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专题1.1 集合(6大核心题型）
目录
题型一：重点考查集合元素的互异性 1
题型二：重点考查集合的列举法描述法 2
题型三：重点考查包含关系 3
题型四：重点考查集合的并交补 6
题型五：图的实际应用 8
题型六：集合新定义问题 9
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题型一：重点考查集合元素的互异性
典型例题
例题1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
例题2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
题型二：重点考查集合的列举法描述法
典型例题
例题1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合：
（1） ；
（2） ；
（3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ；
（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ．
精练高频考点
1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
3．（多选）（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是；
B．由2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合是；
D．与表示同一个集合.
题型三：重点考查包含关系
典型例题
例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2025·广东广州·模拟预测）满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
例题3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数的取值集合．
例题4．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合.
(1)求；
(2)若的解集为C求实数m取值范围.
例题5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合.
(1)当，求集合；
(2)当，求实数的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
2．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知集合，集合，若，求的取值范围.
3．（24-25高一上·重庆·期末）已知全集为，集合，集合.
(1)若，求：
(2)若，且，求实数的取值范围.
4．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，全集．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
5．（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合．
(1)若，求．
(2)若，求实数的取值范围．
题型四：重点考查集合的并交补
典型例题
例题1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 .
例题3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
例题4．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合.
(1)若，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
例题5．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合均为的子集，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合．
(1)若，求和；
(2)，求实数的取值范围．
5．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合.
(1)求；
(2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
题型五：图的实际应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
例题2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
精练高频考点
1．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
2．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
3．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人.
题型六：集合新定义问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”．
(1)判断是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”；
(3)求所有的集合，使得
①；
②是“好集”；
③不存在“好集”，使得是的真子集．
精练高频考点
1．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ．
2．（2025高三下·全国·专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 .
3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.专题1.1 集合(6大核心题型）
目录
题型一：重点考查集合元素的互异性 1
题型二：重点考查集合的列举法描述法 3
题型三：重点考查包含关系 6
题型四：重点考查集合的并交补 12
题型五：图的实际应用 17
题型六：集合新定义问题 20
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头
题型一：重点考查集合元素的互异性
典型例题
例题1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系
【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】由题意得，
当时，解得或，
当时，满足要求，
当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去，
当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，.
故选：C
例题2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ．
【答案】/
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系、集合元素互异性的应用
【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得；
【详解】因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用
【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值．
【详解】因为集合，，，
所以，所以或，
若，则，此时，满足题意；
若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，．
故选：C．
2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用
【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围.
【详解】由元素的互异性可知，所以.
故选：A
3．（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】CD
【知识点】根据交集结果求集合或参数、集合元素互异性的应用
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】，因为，所以，则有：
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，不符合集合元素的互异性；
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，符合题意；
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，符合题意；
综上所述：或.
故选：CD.
题型二：重点考查集合的列举法描述法
典型例题
例题1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数
【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可.
【详解】，时，，
时，，
或或或时，，
或或或时，，
故.
故选：D.
例题2．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合：
（1） ；
（2） ；
（3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ；
（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ．
【答案】
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】（1）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可；
（2）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可；
（3）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该数集集合；
（4）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该点集集合.
【详解】（1）因为，，所以均符合题意，
所以原集合可以表示为.
（2）因为，所以，又因为，所以，
又因为，所以，所以原集合可以表示为.
（3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为
.
（4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则，
所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为.
故答案为：；；；.
精练高频考点
1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】解方程组，用集合表示即可判断.
【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为，
而.
故选：D.
2．（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
【答案】AC
【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算、列举法表示集合
【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断.
【详解】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确；
对B，若，则不适合第二个方程，
若，则不适合第一个方程，故B错误；
对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确；
对D，，，则其交集为，则D错误.
故选：AC.
3．（多选）（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是；
B．由2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合是；
D．与表示同一个集合.
【答案】CD
【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合
【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断.
【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确；
由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确；
根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误；
：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误.
故选：CD.
题型三：重点考查包含关系
典型例题
例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、分式不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求解分式不等式，确定集合，再结合子集概念，逐个判断即可.
【详解】等价于且，
故解不等式得，
所以，，
所以可得： ，.故ACD错，B对.
故选：B.
例题2．（2025·广东广州·模拟预测）满足 的集合A的个数为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算
【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.
【详解】由，整理可得，解得或，
则 ，设，所以 ，可得.
故选：B.
例题3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数的取值集合．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集和并集的概念求解即可；
（2）根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由解得，
所以，，
所以，.
（2）因为，所以，
当时可知，解得，
所以实数的取值集合为．
例题4．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合.
(1)求；
(2)若的解集为C求实数m取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）先求出集合，再求集合；
（2）记，由得解出即可.
【详解】（1），
；
所以；
（2）记
因为
故，所以
即实数m取值范围为
例题5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合.
(1)当，求集合；
(2)当，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）解一元二次不等式，再结合交集，补集概念计算即可；
（2）运用集合之间的包含关系构造不等式组计算即可.
【详解】（1）由，得，
解得，所以.
当时，集合，
即
则或
则
（2）由的两个根为，
因为
所以，
又因为，
解得
所以实数的取值范围为
精练高频考点
1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可.
【详解】.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A
2．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知集合，集合，若，求的取值范围.
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式
【分析】化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的范围.
【详解】解不等式得，
所以，
由，，可得
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.
3．（24-25高一上·重庆·期末）已知全集为，集合，集合.
