资源简介

2025 届高三考前指导卷
数 学 试 题 2025.5
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答
题卡上．
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
2
1. 已知集合 A = ( ,1)，集合B = x x 2x 0 ，则 A B =
A．[0,1) B． (0,1) C． ( ,1) D． ( ,1]
z z2. 已知复数 满足 = 2i ，则 z =
1+ i
A．2 B． 5 C． 6 D．2 2
3. 已知向量a,b满足 a =1， b = 2， a b = 5 ，则a,b的夹角为

A． B． C． D．
2 3 4 6
4. 若函数 f (x) = tan( x + )( 0, 0)的图象与直线 y = a的两个相邻交点之间的

距离为 ，且 f (x + )为奇函数，则 的最小值为
2 12
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
5. 设等差数列 an 的前n项和为 Sn，若a1 0， S9 = S19，则当 Sn取最小值时n的值为
A．12 B．13 C．14 D．25
6. 若2sin ( ) = cos cos 0，2cos ( ) = cos ( + )，则 tan ( ) =
3 1 2 1
A． B． C． D．
4 3 2 2
高三数学试题 第 1 页 （共 4 页）
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7. 已知抛物线 y2 = 2 px( p 0)的顶点为O，焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于 A, B两
点，若 AF = 2BF ，则sin OAF =
2 6 1
A． B． C． 3D．
9 9 3 3
x 1
8. 定义在R 上的函数 f (x)满足 f (0) = 0， f (x) = 2 f (3 x)， f ( ) = f (x)，且
3 2
当0 x1 x2 1时， f (x1) f (x2 )，则 f (
1 )等于
666
1 1 1 1
A． B． C． D．
32 64 128 256
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 设不全相等的样本数据 x1, x2 , x3 , , xn 的平均数为 x，在该样本中增加平均数 x，则
新样本
A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．方差变小
1
10. 在等腰梯形 ABCD中，BC // AD，BC = AD = 4， A = 60 ，E 为AD中点，
2
点O为BE的中点，将 ABE 沿BE折起到 A1BE的位置，使得平面A1BE ⊥平面
BCDE，下列说法中正确的有
A．BE ⊥平面A1OC
B．点B 到平面A1CD的距离为3 2
6
C．A1B与平面A1CD 所成角的正弦值为 4
80
D．三棱锥A1 EBC外接球表面积为 3
11. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正三角形 ABC ，沿着 x轴连续滚动（滚动时
无滑动），若滚动中，顶点 A恰好经过坐标原点，设顶点B(x, y)满足 y = f (x)，则下
列判断正确的有 y
A． f (1) = 3 C
B．函数 f (x)的对称轴方程为 x =1+3k,k Z
B A x
高三数学试题 第 2 页 （共 4 页）
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C．函数 f (x)的单调增区间为 2+6k,6k , k Z
y f (x) kx (k 0) 35 3 15 2D．函数 = 恰有 3 个零点，则 k 或 k
35 7 15 4
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知复数 z 满足 z + 2i z 2i = 2，则复数 z 所对应的点的轨迹方程为 ▲ .
A 13. 在 ABC中， = ，点M 满足 AM = 2MC ，设 ABM = ， CBM = ，3
若 sin = 3sin ，则sin C = ▲ .
a 2an + 202514. 若各项均为正整数的无穷数列 an 满足 n+2 = ，则数列 aa 2 n ▲ n+1 +
单调数列（填“是”或“不是”）；符合条件的数列 an 有 ▲ 个 .（前一空
2 分、后一空 3 分）
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13分）智能驾驶是近年来人工智能、传感器、高精度地图等领域融合发展的产
物，正在逐步改变着传统交通方式．智驾的安全性是目前公众和行业关注的焦点．某车评中
心对智能驾驶系统进行天气场景测试，每次测试相互独立，数据整理如下：
天气类型 成功次数 失败次数 总计
晴天 80 20 100
雨雪天 50 50 100
合计 130 70 200
（1）根据测试数据判断，是否有99%的把握认为测试结果与天气类型有关？
（2）用频率估计概率，车评中心在某个雨雪天又进行了数次独立测试，记测试成功
的次数为 X ，若P(X = 4) = P(X = 7)，求车评中心测试的次数．
n(ad bc)2
参考公式： 2 = α 0.1 0.05 0.01 0.001
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) xα 2.706 3.841 6.635 10.828
高三数学试题 第 3 页 （共 4 页）
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16.（本小题满分 15 分）在四棱锥P ABCD中， AB //CD， AB = 3CD = 3，
PA = 2， AD = 2 ， BAD = 45 ，BC ⊥ PD， P PA⊥CD .
（1）求证：PA ⊥平面 ABCD；
（2）设M 为棱PC上一点，若直线 AM 与PB 所成角的余弦 M 值为
2 13 PM
，求 的值. D C
39 PC
A B
17. (本小题满分 15 分）设函数 f (x) = ax ln x .
