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北师大版2025年七年级下册第4章《三角形》单元测试卷
满分120分 时间100分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　）
A．96° B．86° C．84° D．66°
4．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　）
A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1
5．如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数为（　　）
A．39° B．47° C．86° D．94°
6．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝8，DE＝3，则CE等于（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，在△ACD和△CBE中，CD＝BE，若点C是线段AB的中点，则下列哪个条件不能使△ACD和△CBE全等（　　）
A．∠ACD＝∠ABE B．∠CAD＝∠BCE C．AD＝CE D．CD∥BE
8．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在BD中点C处有一棵树，小明从A点出发，沿AC走到E（A，C，E在一条直线上），并使CE＝CA，量出E到水房D的距离就是A，B的距离，依据的是（　　）
A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS
9．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝35°，则∠F＝　 　 ．
12．在△ABC中，三个内角度数之比为1：2：3，则△ABC最大角的度数为　 　 ．
13．已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　 　 ．
14．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D＝ 　 　 °．
15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
16．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知三角形的三条边长为6、10和x．
（1）若6是最短边长，求x的取值范围；
（2）若x为整数，求三角形周长的最大值．
18．（8分）已知：如图，B，C，F，D在同一直线上，∠A＝∠E，AB∥DE，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．
19．（8分）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线．
（1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 　 　 ；
（2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数．
20．（8分）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P（点D，P，B在一直线上），测得PC与地面的夹角∠DPC＝18°，PA与地面的夹角∠APB＝72°，点P到楼底的距离PB为9m，旗杆CD的高度为9m．若旗杆CD与楼AB之间的距离BD为36m，请你计算楼AB的高．
21．（8分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．
22．（10分）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：
（1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　 　 ；
（3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝48°，∠B＝62°，则∠DPC＝　 　 °，∠Q＝　 　 °；
（2）若∠A＝m，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出∠DPC、∠Q的度数（用m的代数式表示）；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
24．（12分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC，BD，当△ADC是等边三角形时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC是一个变化的角，以AC为边向△ABC外作等边△ACE，连接BE，试探究，随着∠ABC的变化，BE的长是否存在最大值？若存在，求出BE长的最大值及此时∠ABC的大小；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D D C B D B A
二．填空题
11．110°． 12．90°． 13．2c． 14．45． 15．1． 16．2或．
三．解答题
17．（8分）解：（1）由题意得：10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16．
∵6是最短边长，
∴x≥6．
∴x的取值范围是6≤x＜16；
（2）由（1）可知，4＜x＜16，
∵x为整数，
∴x的最大值为15．
∴三角形周长的最大值为6+10+15＝31．
18．（8分）证明：∵BF＝DC，
∴BF﹣FC＝DC﹣FC，
即BC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（AAS）．
19．（8分）解：（1）∵AE是△ABC的边BC的中线，
∴BE＝CE，
∴S△ACE＝S△ABE＝6，
∴S△ABC＝12，
故答案为：12；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°，
∵∠C＝70°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∵BF是△ABC的角平分线，
∴，
∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°．
20．（8分）解：PC与地面的夹角∠DPC＝18°，PA与地面的夹角∠APB＝72°，点P到楼底的距离PB为9m，旗杆CD的高度为9m．旗杆CD与楼AB之间的距离BD为36m，CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝90°，∠ABP＝90°，PB＝CD，
