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鲁教版八年级下册数学第九章《相似三角形》综合测评卷（2）
时间90分钟，分值：120分
班级： 姓名： .
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组长度(单位: cm)的线段中,是成比例线段的是( )
A.1,2,3,4 B.1,2,3,6 C.2,3,4,5 D.1,3,5,10
2.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC, =,AE=9,则EC的长度为( )
A.4 B.6 C.12 D.15
3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
4.如图所示,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G(点G在CD,EF之间).若AC=3,CG=2,GF=4,则的值为( )
A. B. C. D.
5.(2024宁津一模)如图所示,D是△ABC的边AB上的一点,添加下列条件不能判定△ABC∽△ACD的是( )
A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C. = D.AC2=AD·AB
6．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）。
A．S1>S2 B．S17.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
8.(2024市南一模)如图所示,AB∥CD,AD∥BE,AE与CD交于点O,CD=3OD.若BE=12,则线段AD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
9．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（　　）
A．5m B．6m C．125m D．4m
10.如图所示,在△ABC中,BE⊥AC于点G,CD⊥AB于点F,BA=BE,CA=CD,有以下结论:①∠D=∠E;②DF=GE;③=;④=.其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题8分,共28分)
11.若=,则的值为　 　.
12.如图所示,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点,BC=2CE,连接AE交CD于点F,则CF∶DF=　 　.
13．如图，已知，则（1）=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______。
14.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为　　．
15.如图，四边形OABC的顶点O为坐标原点，以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，若A（6，0）的对应点为A1（4，0），四边形OABC的面积为27，则四边形OA1B1C1的面积为　 　．
16.(2024东昌府二模)如图所示,已知△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点,F是AC边上一个动点.将△AEF沿EF折叠,使点A落在A′处,若△AEF与△ABC相似,则EF的长为　　.
17.如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为22，则△ABC的面积为　　．
18.如图所示,一张矩形纸片ABCD中, =m(m为常数).将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在边BC上的点H处,点D的对应点为点M,CD与HM交于点P.当点H落在BC的中点,且=时,m=　　.
三、解答题(共62分)
19.（6分）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使△AB2C2与△ABC的位似比为2：1，请你在网格内画出△AB2C2．
20．（8分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝3m，BD＝9m，求旗杆AB的高．
21.（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．
要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；
②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．
22.（8分）如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
23.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,且∠EAB=∠DBC.
(1)求证:△BAE∽△BDA;
(2)若BE=2,DE=6,求AB的长.
24.（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
25.(12分)如图所示,等边三角形ABC的边长为6,点D在边AC上,AD=1,线段PQ在边BA上运动,PQ=1,连接QD,PC.若△AQD与△BCP相似,求AQ的长.
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鲁教版八年级下册数学第九章《相似三角形》综合测评卷（2）
时间90分钟，分值：120分
班级： 姓名： .
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组长度(单位: cm)的线段中,是成比例线段的是( )
A.1,2,3,4 B.1,2,3,6 C.2,3,4,5 D.1,3,5,10
【答案】B
2.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC, =,AE=9,则EC的长度为( )
A.4 B.6 C.12 D.15
【答案】B
3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴面积比为4：9，
∵△ABC的面积为40，
∴△DEF的面积为90，
故选：D．
4.如图所示,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G(点G在CD,EF之间).若AC=3,CG=2,GF=4,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
5.(2024宁津一模)如图所示,D是△ABC的边AB上的一点,添加下列条件不能判定△ABC∽△ACD的是( )
A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C. = D.AC2=AD·AB
【答案】C
6．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）。
A．S1>S2 B．S1【答案】C
7.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【答案】C
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
8.(2024市南一模)如图所示,AB∥CD,AD∥BE,AE与CD交于点O,CD=3OD.若BE=12,则线段AD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】C
9．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（　　）
A．5m B．6m C．125m D．4m
【答案】A
【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，
∴EF＝＝＝5（m）．
故选：A．
10.如图所示,在△ABC中,BE⊥AC于点G,CD⊥AB于点F,BA=BE,CA=CD,有以下结论:①∠D=∠E;②DF=GE;③=;④=.其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】C
二、填空题(每小题8分,共28分)
11.若=,则的值为　 　.
