资源简介
2025年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
(2025 届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷)
试卷共 5页,完卷时间 120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核
对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题答案用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位
置书写作答,在试卷上答题无效.
3.辅助线作图可先使用 2B铅笔画出,确定后必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔确定.
4.考试结束,考生必须将试卷和答题卡一并交回.
姓名: 准考证号: 座位号:
一、单项选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题所给出的四个选项中,只有一
个选项是符合题意的。)
1.已知集合 = ∣ 2 ≤ 4 , = { 1,0,1,2,3},则 ∩ =
A.{ 1,0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{ 2, 1,0,1,2} D.{ 1,0,1,2}
2.若 3 + + 4 = 6 + 8i,则 =
A. 2 B. 3 C.2 D.2 2
3.已知向量 = , 2 , = 1,2 ,若 ⊥ ,则 =
A. 5 B.25 C.5 D.2 5
4.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 3) = ( 1),且 ( 1)是奇函数,则下列结论错误的
是
A. ( 1) = 0 B. (0) = (2) C. ( 4) = (4) D. (11) = 1
5 cos( π.已知 ) 3cos = 1,则 sin(2 π ) =
6 6 6
A. 35 B 17. C 17 35. D.
36 18 18 36
6.2023年,深度求索(DeepSeek)公司推出了新一代人工智能大模型,其训练算力需求为
1000PetaFLOPS(千亿亿次浮点运算/秒).根据技术规划,DeepSeek的算力每年增长 50%.截止
至 2025年,其算力已提升至 2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问:DeepSeek的算力
预计在哪一年首次突破 7500PetaFLOPS? (参考数据:lg2 ≈ 0.301,lg3 ≈ 0.477,lg5 ≈ 0.699)
A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年
数学试卷 — 1— (共 5页)
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
7.已知一个圆台的上,下底面半径分别为 1和 4,高为 3 3.若该圆台内有一个正方体,且该正
方体在圆台内能任意转动,则该正方体棱长的最大值为
A 9. B 8 27 27 3. C. D.
8 3 8 16
8.已知 1, 2, 3, 4是等差数列, 1, 2, 3, 4是公比为 的等比数列, ∈ 1,2,3,4 | = 为 3元
集,则 =
A 1 1. 或 2 B. C. 2 D.2
2 2
二、多项选择题(本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题所给出的四个选项中,有多个
选项是符合题意的。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的不得分。)
9.已知函数 = sin + > 0, > 0, π < < π 的部分图象如图所示,把函数
2
11
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍,得到函数 = 的图象,则
10
A + π. 为偶函数
3
B. 的最小正周期是π
C 2π. 的图象关于直线 = 对称
3
D.将 5π 3π 7π图象向左平移 后,在 , 上单调递减
12 8 12
10.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ,过焦点的直线 与抛物线 交于 1, 1 , 2, 2 两点,则
下列说法一定正确的是
A. ≥ 8 B. 1 2 = 4, 1 2 = 16
C.以 为直径的圆与直线 = 2相切 D.若点 2,0 ,则有 + = 0
4 1 , ≤ 1
11. = 21 1,下列说法正确的有log0.5 + , >2 2
A. 的减区间为 ∞,0 ∪ 1 , + ∞ B. 的值域为 ∞, 3
2 2
C.若 = 1有 3个零点,则 ∈ 0,1 D.若 = 有 5个零点,则 ∈ 0,
2
三、填空题(本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。)
12.若(1 2 )5( + 2) = 0 + 1 + + 6 6,则 1 + 2 + …+ 6 = .
13.红铃虫(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一
只红铃虫的产卵数 y(个)和温度 ℃ 的 8组观测数据,制成图 1所示的散点图.现用两种模型①,
= e + ,② = 2 + 分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到
图 2所示的残差图.
数学试卷 — 2— (共 5页)
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
根据收集到的数据,计算得到如下值:
8 8 8
8
=1
2
=1 =1
2 =1
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 = ln
1 1
, =
8
=1 , =
2
, =
8 ;
8 8 =1
(1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,模型 比较合适?
(2)根据(1)中所选择的模型,求出 y关于 x的回归方程是 .附:对于一组数据 1, 1 ,
, , = + = =1 2 2 , ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ,
2
=1
= .(第一空 2分,第二空 3分)
14.已知点 为等腰△ 外接圆⊙ 上的一个动点, = 2 = 4,则 的取值范围
为 .
四、解答题(本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)
已知数列 的前 n项和为 , 1 = 3, +1 +1 = 2 + 3 .
