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第十章概率
一、单项选择题
1．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是( )
A．“至少有1名女生”与“都是女生”
B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”
2．甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为( )
A．0.165 B．0.16
C．0.32 D．0.33
3．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B．
C． D．
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A. B．
C. D．
5．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为( )
A．0.24 B．0.28
C．0.30 D．0.32
6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907　966　191　925　271　431　932　458　569　683.该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B．
C． D．
7．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为( )
A. B．
C． D．
8．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A. B．
C． D．
二、多项选择题
9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事件M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )
A．M与N互斥 B．P(M)＝
C．M与N相互独立 D．P(M∪N)＝
10．某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A．p(1－q)＋q(1－p)＋pq
B．p＋q
C．pq
D．1－(1－p)(1－q)
11．如图，一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．事件A表示“数字为偶数”，事件B表示“数字大于4”，事件C表示“数字为3,4,5,6中的一个”，则以下结论正确的是( )
A．事件A与事件B独立
B．事件A与事件C不独立
C．事件B与事件C独立
D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
12．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( )
A．事件M发生的概率为
B．事件M与事件N互斥
C．事件∩发生的概率为
D．事件M与事件N相互独立
三、填空题
13．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为　 .
14．北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为　 .
15．如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠(每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠)，表示两位数，记所得的两位数为X，则P＝　 .
16．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的血型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血．比如父亲和母亲的血型分别为AO，AB，则孩子的血型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果．已知小明的爷爷，奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是B型血的概率为　 .
四、解答题
17．(本小题满分10分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
18．(本小题满分12分)已知A，B两种奖券的中奖率分别为，.
(1)若甲购买了A，B两种奖券各一张，求恰有一张奖券中奖的概率；
(2)若甲购买的A，B两种奖券数量相同，为了保证甲中奖的概率大于，求甲至少要购买的奖券数量．
19．(本小题满分12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如下：
男：165　166　168　172　173　174　175　176　177　182　184　185　193　194
女：168　177　178　185　186　192
公司规定：成绩在180分以上(包括180分)者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”的人选和“乙部门”的人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一个是“甲部门”人选的概率是多少？
20．(本小题满分12分)某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植．为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立.
　　　村庄　农作物　　 甲村 乙村
A 250 150
B 250 350
(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；
(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物B的概率；
(3)经调研，农作物A的亩产量为800斤、900斤、1 000斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率．
21．(本小题满分12分)某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分)．
甲社区20名居民的打分记录如下：
52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.
将乙社区20名居民的打分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，并画出了其频率分布直方图
(1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；
(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；
(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．
22．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚．先在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元) 50 100 150 200
迟到的人数y 50 40 20 0
若用表中数据所得频率代替概率．
(1)当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？
(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工．现对会迟到的员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？
第十章概率
一、单项选择题
1．C
　“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错；
“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；
“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错；
“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确．
2．D
　由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，取到优秀成绩的概率为30%×40%＋35%×60%＝0.33.
3．D
　由题意，灯泡不亮包括：4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝，所以灯泡亮的概率为1－＝.
4．D
　用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2) .根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.
5．B
　由表知：甲购买A口罩概率为0.5，乙购买B口罩概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.
6．C
　由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,932,271共3组随机数，故所求概率为.
7．B
　根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%，
则含1个二等品零件的包数占90%，
在含1个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，
若抽取的4个零件都是一等品，其概率为P1＝＝，
在含2个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，
若抽取的4个零件都是一等品，其概率为P2＝＝，
则小张决定采购该企业产品的概率为P＝×＋×＝.
8．B
　最后乙队获胜包含3种情况：第三局乙胜；第三局甲胜，第四局乙胜；第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝.
二、多项选择题
9．BCD
　由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，故事件M与事件N为相互独立事件，故A错误，C正确；P(M)＝＝，故B正确；P(M∪N)＝1－P(∩)＝1－×＝，故D正确．故选BCD.
10．AD
　记事件A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”．则P(A)＝p，P(B)＝q，且A，B相互独立．从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为A＋B＋AB，为三个互斥事件的并，所以P(A＋B＋AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(1－q)＋q(1－p) ＋ pq，故A正确；从反面考虑，事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事件　，易得P(　)＝(1－p)(1－q)，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1－P(　)＝1－(1－p)(1－q)．故D正确．故选AD.
11．ACD
　由题意得：
事件A包含{2,4,6,8}，则P(A)＝＝，
事件B包含{5,6,7,8}，则P(B)＝＝，
事件C包含{3,4,5,6}，则P(C)＝＝，
事件AB包含{6,8}，则P(AB)＝＝，
事件AC包含{4,6}，则P(AC)＝＝，
事件BC包含{5,6}，则P(BC)＝＝，
事件ABC包含{6}，则P(ABC)＝.