【答案】1
12.如图所示,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点,BC=2CE,连接AE交CD于点F,则CF∶DF=　 　.
【答案】1∶2
13．如图，已知，则（1）=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______。
【答案】（1）5：2 （2） 4 （3）24cm
14.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为　　．
【答案】4
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，
∴相似比为：＝，
∵△ABC的高AD为6，
∴△A1B1C1的高A1D1长为：6×＝4．
故答案为：4．
15.如图，四边形OABC的顶点O为坐标原点，以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，若A（6，0）的对应点为A1（4，0），四边形OABC的面积为27，则四边形OA1B1C1的面积为　12　．
【答案】12
【解答】解：∵以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，A（6，0）的对应点为A1（4，0），
∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的位似比为：4：6＝2：3，
∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的面积比为：4：9，
∵四边形OABC的面积为27，
∴四边形OA1B1C1的面积为：27×＝12．
故答案为：12．
16.(2024东昌府二模)如图所示,已知△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点,F是AC边上一个动点.将△AEF沿EF折叠,使点A落在A′处,若△AEF与△ABC相似,则EF的长为　　.
【答案】或
17.如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为22，则△ABC的面积为　　．
【答案】10
【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
18.如图所示,一张矩形纸片ABCD中, =m(m为常数).将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在边BC上的点H处,点D的对应点为点M,CD与HM交于点P.当点H落在BC的中点,且=时,m=　　.
【答案】
三、解答题(共62分)
19.（6分）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使△AB2C2与△ABC的位似比为2：1，请你在网格内画出△AB2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；
（2）如图，△AB2C2为所作．
20．（8分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝3m，BD＝9m，求旗杆AB的高．
【解答】解：由题意可知：
∠B＝∠ODC＝90°，
∠O＝∠O．
∴△OAB∽△OCD．
∴．
而OB＝OD+BD＝3+9＝12．
∴．
∴AB＝8．
∴旗杆AB的高为8m．
21.（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．
要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；
②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．
【解答】解：①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；
②已知：如图，△ABC∽△DEF，＝＝＝k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线．
求证：＝k；
证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，
∴∠BAG＝∠BAC，∠EDH＝∠EDF，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，
∴∠BAG＝∠EDH，
∴△ABGC∽△DEH，
∴＝＝k．
22.（8分）如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是
3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
【解答】解：（1）由相似变换可得：DE：AB＝DF：AC＝2：3；
（2）∵AC：DF＝3：2，
∴△DEF的周长：△ABC的周长＝2：3，
S△DEF：S△ABC＝4：9，
∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2
∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．
23.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,且∠EAB=∠DBC.
(1)求证:△BAE∽△BDA;
(2)若BE=2,DE=6,求AB的长.
【解答】解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵∠EAB=∠DBC,
∴∠ADB=∠EAB.
又∵∠ABE=∠ABD,
∴△BAE∽△BDA.
(2)解:∵BE=2,DE=6,
∴BD=BE+DE=8.
由(1)知△BAE∽△BDA,
∴=,∴=,解得AB=4.
24.（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
【解答】解：（1）设∠B＝x，
∵BD＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，
∵AC＝DC，
∴∠A＝∠ADC＝2x，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴x+2x＝108°，解得x＝36°，
即∠B的度数为36°；
（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．
理由如下：∵DB＝BC，∠B＝36°，
∴△DBC为黄金三角形；
∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，
而∠A＝2×36°＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
而∠B＝36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，
而CA＝CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴＝，
而BC＝2，
∴AC＝﹣1，
∴CD＝CA＝﹣1，
∵BD＝CD＝﹣1，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣
25.(12分)如图所示,等边三角形ABC的边长为6,点D在边AC上,AD=1,线段PQ在边BA上运动,PQ=1,连接QD,PC.若△AQD与△BCP相似,求AQ的长.
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为6,
∴AB=BC=6,∠A=∠B=60°.
设AQ=x,则BP=6-1-x=5-x.
△AQD与△BCP相似分两种情况:
①当△AQD∽△BCP时,
∴=,即=,
解得x1=2,x2=3,经检验,x1=2,x2=3均为原方程的解,且符合题意;
②当△AQD∽△BPC时,
∴=,即=,解得x=,经检验,x=是原方程的解,且符合题意.
综上所述,AQ的长是,2或3.
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