1 ( )求证:数列 是等差数列.3
(2 = )设 ,数列 的前 n项和为 4 ,求 .
数学试卷 — 3— (共 5页)
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
16.(15分)
如图,在直三棱柱 1 1 1中, 1与 1 交于点 ,且 1 ⊥平面 1 1.
(1)求证: ⊥ ;
(2)若 = 2 ,求直线 与平面 1 1所成角的正弦值.
17.(15分)
2025亚冬会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情,掀起了青少年锻炼身体的热潮.某
校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高二年级 12个班学生中每班随机选出 5名学生参加“体能
达标”测试,并且规定“体能达标”测试成绩小于 60分的为“不合格”,否则为合格.若高二年级“不
合格”的人数不超过总人数的 5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,
需要加强锻炼.
(1)已知某班级的 5名学生中,甲、乙 2位同学体能预测不合格,从这 5名学生中抽取 2名,记
X为抽取的 2名学生中体能合格的人数,求随机变量 X的分布列
(2)为了加强锻炼,甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能,并约定每轮比赛均采用
2
五局三胜制(一方获胜三局则本轮比赛结束).假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 ,求甲在一轮
3
比赛中至少比了四局并获胜的条件下,前 2局比赛均获胜的概率;
(3)经过一段时间的体能训练后,该校再次进行了体能检测,高二年级学生体能检测成绩近似服
从正态分布 , 2 .已知 = 74, = 7,请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附:
< < + = 0.6826, 2 < < + 2 = 0.9544, 3 < < + 3 =
0.9974.
数学试卷 — 4— (共 5页)
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}
18.(17分)
已知函数 = ln , ∈ .
(1)若 = 0, = 1,求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程;
(2)若 = 1是 的极大值点,求 a的取值范围;
(3)在(2 2 )的条件下,若 + ≥ 0对 ∈ 1, + ∞ 恒成立,求 a的取值范围.
e
19.(17分)
我们把下面的定义称为双曲线的第二定义:平面内到定点 , 0 的距离与到定直线 :
2 2 2 = > > 0 的距离之比为常数 的点的轨迹叫做双曲线,其方程为 2 2 = 1 > 0, > 0 ,
2 2
其中 2 = 2 2 ,此时 叫做该双曲线的右准线.已知双曲线 : 2 2 = 1 > 0, > 0 的左、右
焦点分别为 1 2,0 , 2 2,0 ,直线 : = 1是 的右准线.
(1)求 的方程以及 的离心率;
(2)设 与 轴的交点为 ,过点 2的直线与 的右支相交于 A,B两点,
(i)以 ,A,B为其中的三个顶点作平行四边形 ,求平行四边形 面积的取值范围;
(ii)设直线 与直线 的交点为 P,点 P在 y轴上的射影为 Q,直线 , 与 x轴的交点分别为
G ,H,则 2 是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
2
数学试卷 — 5— (共 5页)
{#{QQABRYSQgggAAAIAABgCEQHICEMQkBCAAaoGRFAUMAAAQRNABAA=}#}2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷
数 学
命题组寄语:同学们,本次试卷不提供详细评分细则,在未来,每位同学都可以做自己的正确答案!
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是符合题意的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D C C B A
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题所给出的四个选项中,有多个选项
是符合题意的。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的不得分。)
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BCD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。)
12. 13.①(2分) (3分) 14.
四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)
(1)证明:因为,可得,
所以,
两边同除以,
可得,
即,
又因为,
可得,
所以数列是首项为,公差为1的等差数列.
由(1)可得,
所以,
可得,
所以,
则.
两式相减,可得
,
所以.
(15分)
(1)证明:因为平面平面,
所以,
在直三棱柱中,,
又平面平面,
所以平面,
又平面,
所以,
在直三棱柱中,,
所以.
(2)解:由(1)知两两垂直,所以以为坐标原点,
分别以所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为平面平面,所以,
在直三棱柱中,四边形是矩形,所以四边形是正方形.
不妨设,则,
所以,
则.
设直线与平面所成角为,
因为平面,所以是平面的一个法向量,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
(15分)
解:(1)由题意的可能取值为,
所以,
所以的分布列为
1 2
(2)令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”,事件表示“甲以获胜”,事件表示“甲以获胜”,事件表示“甲前2局比赛均获胜”,
所以,
所以,
,
所以;
(3)由已知有,所以,
所以 ,
所以高二年级学生体能检测合格.
