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2024-2025 学年广东省清远市第三中学教育集团高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若曲线 = ( )在某点 0, 0 处的切线的斜率为 1，则该曲线不可能是( )
A. = 1 B. = sin C. = e
D. = + ln
2.设等差数列 的前 项和为 ，且 9 = 27，则 2 + 4 + 9 =( )
A. 9 B. 6 C. 3 D. 0
3.已知直线 = 是曲线 = 的切线，则实数 的值为( )
A. 1 1 B. C. D.
4.等差数列 的前 项之和为 ，若 2 + 3 + 5 + 6 = 88，则 7 =( )
A. 110 B. 132 C. 154 D. 176
5.已知 ln 、 满足 0 < < < ，则 + 与
+ ln 的大小关系为( )
A. + ln >
+ ln B.
+ ln =
+ ln
C. + ln < + ln D.不能确定
1
6.函数 ( ) = 3 + 2 cos , = lg3 , = ln 12 , = 23 ，则 , , 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.已知函数 ( ) = e 2 +1( 2)2( + 1)3，则 ( )的一个单调递增区间是( )
A. ( ∞,2] B. [2,3] C. 32 , 4 D. [4, + ∞)
8.已知数列{ }满足 +1 = 2 ( ∈ ) , 2 = 3 , 则 8 =( )
A. 511 B. 502 C. 256 D. 255
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， ， ， ， 五个人并排站在一起，下列说法正确的是( )
A.若 ， 不相邻，有 72 种排法 B.若 ， 不相邻，有 48 种排法
C.若 ， 相邻，有 48 种排法 D.若 ， 相邻，有 24 种排法
10.下列叙述正确的是( )
A. = sin2 + 2sin2 +2的最小值为 2 2 2
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B.命题 ： ∈ [0, + ∞), 2 + ≥ 0 的否定为： ∈ [0, + ∞), 2 + < 0
C. 8 个数据 148、148、154、154、146、142、156、158 的中位数为 151
D.设随机变量 服从正态分布 2, 2 且 ( < 4) = 0.9，则 (0 < < 2) = 0.3
11.下列说法正确的是( )
A.若( 2)6 = 0 + 1 + 22 + + 66 ，则 0 + 1 + + 6 = 729
B.若3 + 3 1C1 + 3 2C2 + + C = 218，则C1 + C2 + + C = 512
C. 0.988精确到 0.01 的近似值为 0.85
D. 22024除以 15 的余数为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 6 + 2 与 6 2 的等比中项为 ．
13.一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点 (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点( , )，( , ∈ N )，记
可能的爬行方法总数为 ( , )，则 ( , ) = . (用组合数作答)
14.已知函数 ( ) = log2 ，给出三个条件：① = 2 ；② = 1；③ =
1
+1 .从中选出一个
能使数列 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 的前 项和 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
写出从 、 、 、 、 这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
16.(本小题 15 分)
第十四届全国人民代表大会第一次会议于 2023 年 3 月 5 日上午开幕，3 月 13 日上午闭幕．某校为了鼓励
学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
男学生女学生合计
关注度极高45 40 85
关注度一般5 10 15
合计 50 50 100
(1)若从该校随机选 1 名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
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(2)用频率估计概率，从该校随机选 20 名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为 ，求 的期望．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 92
2 + 6 3
(1)求函数 ( )在区间[0,3]上的最值；
(2)在所给的坐标系中画出函数 ( )在区间[0,3]上的图象；
(3)若直线 = 6 + 是函数 ( )的一条切线，求 的值．
18.(本小题 17 分)
1
在二项式( 82 ) 的展开式中，求：
(1)展开式的第四项；
(2)展开式的常数项；
(3)展开式的各项系数的和．
19.(本小题 17 分)
已知 的前 项和为 ， 1 = 1.① ， 都是等差数列；② 是等差数列， 3 = 9；③ 是正项
数列，4 = + 1 2.从①②③中选择一个条件，完成下列问题．
(1)求 的通项公式；
(2) = 1 1011若 ，求 的前 项和 ，并解不等式 > +1 2023
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.± 2
13.C + (或C + ).
