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2024-2025学年山东省山东省枣庄市第八中学高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.用数字，，，，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.在个大小相同的球中有个红球和个白球，不放回地依次摸出个球，在第次摸出红球的条件下，第次也摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 是区间上的增函数 B. 是区间上的减函数
C. 是的极大值点 D. 是的极小值点
6.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为，且三次抛掷的结果互相独立．记事件为“至少两次结果为正面”，事件为“第三次结果为正面”，则( )
A. B. C. D.
8.函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若小明坐公交上班的用时单位：分钟和骑自行车上班的用时单位：分钟分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10.下列关于组合数的等式中，正确的是( )
A. B. C. D.
11.从棱长为个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则( )
A. B. C. 时，为定值 D. 数列的最大项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，，这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种
13.若事件，互斥，，，，则 ．
14.已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，已知第项与第项的二项式系数相等．
求展开式中各项系数之和；
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中的有理项．
16.本小题分
某次测验满分为分，组和组各有人参加，成绩如下表：
对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀．
从两组中任取名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
从组中随机抽取名学生，再从组中随机抽取名学生．用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布列和数学期望；
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，求函数的极大值与极小值．
18.本小题分
为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题假设其难度和测试的道题基本相同，但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
19.本小题分
已知函数．
当时，恒成立，求实数的取值范围；
已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为．
记为直线交点的横坐标，求证：；
若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，由组合数的性质得，
令，得展开式中各项系数之和为．
因为二项式的展开式的通项为，
因为，
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为．
由可得：二项式的展开式的通项为，
令，得，
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述：二项式展开式中的有理项为，，

16.解：记学生成绩为良好的概率为．
组中良好的学生有人，再从组中良好的学生有人，
从两组中任取名学生，该名学生成绩为良好的概率为
根据题意得，组中优秀的学生有人，再从组中优秀的学生有人，的可能取值为，，
则，，
，
所以的分布列为：
因此，的数学期望

17.解：由可得其定义域为，
且；
当时，恒成立，此时的单调递增区间为；
当时，，若或，；
若，；
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，，若或，；
若，；
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上可得时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，此时；
由可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
所以可得函数在时取得极大值，即，
在时取得极小值，即；
所以函数的极大值为，极小值为．

18.解：记、软件能正确解答数学问题的概率分别为和，
由题中数据可得，．
记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，
“该题为几何题”为事件．
则，，，，
，，
由全概率公式可得，
，
因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小明应该使用软件来解决这道试题．
因为，，
故选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答，
用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，．
则，，
所以，，
，，
因为、相互独立，则，
．

19.解：由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，
所以，则．
设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，，所以在上单调递减．
故当时，，所以；
当时，，所以，则．
由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，也可写为
代入中得：有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即．

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