18.(17分)
解:(1),时,,,
,
故,
故在点处的切线方程为;
(2)的定义域为,,
由于是的极大值点,
故,故,
所以,
令得或,
若,则,故在上单调递增,故不存在极大值点,舍去;
若,令得或,令得,
故是的极大值点,满足要求;
若,令得或,令得,
故是的极小值点,不合要求;
若,则恒成立,令得,令得,
故是的极小值点,不合要求;
综上,a的取值范围为;
(3)由题意得,,
且当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故,
要想对恒成立,只需,
即,
设,,
则,
令,,
则恒成立,
故在上单调递减,
又,
所以恒成立,
故在上单调递减,
又,
故a的取值范围为.
19.(17分)
解:(1)设的半焦距为,易知,
因为:为的右准线,
所以,
解得,
所以,
所以的方程为,离心率;
(2)(i)由已知可得直线不与轴垂直,
设其方程为,
联立,整理得,,
设,,
则,,
因为A,B在C的右支上,
所以,
解得.
设平行四边形的面积为S,易知,
则,
设,
则.
因为在区间内单调递减,
所以,
则,
故平行四边形面积的取值范围为;
(ii)联立,得,.
设,,
由A,G,Q三点共线,
得,
解得,
同理得,
所以
,
即的中点为,
故为定值1.2025年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
(2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷)
试卷共5页,完卷时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答,在试卷上答题无效.
3.辅助线作图可先使用2B铅笔画出,确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔确定.
4.考试结束,考生必须将试卷和答题卡一并交回.
姓名: 准考证号: 座位号:
单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是符合题意的。)
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.若,则
A. B. C.2 D.
3.已知向量,若,则
A. B.25 C.5 D.2
4.已知定义在上的函数满足,且是奇函数,则下列结论错误的是
A. B. C. D.
5.已知,则
A. B. C. D.
6.2023年,深度求索(DeepSeek)公司推出了新一代人工智能大模型,其训练算力需求为1000PetaFLOPS(千亿亿次浮点运算/秒).根据技术规划,DeepSeek的算力每年增长.截止至2025年,其算力已提升至2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问:DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS? (参考数据:,,)
A.年 B.年 C.年 D.年
7.已知一个圆台的上,下底面半径分别为1和4,高为.若该圆台内有一个正方体,且该正方体在圆台内能任意转动,则该正方体棱长的最大值为
A. B. C. D.
8.已知是等差数列,是公比为的等比数列,为元集,则
A. B. C. D.2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题所给出的四个选项中,有多个选项是符合题意的。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的不得分。)
9.已知函数的部分图象如图所示,把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到函数的图象,则
A.为偶函数
B.的最小正周期是
C.的图象关于直线对称
D.将图象向左平移后,在上单调递减
10.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线交于,两点,则下列说法一定正确的是
A. B.
C.以为直径的圆与直线相切 D.若点,则有
11.,下列说法正确的有
A.的减区间为 B.的值域为
C.若有3个零点,则 D.若有5个零点,则
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。)
12.若,则 .
13.红铃虫(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度的8组观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模型①,,②分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中,,,;
(1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,模型 比较合适?
(2)根据(1)中所选择的模型,求出y关于x的回归方程是 .附:对于一组数据,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.(第一空2分,第二空3分)
14.已知点为等腰外接圆上的一个动点,,则的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)
已知数列的前n项和为,,.
(1)求证:数列是等差数列.
(2)设,数列的前n项和为,求.
16.(15分)
如图,在直三棱柱中,与交于点,且平面.
(1)求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
17.(15分)
2025亚冬会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情,掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,需要加强锻炼.
(1)已知某班级的5名学生中,甲、乙2位同学体能预测不合格,从这5名学生中抽取2名,记X为抽取的2名学生中体能合格的人数,求随机变量X的分布列
(2)为了加强锻炼,甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能,并约定每轮比赛均采用五局三胜制(一方获胜三局则本轮比赛结束).假设甲同学每局比赛获胜的概率均为,求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下,前2局比赛均获胜的概率;
(3)经过一段时间的体能训练后,该校再次进行了体能检测,高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布.已知,请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附:.
18.(17分)
已知函数.
(1)若,,求曲线在点处的切线方程;
(2)若是的极大值点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若对恒成立,求a的取值范围.
19.(17分)
我们把下面的定义称为双曲线的第二定义:平面内到定点的距离与到定直线:
的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线,其方程为,其中,此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,直线:是的右准线.
