；
（2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点，
（i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围；
（ii）设直线与直线的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值 若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷
数 学
命题组寄语：同学们，本次试卷不提供详细评分细则，在未来，每位同学都可以做自己的正确答案！
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题意的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D C C B A
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项
是符合题意的。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BCD
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
12 5 13 2 = e0.3 4.3 3 14 14． ．①（ 分） （ 分） ． , 14
15
四、解答题（本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13 分）
（1）证明：因为 = 2 + 3 +1 +1 +1 ，可得 +1 = 2 + 3 ，
所以 +1 +1 = 3 + 3 ，
两边同除以3 +1，

可得 +1

+1 = + 1，3 3

即 +1
3 +1

3
= 1，
又因为 1 = 3，

可得 1 = 1 = 1，
3 3

所以数列
1
是首项为 ，公差为 1的等差数列.3 3
2 1 （ ）由（ ）可得 = 1 + 1 = ，3
所以 = 3 ，
3
可得 = 4 = ，4
1
= 1 × 3 + 2 × 3
2
+ 3 × 3
3 1
所以 + + 1 ×
3 + × 3 ，
4 4 4 4 4
3 3 2 3 4 +1
则 = 1 × + 2 ×
3 + 3 × 3 + + 1 × 3 + × 3 .
4 4 4 4 4 4
1 3 3 2 3 3 +1
两式相减，可得 = + + + +
3 × 3
4 4 4 4 4 4
1
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
3
4× 1
3
4 3 +1 +1= 3 × = 3 + 4 ×
3
，
1 4 44

所以 = 12 3 + 12 ×
3 .
4
16.（15 分）
（1）证明：因为 1 ⊥平面 1 1, 1 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 1 1，
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥ 1 1，
又 1 ∩ 1 = , 1 平面 1 1 , 1 平面 1 1 ，
所以 1 1 ⊥平面 1 1 ，
又∵ 平面 1 1 ，
所以 1 1 ⊥ ，
在直三棱柱 1 1 1中， // 1 1，
所以 ⊥ ．
（2）解：由（1）知 1 1, 1 , 1 1两两垂直，所以以 1为坐标原点，
分别以 1 1, 1 1, 1 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 1 ⊥平面 1 1, 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ 1，
在直三棱柱 1 1 1中，四边形 1 1是矩形，所以四边形 1 1是正方形．
不妨设 = 1 = 2 ，则 = ，
所以 2 , 0,2 , 1 2 , 0,0 , 0,0,2 , 0, , 2 ，
则 1 = 2 , 0,2 , = 2 , , 0 ．
设直线 与平面 1 1所成角为θ，
因为 1 ⊥平面 1 1，所以 1 是平面 1 1的一个法向量，
2
则 sinθ = cos 1 , =
1 4 10
1
= = ，
2 2 5 5
10
故直线 与平面 1 1所成角的正弦值为 ．5
17.（15 分）
解：（1）由题意 的可能取值为 0，1，2，
C2 1 C1C1 = 0 = 2 = , = 1 = 3 2 = 3
2
所以 2 2 , = 2 =
C3 = 3，
C5 10 C 5 C
2
5 5 10
所以 的分布列为
0 1 2
1 3 3

10 5 10
2
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
（2）令事件 表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件 1表示“甲以 3:1获胜”，事件 2表示“甲
以 3: 2获胜”，事件 表示“甲前 2局比赛均获胜”，
3 2 3
所以 = C1 × 1 × 2 = 81 3 , 2
1 2 16
3 3 27 2
= C4 × × = ，3 3 81
所以 = 1 + =
8 + 162 =
40
，
27 81 81
2
= 2 × 1 × 2 2
2 2
+ × 1 × 2 = 32，
3 3 3 3 3 3 243
32
4
所以 = = 243
40
= ；
15
81
（3）由已知有 = 74, = 7，所以 60 < < 88 = 2 < < + 2 = 0.9545，
所以 < 60 = > 88 = 1 1 60 < < 88 = 1 × 1 0.9545 ≈ 0.02275 < 5%，
2 2
所以高二年级学生体能检测合格.
18.（17 分）
解：（1） = 0， = 1时， = ln ， 1 = 1，
′ = 1 1，

