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2024-2025 学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高二下学期期中考
试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中
选出 1 人来完成这件工作，则不同的选法种数是( )
A. 9 B. 10 C. 20 D. 40
2.(2 )5的展开式中 2 3的系数为( )
A. 80 B. 80 C. 40 D. 40
3.一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种( )
A. 24 B. 25 C. 31 D. 32
4.为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁 4 位同学每人从中任选 1
门课程参加，则不同的选法共有( )
A. 12 种 B. 64 种 C. 81 种 D. 96 种
5.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁 77 从武汉出发( 77 只会在长沙、广州、深圳停)，分别在每个停的站
点至少下一个人，则不同的下车方案有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 81 种 D. 256 种
6.某种灯泡的使用寿命为 2000 小时的概率为 0.85，超过 2500 小时的概率为 0.35，若某个灯泡已经使用了
2000 小时，那么它能使用超过 2500 小时的概率为( )
A. 17 B. 7 C. 7 D. 320 17 20 17
7.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次
投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312
8.设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱，3 箱，2 箱，三厂产品
的废品率依次为 0.1，0.2，0.3.从这 10 箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为( )
A. 0.83 B. 0.72 C. 0.80 D. 0.70
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列问题属于排列问题的是( )
A.从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地
B.从 10 个人中选 2 人去扫地
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C.从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队
D.从数字 5，6，7，8 中任取两个不同的数作幂运算
10.下列说法中正确的是( )
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B.设有一个线性回归方程 = 3 5 ，变量 增加 1 个单位时， 平均增加 5 个单位
C.设具有相关关系的两个变量 , 的相关系数为 ，则| |越接近于 0， 和 之间的线性相关程度越强
D.在一个 2 × 2 列联表中，由计算得 2的值，则 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
11.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”
六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则( )
A.甲乙丙三人选择课程方案有 120 种方法
B. 5恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为9
C. 25已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为36
D. 1设三名同学选择课程“礼”的人数为 ，则 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知变量 和 的经验回归直线方程为 = 0.8 1.4，则 = 10 时的观测值为 6.5，此时残差为 (注：
观测值减去预测值称为残差)．
13.从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不同的社区活动服务者，要求男、女生各 1 人，那么
不同的安排有 种(用数字做答)；
14.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
假设某地区高二学生的身高服从 = 170、 2 = 100 的正态分布，即均值为 170(单位： ，下同).在该地
区任意抽取一名高二学生，求：
(1)这名学生的身高不高于 170 的概率；
(2)这名学生的身高在区间[160,180]内的概率；(结果精确到 0.1%)
(3)这名学生的身高不高于 180 的概率．(结果精确到 0.1%)
参考数据： ( ≤ ≤ + ) = 0.6827．
16.(本小题 15 分)
已知(1 + 3 )8 = 0 + 1 + 22 + … + 77 + 88 ，计算：
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(1)展开式二项式系数之和；
(2)展开式各项系数之和；
(3) 0 1 + 2 3 + … 7 + 8；
(4) 1 + 2 + … + 8．
17.(本小题 15 分)
一批笔记本电脑共有 10 台，其中 品牌 3 台， 品牌 7 台．如果从中随机挑选 2 台．
(1)求这 2 台电脑中至多有 1 台 品牌电脑的概率；
(2)求这 2 台电脑中 品牌台数 的分布列及均值和方差．
18.(本小题 17 分)
应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后
实现“碳中和”，2020 年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在 2030 年前实现“碳达
峰”，努力争取在 2060 年实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某
区域销售 2022 年 1 月至 2022 年 5 月这 5 个月的销售量 (单位：百辆)的数据如下表：
月份 2022 年 1 月2022 年 2 月2022 年 3 月2022 年 4 月2022 年 5 月
1 2 3 4 5
月份代码
45 56 64 68 72
销售量
(1)依据表中的统计数据，请判断月份代码 与该品牌的新能源汽车区域销售量 (单位：百辆)是否具有较高
的线性相关程度？(参考：若 0.30 < | | < 0.75，则线性相关程度一般；若| | ≥ 0.75，则线性相关程度较高．)
(2)求销售量 与月份代码 之间的线性回归方程；
(3)预测 2022 年 6 月份该区域的销售量(单位：百辆)．
参考数据：5 =1 = 305，
5 2 5
=1 = 460， =1 = 66， 46 = 6.78．