(1)求的方程以及的离心率;
(2)设与轴的交点为,过点的直线与的右支相交于A,B两点,
(i)以,A,B为其中的三个顶点作平行四边形,求平行四边形面积的取值范围;
(ii)设直线与直线的交点为P,点P在y轴上的射影为Q,直线,与x轴的交点分别为G,H,则是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.2025届福建省部分优质高中高三年级考前指导最后一卷
数 学
命题组寄语:同学们,本次试卷不提供详细评分细则,在未来,每位同学都可以做自己的正确答案!
一、单项选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个选
项是符合题意的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D C C B A
二、多项选择题(本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题所给出的四个选项中,有多个选项
是符合题意的。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的不得分。)
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BCD
三、填空题(本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。)
12 5 13 2 = e0.3 4.3 3 14 14. .①( 分) ( 分) . , 14
15
四、解答题(本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13 分)
(1)证明:因为 = 2 + 3 +1 +1 +1 ,可得 +1 = 2 + 3 ,
所以 +1 +1 = 3 + 3 ,
两边同除以3 +1,
可得 +1
+1 = + 1,3 3
即 +1
3 +1
3
= 1,
又因为 1 = 3,
可得 1 = 1 = 1,
3 3
所以数列
1
是首项为 ,公差为 1的等差数列.3 3
2 1 ( )由( )可得 = 1 + 1 = ,3
所以 = 3 ,
3
可得 = 4 = ,4
1
= 1 × 3 + 2 × 3
2
+ 3 × 3
3 1
所以 + + 1 ×
3 + × 3 ,
4 4 4 4 4
3 3 2 3 4 +1
则 = 1 × + 2 ×
3 + 3 × 3 + + 1 × 3 + × 3 .
4 4 4 4 4 4
1 3 3 2 3 3 +1
两式相减,可得 = + + + +
3 × 3
4 4 4 4 4 4
1
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
3
4× 1
3
4 3 +1 +1= 3 × = 3 + 4 ×
3
,
1 4 44
所以 = 12 3 + 12 ×
3 .
4
16.(15 分)
(1)证明:因为 1 ⊥平面 1 1, 1 1 平面 1 1,
所以 1 ⊥ 1 1,
在直三棱柱 1 1 1中, 1 ⊥ 1 1,
又 1 ∩ 1 = , 1 平面 1 1 , 1 平面 1 1 ,
所以 1 1 ⊥平面 1 1 ,
又∵ 平面 1 1 ,
所以 1 1 ⊥ ,
在直三棱柱 1 1 1中, // 1 1,
所以 ⊥ .
(2)解:由(1)知 1 1, 1 , 1 1两两垂直,所以以 1为坐标原点,
分别以 1 1, 1 1, 1 所在的直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 1 ⊥平面 1 1, 1 平面 1 1,所以 1 ⊥ 1,
在直三棱柱 1 1 1中,四边形 1 1是矩形,所以四边形 1 1是正方形.
不妨设 = 1 = 2 ,则 = ,
所以 2 , 0,2 , 1 2 , 0,0 , 0,0,2 , 0, , 2 ,
则 1 = 2 , 0,2 , = 2 , , 0 .
设直线 与平面 1 1所成角为θ,
因为 1 ⊥平面 1 1,所以 1 是平面 1 1的一个法向量,
2
则 sinθ = cos 1 , =
1 4 10
1
= = ,
2 2 5 5
10
故直线 与平面 1 1所成角的正弦值为 .5
17.(15 分)
解:(1)由题意 的可能取值为 0,1,2,
C2 1 C1C1 = 0 = 2 = , = 1 = 3 2 = 3
2
所以 2 2 , = 2 =
C3 = 3,
C5 10 C 5 C
2
5 5 10
所以 的分布列为
0 1 2
1 3 3
10 5 10
2
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
(2)令事件 表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”,事件 1表示“甲以 3:1获胜”,事件 2表示“甲
以 3: 2获胜”,事件 表示“甲前 2局比赛均获胜”,
3 2 3
所以 = C1 × 1 × 2 = 81 3 , 2
1 2 16
3 3 27 2
= C4 × × = ,3 3 81
所以 = 1 + =
8 + 162 =
40
,
27 81 81
2
= 2 × 1 × 2 2
2 2
+ × 1 × 2 = 32,
3 3 3 3 3 3 243
32
4
所以 = = 243
40
= ;
15
81
(3)由已知有 = 74, = 7,所以 60 < < 88 = 2 < < + 2 = 0.9545,
所以 < 60 = > 88 = 1 1 60 < < 88 = 1 × 1 0.9545 ≈ 0.02275 < 5%,
2 2
所以高二年级学生体能检测合格.