(1)若，求：
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，；
(2).
【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解.
（2）求出集合，再利用集合包含关系列式求解.
【详解】（1）解不等式，得，则，
当时，或，
所以或，.
（2）由（1）知或，
由，得或，
由，得，
所以实数的取值范围是.
4．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，全集．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】（1）根据并集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，，
所以或，又，
所以或；
（2）当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上所述a的取值范围为.
5．（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合．
(1)若，求．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）先求出时集合以及，然后求它们的并集；（2）根据分情况讨论集合的情况来确定的取值范围.
【详解】（1）对于不等式，解得或.
那么.
当时，集合.
.
（2）当时，满足.
此时，解这个不等式得.
当时，即.
因为，所以.解得.
综上，的取值范围是.
题型四：重点考查集合的并交补
典型例题
例题1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、补集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围.
【详解】因为，所以或，
所以，
所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：.
例题2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 .
【答案】或
【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知直线平行求参数
【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果.
【详解】由题意，集合中，可整理成，
所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集.
因为，所以直线与直线平行或有一个交点，
当两直线平行时，；当两直线交点为时，.
故答案为：或.
例题3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算
【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算；
（2）先判断出，然后分，求解.
【详解】（1）由题意，当时，则，，
所以；
（2）因为，所以，
①当，即时，解得，此时满足题意；
②当，即时，解得，
因为，所以，则有，
综上：或.
例题4．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合.
(1)若，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】（1）求出，结合并集概念计算；（2）求出，结合交集概念和得到取值范围.
【详解】（1）由，解得或，
可得或，
若，则，所以或.
（2）由（1）知可得或，
所以，
又因为，若，
则实数的取值范围是.
例题5．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可.
【详解】（1）当时，可得集合，
所以.
，．
（2）由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合均为的子集，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据题意作出Venn图，结合图形判断即可.
【详解】作出Venn图如下：
因为.
故选：C
2．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算
【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.
【详解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故选：A.
3．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）先求并集，再求补集即可；
（2）由集合间的包含关系分集合是否为空集，当不为空集时，解不等式组即可；
【详解】（1）当时，，，
因此，
所以或.
（2）由，得，
当时，则，
解得，满足，因此；
当时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合．
(1)若，求和；
(2)，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算
【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时，
（2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围.
【详解】（1）若，则，
所以，
（2）因为，所以，
当时，满足，此时；
当时，要使，则，解得
综上，实数的取值范围为
5．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合.
(1)求；
(2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，或3或5.
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算
【分析】（1）求出，再求；
（2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案.
【详解】（1），
，
，
（2）存在.
，
①当时，，满足，所以；
②当时，，要满足，则，
因为，所以或5；
综上所述，或3或5.
题型五：图的实际应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
【答案】BC
【知识点】容斥原理的应用
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.
【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，
则，，，
又，，
所以，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．
故选：BC
例题2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
【答案】2
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合
【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数.
【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
精练高频考点
1．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【知识点】容斥原理的应用
【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可．
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得：
，
解得：，
故同时参加田径和球类比赛的人数为，
故答案为：9；3．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
【答案】17
【知识点】容斥原理的应用
【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果.
【详解】设集合，集合，
集合，
设三项活动都参加的人数为，
则，
则由题意可得，
即，
解得．
故答案为：17
3．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人.
【答案】
【知识点】容斥原理的应用
【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可.
【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，
设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图，
由题意可得，解得.
因此，同时参加游泳和球类比赛的有人.
故答案为：.
题型六：集合新定义问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【知识点】交并补混合运算、集合新定义
【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项.
【详解】∵，，
∴，
∴，，选项A、B正确.
∵，∴，
∴，选项C错误.
∵，∴，
∴，选项D正确.
故选：ABD.
例题2．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”．
(1)判断是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”；
(3)求所有的集合，使得
①；
②是“好集”；
③不存在“好集”，使得是的真子集．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)，，，，.
【知识点】集合新定义
【分析】（1）直接根据定义即可判断；
（2）利用“好集”的定义，证明该结论；
（3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案.
【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”.
（2）显然此时，，而，故，所以是“好集”.
（3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个.
那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题.
精练高频考点
1．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ．
【答案】968
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义、其他组合计数模型
【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可.
【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，
按子集中元素的个数分类，
①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：
，共9个；
此时满足定义的子集有个，
②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：
，共8个；
此时满足定义的子集有个，
③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：
，共7个；
此时满足定义的子集有个，
④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：
，共6个；
此时满足定义的子集有个，
⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：
，共5个；
此时满足定义的子集有个，
⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：
，共4个；
此时满足定义的子集有个，
⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：
，共3个；
此时满足定义的子集有个，
⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：
，共2个；
此时满足定义的子集有个，
综上所述，满足题意的子集共有个.
故答案为：968.
2．（2025高三下·全国·专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 .
【答案】 3 2025
【知识点】集合新定义
【分析】第一空，直接由定义即可求解，第二空，由新定义得到，再由元数个数即可求解；
【详解】，则集合，
所以.
若集合，则集合，
故，解得.
故答案为：3；2025
3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.
【答案】(1)；
(2)①；②.
【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和.
【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，，
集合，，的交替和分别为1，2，3，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.
（2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次，
集合所有非空子集为：，，，，，，，，，，
，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为，
因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类，
每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个，
所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等），
所以集合所有非空子集的交替和的总和.

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