（1）求 f (x)在 x =1处的切线方程；
（2）若 f (x) 0恒成立，求a的最小值；
（3）求证： x ln x ex .
3 x2 y2
18. (本小题满分 17 分）已知点 A(2,0)， B(1, )为椭圆E： 2 + 2 =1(a b 0)上两点. 2 a b
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过原点的直线与椭圆E 交于C, D两点，记四边形 ABCD与 ABD 的面积分别
为 S1, S2 ，若 S1 = 7S2 ，求 S2；
（3）过点P(2,1)的直线交椭圆E 于M , N 两点，过M 且平行于 y 轴的直线与直线
AB 交于点 S ，与直线 AN 交于点T ，求证：点 S 为线段MT 的中点.
19. (本小题满分 17 分）对于有限集合 A, B ，定义
A* B = (x, y) x A B, y A B ，用 A 表示集合 A的元素个数.
（1）若 A = 1,1 ，B = 0,1,2 ，求 A* B ；
（2）求证： A* B A B ；
（3）设 A B M = a1,a ,a S = A* B2 3 , ,an ，且 A = 2，记 n ，求 Sn . A,B M
高三数学试题 第 4 页 （共 4 页）
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2025 届高三考前指导卷
参考答案
1.A；2.D；3.A；4.B；5.C；6.A；7.B；8.B；9.BD；10.ACD；11.ABD；
y2 x
2
12. =1 3；13. ；14.不是、15；
3 3
15.解：（1）提出假设为H 0：测试结果与天气类型没有关系， .…………1 分
2 200 (80 50 20 50
2
)
根据列联表中数据，求得 1800 = = 19.780 6.635， .…………6
100 100 130 70 91
分
可以推断假设H 0不成立.因此有99%的把握认为，测试结果与天气类型有关. ..…………7 分
1
（2）设车评中心测试的次数为n，则 X ~ B(n, )， ..…………8 分
2
则 P(X = 4) 1=C 4n ( )
n
，P(X = 7) 1=C 7n ( )
n
， ..…………11 分
2 2
4 7
因为 P(X = 4) = P(X = 7)，所以Cn =Cn 即n =11，
所以车评中心测试的次数为11. ..…………13 分
16.(1)证明：在棱 AB 上取一点E ，使得 BE = DC =1，又因为 AB / /CD ，所以四边形
BCDE是平行四边形，则 BC // DE ，因为BC ⊥ PD，所以DE ⊥ PD . ..…………2 分
又因为 AE = 2， AD= 2 ， BAD=45 ，得DE = 2 ，由勾股定理
AD2 + DE 2 = AE 2 ,得
DE ⊥ AD， ..…………4 分
又 AD PD = D ， AD, PD 平面 PAD ，则DE ⊥平面PAD ，又PA 平面 PAD ，
则 DE ⊥ PA， ..…………6
分
又因为 PA⊥CD ， DE CD = D , DE,CD 平面 ABCD，
所以 PA ⊥平面 ABCD . ..…………7 分
(2) 以点 A为坐标原点， AB 为 x 轴， AP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得
A(0，0，0)， B(3，0，0)，C(2，1，0)， D(1，1，0)，P(0，0，2)， ..…………9
分
设 PM = PC ，则 AM = (2 , ,2 2 )， PB = (3,0, 2)，于是
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z
P
M
y
C
D
A B x
AM PB 10 4
cos AM , PB 2 13 = = =
AM PB 9 2 8 + 4 13 39
.…………13 分
化简得54 2 43 +8 = 0，
1 8
解得 = 或 = ，
2 27
PM 1 PM 8
所以 = 或 = . .…………15 分
PC 2 PC 27
1
17. 解：（ 1）由题意得， f (1) = a ， f (x) = a ， f (1) = a 1， .…………2 分
x
所以 f (x) 在 x =1处的切线方程为： y a = (a 1)(x 1)，即 y = (a 1)x +1. .…………4 分
ln x
（2）因为 x 0，ax ln x 0恒成立，即 x 0，a 恒成立.