18.(17 分)
解:(1) = 0, = 1时, = ln , 1 = 1,
′ = 1 1,
故 ′ 1 = 1 1 = 0,
故 = 在点 1, 1 处的切线方程为 = 1;
(2 ) 的定义域为 0, + ∞ , ′ = 1 + 2 ,
由于 = 1是 的极大值点,
故 ′ 1 = 1 + = 0,故 = + 1,
′ = 1 + +1
2
= +1 + = 1所以 ,
2 2 2
令 ′ = 0得 = 或 = 1,
= 1 ′ = 1
2
若 ,则 2 ≥ 0,故 在 0, + ∞ 上单调递增,故不存在极大值点,舍去;
若 > 1,令 ′ > 0得 > 或 0 < < 1,令 ′ < 0得 1 < < ,
故 = 1是 的极大值点,满足要求;
若 0 < < 1,令 ′ > 0得 > 1 或 0 < < ,令 ′ < 0得 < < 1,
故 = 1是 的极小值点,不合要求;
若 ≤ 0,则 > 0恒成立,令 ′ > 0得 > 1,令 ′ < 0得 0 < < 1,
故 = 1是 的极小值点,不合要求;
综上,a 的取值范围为 1, + ∞ ;
3
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
(3)由题意得 = + 1, > 1,
且当 > 时, ′ > 0,当 1 < < 时, ′ < 0,
故 在 1, 上单调递减,在 , + ∞ 上单调递增,
故 ≥ = 1 + 1 ln ,
2 2
要想 + ≥ 0对 ∈ 1, + ∞ 恒成立,只需 + ≥ 0,
e e
即 1 + 1 ln + 2 ≥ 0,
e
设 = 1 + 1 ln + 2 , > 1,
e
则 ′ = 1 ln + 1 1+ 2 = ln 1 + 2,
e e
1 2
令 = ln + , > 1,
e
则 ′ = 1+ 1 1 2 = 2 < 0恒成立,
故 在 ∈ 1, + ∞ 上单调递减,
2
又 1 = 1 + < 0,
e
所以 < 0恒成立,
故 在 ∈ 1, + ∞ 上单调递减,
又 e = e 1 e + 1 lne + 2 = 0,
故 a 的取值范围为 1,e .
19.(17 分)
解:(1)设 的半焦距为 > 0 ,易知 = 2,
因为 : = 1 为 的右准线,
2
所以 = 1,
解得 2 = = 2,
所以 2 = 2 2 = 2,
2 2
所以 的方程为 = 1,离心率 = = 2;
2 2
(2)(i)由已知可得直线 不与 轴垂直,
设其方程为 = + 2 ≠± 1 ,
2 2 = 1
联立 2 2 ,整理得 2 1 2 + 4 + 2 = 0,Δ = 16 2 8 2 1 = 8 2 + 8 > 0,
= + 2
设 1, 1 , 2, 2 ,
+ = 4 = 2则 1 2 2 , 1 1 2 , 2 1
因为 A,B 在 C 的右支上,
4
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
所以 1 2 =
2
2 < 0, 1
解得 2 < 1.
设平行四边形 的面积为 S,易知 1,0 ,
2
则 = 2 1△ = 2 × 2 1
2
2 = 1 + 2 4 =
2 2 +1
,
2 1 2 2 1
设 = 2 + 1 ∈ 1, 2 ,
2 2 2 2
则 = 2 = 2 . 2
因为 = 2 在区间 1, 2 内单调递减,
2
所以 ∈ 0,1 ,
则 ≥ 2 2,
故平行四边形 面积的取值范围为 2 2, + ∞ ;
ii = + 2 1( )联立 = 1 ,得 1, , 0,
1 .
设 3, 0 , 4, 0 ,
由 A,G,Q 三点共线,
1 1
得
= 1
+ ,
3 1
1+2 1
解得 = 3 1 = 1 + , 1+ 1+
1
1
同理得 4 = 1 + +1,2
1 + + 21 2
所以 3 + = 2 +
2
4 1 11 2+ 1+ 2 + 2
1 4 2 4 2
= 2 +
2 + + 1 2 2 1 2
2 1 4 1 = 2 + 2 1 = 2 + 2 = 4,
2 + + + 1 2 1 2 2 1 2
即 的中点为 2 2,0 ,
故 2
为定值 1.
2
5
{#{QQABQYQ0wggQkBbACJ4rEQWoCUkQkJGhJeokgVCbuAQqAYNABIA=}#}
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