∴∠BAP＝90°﹣∠APB＝90°﹣72°＝18°，
∴∠BAP＝∠DPC．
在△PBA和△CDP中，
，
∴△CPD≌△PAB（AAS），
∴AB＝PD．
∴PD＝DB﹣PB＝36﹣9＝27（m），
∴AB＝27m．
答：楼AB高为27m．
21．（8分）证明：
连接AD，在△ACD和△ABD中，，
∴ACD≌△ABD（SSS），
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF（ASA），
∴DE＝DF．
22．（10分）解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下：
如图1所示：
∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AEC和△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（AAS），
∴AE＝BD，
∴AD+BD＝AD+AE＝DE；
（2）如图2所示：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠E＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠1，
在△BDA和△AEC中，
，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC，
∵BD＝12，DE＝7，
∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC，
∴EC＝12﹣7＝5，
∴△ACE的面积为：CE AE5×12＝30，
故答案为：30；
（3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下：
在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵CF＝CE，∠ACB＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠3＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°，
∵AC﹣CF＝BC﹣CE，
∴AF＝EB，
在△AFE和△EBD中，
，
∴△AFE≌△EBD（SAS），
∴∠AFE＝∠EBD＝135°，
∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，
∴AB⊥BD．
23．（10分）解：（1）∵∠A＝48°，∠B＝62°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣48°﹣62°＝70°，
∵CP平分∠ACB，
∴根据角平分线的性质，，
∵DE∥BC，
∴根据平行线的性质，∠ADE＝∠B＝62°，∠PGD＝∠BCP＝35°，
∵DP平分∠ADE，
∴根据角平分线的性质，，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDG﹣∠PGD＝180°﹣31°﹣35°＝114°，
∴∠QPC＝180°﹣114°＝66°，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴根据角平分线的性质，，，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠ACP+∠ACQ＝90°，即∠PCQ＝90°，
∴∠Q＝90°﹣∠QPC＝90°﹣66°＝24°，
故答案为：114，24；
（2）∵∠A＝m，
∴∠ACB+∠B＝180°﹣m，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠PCB，
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知∠PCQ＝90°不变，
∴；
（3）设∠A＝α，
由（2）可知，，
∵∠PCQ＝90°，
∴可分类讨论，
①当∠PCQ＝4∠CPQ时，
∴，
解得：α＝135°，
∴∠A＝135°；
②当∠PCQ＝4∠Q时，
∴，
解得：α＝45°，
∴∠A＝45°；
③当∠CPQ＝4∠Q时，
∴，
解得：α＝36°，
∴∠A＝36°；
④当4∠CPQ＝∠Q时，
∴，
解得：α＝144°，
∴∠A＝144°；
综上可知：∠A＝45°或135°或144°或36°．
24．（12分）解：（1）CD与BE的数量关系是：CD＝BE，理由如下：
如图所示：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AE＝AC，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）线段AB，BC，BD之间的数量关系是：AB+BC＝BD，理由如下：
延长AB到H，使BH＝BC，连接CH，如图2所示：
∴AH＝AB+BH＝AB+BC，
∵△ADC是等边三角形，
∴DC＝AC，∠ACD＝∠ADC＝60°，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝120°，
在△BCH中，∠HBC＝180°﹣∠ABC＝60°，BH＝BC，
∴△BCH是等边三角形，
∴BC＝HC，∠BCH＝60°，
∴∠ACD＝∠BCH＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCH+∠ACB，
∴∠BCD＝∠HCA，
在△BCD和△HCA中，
，
∴△BCD≌△HCA（SAS），
∴BD＝AH＝AB+BC，
即AB+BC＝BD；
（3）存在．
以BC为一边，在BC的右侧作等边△BCP，连接PA，如图3①所示：
∴BC＝PC＝BP＝5，∠BCP＝∠CBP＝60°，
∵△ACE是等边三角形，
∴EC＝AC，∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝∠BCP＝60°，
∴∠ECA+∠ACB＝∠BCP+∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACP，
在△ECB和△ACP中，
，
∴△ECB≌△ACP（SAS），
∴BE＝AP，
∴当AP最小时，BE为最小，
根据“两点之间线段最短”得：AP≤AB+BP＝8，
∴当点A，B，P在同一条直线上时，AP为最小，最小值为8，
∴BE的最小值为8，此时点A，B，P在同一条直线上，如图3②所示：
∴∠ABC＝180°﹣∠CBP＝120°，
∴BE长的最大值为8，∠ABC＝120°．

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