参考公式：一组数据 1, 1 、 ,

2 2 、 、 , 的线性相关系数 = =1
．
2 =1 =1 2

线性回归方程 = + = =1 中， 2 ， = ． =1
19.(本小题 17 分)
淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机
构在参观西游乐园的游客中随机抽取了 200 名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得
到以下的 2 × 2 列联表：
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有购买意愿没有购买意愿合计
男 40
女 60
合计 50
(1)完成上述 2 × 2 列联表，根据以上数据，根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为购买西游主题
毛绒公仔与学生的性别有关？
(2)某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，
分别放大小相同的 1 个红球和 3 个蓝球，2 个红球和 2 个蓝球，以及 3 个红球和 1 个蓝球．游客可以从三
个袋子中任选一个，再从中任取 2 个球，若取出 2 个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有 3 名
同学参加该游戏， 表示 3 名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量 的概率分布及数学期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2
≥ 0.05 0.0250.0100.005 0.001

3.8415.0246.6357.87910.828
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0.1
13.24
14.24
15.【详解】(1)设该学生的身高为 ，由题意可知 170, 102 ．
( ≤ 170) = 50％；
(2) (160 ≤ ≤ 180) = (170 10 ≤ ≤ 170 + 10) ≈ 68.3％；
(3)由(2)以及正态曲线的对称性可知 (170 ≤ ≤ 180) = 12 (160 ≤ ≤ 180) ≈
1
2 × 68.3％ = 34.15％，
由概率加法公式可知：
( ≤ 180) = ( ≤ 170) + (170 ≤ ≤ 180) ≈ 50％ + 34.15％ ≈ 84.2％．
16.【详解】(1)二项式展开式二项式系数之和为28 = 256．
(2)令 = 1 得展开式各项系数之和为 0 + 1 + 2 + + 7 + 8 = (1 + 3)8 = 216①.
(3)令 = 1 得 0 1 + 2 3 + 7 + 8 = (1 3)8 = 28 = 256．
(4)令 = 0 得18 = 0，即 0 = 1，由①得 + + + 161 2 7 + 8 = 2 1．
2
17. C 21 7【详解】(1)根据题意，这 2 台电脑全部是 品牌的概率为 = 7 =
C210 45
= 15，
2 7 8所以这 台电脑中至多有 1 台 品牌电脑的概率为 1 15 = 15．
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(2)依题意， 的可能取值为 0,1,2，
2 1 1 2
则 ( = 0) = C7 = 72 15， ( = 1) =
C3C7 7
2 = 15， ( = 2) =
C3
2 =
1
15，C10 C10 C10
则 的分布列为：
0 1 2
7 7 1
15 15 15
所以 ( ) = 1 × 715 + 2 ×
1 3
15 = 5，
2 2 2
( ) = 0 35 ×
7 3 7 3 1 28
15 + 1 5 × 15 + 2 5 × 15 = 75．
18. 1+2+3+4+5【详解】(1)解：由表中的数据可得 = 5 = 3， =
45+56+64+68+72
5 = 61，
5 =1
2 = (1 3)2 + (2 3)2 + (3 3)2 + (4 3)2 + (5 3)2 = 10，
5
所以 = =1
= 66 6610× 460 = 10 46 ≈ 0.97 > 0.75，5 5 =1 2 2 =1
故 与 具有较高的线性相关程度．
5
(2)解： = =1 = 66 = 6.6， = = 61 6.6 × 3 = 41.2，
5 2 =1 10
所以线性回归方程为 = 41.2 + 6.6 ．
(3)解：令 = 6 可得 = 41.2 + 6.6 × 6 = 80.8，估计 2022 年 6 月份该区域的销售量约为 80.8 百辆．
19.【详解】(1)由题可得 2 × 2 列联表如下：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男 90 40 130
女 60 10 70
合计 150 50 200
提出假设 0：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
2 = 200(90×10 60×40)
2 600
150×50×130×70 = 91 ≈ 6.5934 < 6.635，
因为当 0成立时， 2 ≥ 6.635 的概率大于 1%，所以没有 99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的
性别有关．
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(2) 2 = 1
2 2
一次游戏中取出 个红球的概率 3 × 0 +
1 × C2 1 3 23 C2 + 3 × 2 =4 C4 9
，
由题可知 = 0，1，2 3 2， ，则 3, 9 ，
3 2
所以 ( = 0) = 1 2 3439 = 729， ( = 1) = C
1
3
2
9 1
2 = 989 243，
2 3
( = 2) = C2 2 2 283 9 1 9 = 243， ( = 3) = C
3
3
2 8
9 = 729，
所以随机变量 的概率分布为

0 1 2 3
343 98 28 8
729 243 243 729
所以 ( ) = 0 × 343 + 1 × 98 28 8 2729 243 + 2 × 243 + 3 × 729 = 3．
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