显然，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A与事件B独立，故A正确；
P(AC)＝P(A)P(C)，事件A与事件C独立，故B错误；
P(BC)＝P(B)P(C)，事件B与事件C独立，故C正确；
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，故D正确．
故选ACD.
12．AD
　抛掷该正四面体两次，基本事件有4×4＝16种，
依题意：事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，
所以P(M)＝＝， A选项正确．
若两次投掷向下的数字都为3,3＋3＝6，则事件M，N同时发生，所以M与N不互斥，B选项错误．
事件∩表示：“第一次向下的数字为1或2，且两次向下的数字之和为奇数”，
包含的事件为：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，共4种，
所以事件∩发生的概率为＝.
事件M∩N表示：“第一次向下的数字为3或4，且两次向下的数字之和为偶数”，
包含的事件为：(3,1)，(3,3)，(4,2)，(4,4)，共4种，
所以事件M∩N发生的概率为＝.
事件N包含的事件为(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，(4,4)，共8种，
所以P(N)＝＝，
所以P(MN)＝P(M)P(N)，即事件M与事件N相互独立，所以D选项正确．
故选AD.
三、填空题
13． 　.
　记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝＋＝.
14． 　.
　记3个社团分别为A，B，C，依题意甲参加A社团的概率为.乙参加A社团的概率为，所以甲和乙都参加A社团的概率为×＝，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为，甲和乙都参加C社团的概率为，所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为＋＋＝.
15． 　.
　由已知随机试验从个位档与十位档靠梁拨3颗珠，表示两位数，可得下列结果：
61,65,21,25,56,52,16,12，共8个结果，
其中随机事件X>30包含下列结果，61,65,56,52，
所以P(X>30)＝＝.
16． 　.
　小明的父亲可能血型为AA，BB，AB，概率分别为，，.
AA与AB的孩子血型可能为AA，AB，无B型血，
BB与AB的孩子血型可能为AB，BB，概率分别为，，即B型血的概率为，
AB与AB的孩子血型可能为AA，BB，AB，概率分别为，，，即B型血的概率为，
所以小明是B型血的概率为×＋×＝.
四、解答题
17．　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
18．　(1)恰有一张奖券中奖的概率为×＋×＝.
(2)设甲购买的奖券数量为2x，则A，B两种奖券的数量均为x.
甲没中奖的概率为xx＝x，所以甲中奖的概率为1－x.
由1－x>，得x<，
因为4＝>，5＝<，且y＝x为减函数，所以x≥5.
故甲至少要购买的奖券数量为5×2＝10.
19．　(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.女生成绩的平均数＝＝181.
(2)用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
由题意可知，“甲部门”的人选有8人，“乙部门”的人选有12人．
所以选取的“甲部门”的人选有8×＝2(人)，
“乙部门”的人选有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的人选为A1，A2，选中的“乙部门”的人选为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能结果为(A1，A2) ，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一个是“甲部门”的人选的结果有7种．
所以至少有一个是“甲部门”人选的概率为.
20．　(1)记“甲村选择种植农作物A”为事件A，“乙村选择种植农作物A”为事件B，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2)因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为，，
乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为，.
随机抽取的4户中有0户选择种植农作物B的概率为：
P1＝×××＝.
有1户选择种植农作物B的概率为：
P2＝2××××＋××2××＝＝.
记“至少有2户选择种植农作物B”为事件C，
则P(C)＝1－P1－P2＝1－－＝.
(3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D，
则P(D)＝×＋×＝.
21．　(1)因为20×75%＝15，
所以这20个数据的第75百分位数是从小到大排列的第15和第16个数的平均数，即＝85.5，
即甲社区20名居民打分的第75百分位数为85.5.
(2)由频率分布直方图可知，乙社区20名居民打分的平均分为：
55×0.1＋65×0.2＋75×0.25＋85×0.3＋95×0.15＝77.
(3)甲社区打分不低于90分的有2人记作A、B，
乙社区打分不低于90分的有0.015×10×20＝3人，记作a、b、c，
从中任选2人的可能结果有AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、ab、ac、bc共10个基本事件，
其中满足2人不在同一社区的有Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc共6个基本事件，
所以2人不在同一社区的概率P＝＝.
22．　(1)设“当罚金定为100元时，员工迟到的行为”为事件A，则P(A)＝＝，不处罚时，迟到的概率为＝.所以当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低.
(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽取两人．
设从A类员工抽取的两人分别为A1，A2，从B类员工抽取的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24种．
设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种，所以P(N)＝＝，所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.

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