x
g(x) ln x x 0 g x 1 ln x令 = ， ，则 ( ) = 2 ， .…………2 分 x x
当 x (0,e)时， g ( x) 0 ， g(x) 在 (0,e)上单调递增，
当 x (e,+ ) 时， g ( x) 0， g(x) 在 (e,+ ) 上单调递减， .…………6 分
所以 g(x)max = g(e)
1 1
= ，则a . .…………8 分
e e
1 1 1
（3）因为 ，由（ 2）可得， x 0， x ln x 0 恒成立，即 x 0，x ln x 1 x2
2 e 2 2
h x ex 1令 ( ) = x2 ， x 0，则h (x) = ex x ， .…………10 分
2
令 t(x) = h (x) = ex x ，则 t ( x) = ex 1，
当 x 0时， t ( x) 0 ， t(x)在 (0,+ )上单调递增，即 h ( x)在 (0,+ )上单调递增，
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所以h ( x) h (0) = e0 0 =1，则h ( x)在 (0,+ )上单调递增， .…………13 分
则 h(x) h(0) = e0 =1，
则 x 0，h x 1 1( ) = ex x2 0 2 x恒成立，即 x e ， .…………14 分
2 2
x 0 x ln x 1所以 ， x2 ex ，即 x ln x ex . .…………15 分
2
3 2 2
18.解：（1）已知 A(2，0 )， B 1， x y 是椭圆
2 E： + =1(a b 0)
上两点，
a2 b2
1 9
则a = 2，且 2 + 2 =1，解得a2 = 4，b2 = 3， a 4b
E x
2 y2
故椭圆 的方程为 + =1 . .…………4 分
4 3
（2）设原点为O，直线BD与 x 轴交于点Q，因为 S1 = 7S2 ，所以 S BOD = 3S ABD ，
得OQ = 3QA，又OQ QA 2 OQ
3 3
+ = ，则 = ，即Q ，0 . .…………5
2 2
分
9
9 y = 3x + 2
直线 BD的方程为 y = 3x + ，与椭圆联立方程组
2 x2 y2
，
+ =1
4 3
消去 y ，得13x2
23
36x + 23 = 0，由韦达定理得 xD = ， .…………7 分 13
BD 1 ( 10 10则 = + 3)2 xB xD = ， 13
6 9 +
点 A到直线 BD的距离d 2 3 10 ， .…………8 分 = =
10 20
S 1 10 10 3 10 15所以 2 = = . .…………9 分 2 13 20 26
（3）证：过点 P(2，1)的直线斜率显然存在，设方程为 y 1= k(x 2)，与椭圆相交于
y 1= k(x 2)
M (x , y )， N(x , y ) 2 2，联立方程组 x y ，消去 y1 1 2 2
+ =1
，
4 3
得 (3+ 4k 2 )x2 +8k(1 2k )x +16k 2 16k 8 = 0 ，
x x 8k(2k 1)0 x x 16k
2 16k 8
有 ， 1 + 2 = 2 ， 1 2 = ， .…………113+ 4k 3+ 4k 2
分
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3 y
又直线 AB 的方程为： y = x + 3 2，直线 AN 的方程为： y = (x 2)x 2 ， 2 2
S 3
y (x 2)
有 x1, x1 + 3 2 1 ，T x1, ， .…………13
2 x2 2
分
2y y
3 y (x 2)
所以 S M y = 2 x
2 1
T 1 +3 y1 ，
2 x2 2
2 3 x 3 y + y 2 (x1 2) ( 3 2k )x1x2 + (4k +5)(x1 + x2 ) 8(k +1)由 1 1 =
2 x2 2 x2 2
3 2k 16k
2 16k 8 4k 5 16k
2 8k
( ) 2 + ( + ) 2 8(k +1)
= 3+ 4k 3+ 4k
x2 2
0
= = 0
(3 4k 2 )(x 2) ， .…………16 分 + 2
所以2yS yM yT = 0 ，即点 S 为线段MT 的中点. .…………17
分
19.解：（1）因为 A B = 1 ， A B = 1,0,1,2 ，
所以 A B = (1， 1)，(1，0)，(1，1),(1，2) ，
于是 A B = 4 . …………4 分
（2）证：因为 A B = A B A B , A B + A B = A + B ，
所以 A B A B = A B A B ( A + B A B ) ， …………6 分
A B 2= A B A A B B + A B
= ( A B A )( A B B ) 0， …………8 分
综上： A B A B . .…………9 分
（3）当 A B = 2, A B = 2时， A B = C 2 1 1n C2C2 ，
2 1 k 2 1
所以 A B = 2, A B = k 时， A B = Cn C2Cn 2 Ck (n 3) ， …………11 分
n n
A B = C 2C1 k 2 1 2 1 k 2 1所以 n 2Cn 2 Ck =Cn C2 Cn 2 Ck ， …………12 分
A,B M k=2 k=2
n
C k 2C1 =C 0 C1 +C1 C1 + +C n 2 1又 n 2 k n 2 2 n 2 3 n 2 Cn ，
k=2
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n
C k 2C1 0 1 1 1 n 2 1n 2 k =Cn 2Cn +Cn 2Cn 1 + +Cn 2 C2 ， …………15 分
k=2
n
C k 2C1 1 n 2) C 0 C1 C n 2 1所以 n 2 k = （ + （ n 2 + n 2 + + n 2）= （n + 2)2
n 2
，
k=2 2 2
n n
S = C 2C1C k 2 1 2所以 n n 2 n 2 Ck =Cn C
1 k 2 1
2 Cn 2 Ck = n(n 1)(n + 2)2
n 3(n 3) .
k=2 k=2
当n = 2时结论也成立. …………17 分
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