14.2 1/ 1 + 2
15.解：任意取出两个元素的所有排列为：
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ．
16.解：(1)记事件 为“选到的是男学生”，记事件 为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”．
45
= ( ) 100 9 ( ) = 85 = 17．
100
(2) 85 17从该校随机选 1 名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为100 = 20．
17
由题意得 20, 20 ，
则 ( ) = 20 × 1720 = 17．
17.解：(1) ∵ ′( ) = 3 2 9 + 6 = 3( 1)( 2)，
∴当 ∈ [0,1) ∪ (2,3]时， ′( ) > 0；当 ∈ (1,2)时， ′( ) < 0；
∴ ( )在[0,1), (2,3]上单调递增，在(1,2)上单调递减，
又 (0) = 3 (1) = 1 (2) = 1 (3) = 3， 2， ， 2，
∴ ( )min = (0) = 3， ( )
3
max = (3) = 2．
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(2)由(1)可得 ( )在区间[0,3]上的图象如下图所示，
(3)由(1)知： ′( ) = 3( 1)( 2)，令 ′( ) = 6，解得： = 0 或 3；
当 = 0 时，切点为(0, 3)，则切线方程为： = 6 3，∴ = 3；
当 = 3 时，切点为 3, 3 32 ，则切线方程为： 2 = 6( 3)，即 = 6
33 33
2，∴ = 2；
综上所述： = 3 33或 2．
18. 1解：(1)二项式( )8的展开式的通项为 = C 8 12 +1 8 ( 2 )
= ( 1 8 2 2 ) C8 , 0 ≤ ≤ 8, ∈ ，
= C3 8 3( 1所以第四项 )34 8 2 = (
1 )32 C
3 8 6 2
8 = 7 ．
(2) 1 1二项展开式的通项为 8 +1 = C8 ( 2 ) = ( 2 )
C 8 2 8 , 0 ≤ ≤ 8, ∈ ，
令 8 2 = 0，得 = 4，
1 35
所以展开式的常数项为( )4C42 8 = 8．
(3) 1 1令 = 1，得展开式的各项系数的和为(1 2 )
8 = 256．
19.解：(1)选择①：设 的公差为 .因为 是等差数列，
所以 1 + 3 = 2 2，
所以 1 + 1 + 2 + 3 = 2 1 + 2，1 + 3 + 3 = 2 2 + ，
同时平方得 1 + 3 + 3 + 2 3 + 3 = 4(2 + )，
所以 2 3 + 3 = + 4，
所以 12 + 12 = 2 + 8 + 16，解得 = 2．
则 = 1 + ( 1) × 2 = 2 1，
则 =
(1+2 1)
2 =
2， = ，满足题意．
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选择②：设 ′ 的公差为 ，
则 1 = 1 = 1， ′
3 1
3 = 3， = 2 = 1，
所以 = 1 + ( 1) = ，所以 = 2．
所以 = 2 2 1 = ( 1) = 2 1( ≥ 2)，
当 = 1 时， 1 = 1 满足上式，
所以 = 2 1, ∈ ．
选择③：4 2 = + 1 ，
当 ≥ 2 时，4 1 = 2 1 + 1 ，
两式相减得 4 2 2 = 1 + 2 2 1，
所以 2 + 1 = 1 + 1 ．
又 > 0，所以当 ≥ 2 时， 1 = 2，
所以数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)由(1)知 = 2 1， ∈ ，
1 1 1 1
则 = (2 1)(2 +1) = 2 2 1 2 +1 ，
则 = 1 1 2 1 3 +
1 1 1 1 3 5+ + 2 1 2 +1 = 2 +1．
由 1011 = 2 +1 > 2023，所以 > 1011 且 ∈
．
解集为{ | > 1011 且 ∈ }.
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