故 ′ 1 = 1 1 = 0，
故 = 在点 1, 1 处的切线方程为 = 1；
（2 ） 的定义域为 0, + ∞ ， ′ = 1 + 2 ，
由于 = 1是 的极大值点，
故 ′ 1 = 1 + = 0，故 = + 1，
′ = 1 + +1
2
= +1 + = 1所以 ，
2 2 2
令 ′ = 0得 = 或 = 1，
= 1 ′ = 1
2
若 ，则 2 ≥ 0，故 在 0, + ∞ 上单调递增，故不存在极大值点，舍去；
若 > 1，令 ′ > 0得 > 或 0 < < 1，令 ′ < 0得 1 < < ，
故 = 1是 的极大值点，满足要求；
若 0 < < 1，令 ′ > 0得 > 1 或 0 < < ，令 ′ < 0得 < < 1，
故 = 1是 的极小值点，不合要求；
若 ≤ 0，则 > 0恒成立，令 ′ > 0得 > 1，令 ′ < 0得 0 < < 1，
故 = 1是 的极小值点，不合要求；
综上，a 的取值范围为 1, + ∞ ；
3
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
（3）由题意得 = + 1， > 1，
且当 > 时， ′ > 0，当 1 < < 时， ′ < 0，
故 在 1, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，
故 ≥ = 1 + 1 ln ，
2 2
要想 + ≥ 0对 ∈ 1, + ∞ 恒成立，只需 + ≥ 0，
e e
即 1 + 1 ln + 2 ≥ 0，
e
设 = 1 + 1 ln + 2 ， > 1，
e
则 ′ = 1 ln + 1 1+ 2 = ln 1 + 2，
e e
1 2
令 = ln + ， > 1，
e
则 ′ = 1+ 1 1 2 = 2 < 0恒成立，
故 在 ∈ 1, + ∞ 上单调递减，
2
又 1 = 1 + < 0，
e
所以 < 0恒成立，
故 在 ∈ 1, + ∞ 上单调递减，
又 e = e 1 e + 1 lne + 2 = 0，
故 a 的取值范围为 1,e .
19.（17 分）
解：（1）设 的半焦距为 > 0 ，易知 = 2，
因为 ： = 1 为 的右准线，
2
所以 = 1，

解得 2 = = 2，
所以 2 = 2 2 = 2，
2 2
所以 的方程为 = 1，离心率 = = 2；
2 2
（2）（i）由已知可得直线 不与 轴垂直，
设其方程为 = + 2 ≠± 1 ，
2 2 = 1
联立 2 2 ，整理得 2 1 2 + 4 + 2 = 0，Δ = 16 2 8 2 1 = 8 2 + 8 > 0，
= + 2
设 1, 1 ， 2, 2 ，
+ = 4 = 2则 1 2 2 ， 1 1 2 ， 2 1
因为 A，B 在 C 的右支上，
4
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
所以 1 2 =
2
2 < 0， 1
解得 2 < 1.
设平行四边形 的面积为 S，易知 1,0 ，
2
则 = 2 1△ = 2 × 2 1
2
2 = 1 + 2 4 =
2 2 +1
，
2 1 2 2 1
设 = 2 + 1 ∈ 1, 2 ，
2 2 2 2
则 = 2 = 2 . 2

因为 = 2 在区间 1, 2 内单调递减，

2
所以 ∈ 0,1 ，

则 ≥ 2 2，
故平行四边形 面积的取值范围为 2 2, + ∞ ；
ii = + 2 1（ ）联立 = 1 ，得 1, ， 0,
1 .

设 3, 0 ， 4, 0 ，
由 A，G，Q 三点共线，
1 1
得

= 1
+ ，
3 1
1+2 1
解得 = 3 1 = 1 + ， 1+ 1+
1

1
同理得 4 = 1 + +1，2
1 + + 21 2
所以 3 + = 2 +
2
4 1 11 2+ 1+ 2 + 2
1 4 2 4 2
= 2 +
2 + + 1 2 2 1 2
2 1 4 1 = 2 + 2 1 = 2 + 2 = 4，
2 + + + 1 2 1 2 2 1 2
即 的中点为 2 2,0 ，

故 2

为定值 1.
2
5
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}

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