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2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（六）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考生注意：
考试时间120分钟
全卷共三道大题，总分120分
题号 一 二 三 总分
18 19 20 21 22 23 24
得分
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．2025 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由7块相同的正方体拼成的立体图形，在保持左视图不变的情况下，最多可以移走正方体的数量为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
8．某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（ ）．
A．4种 B．5种 C．9种 D．10种
9．如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．石墨烯目前是世界上最薄最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅米，则数用科学记数法表示为 ．
12．使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为 ．
13．如图，已知，射线平分是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D，则 ．
14．如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为 （结果保留）
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ．
16．如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为 ．
17．如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点D，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点E，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设与的面积之和为，与的面积之和为，与的而积之和为，…，若，则等于 ．（用含有正整数n的式子表示）
三、解答题（本题共7个大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分）
（1）计算：；
（2）因式分解：.
19．（本题满分5分）解方程：．
20． （本题满分8分）某校组织七年级学生参加“智慧校园·赋能”信息技术知识竞赛，为了了解竞赛成绩，随机抽取了部分七年级学生的竞赛成绩进行分析，整理（竞赛成绩满分为100分，不低于90分的为优秀，竞赛成绩分为四个等级：，，，），部分信息如下：
信息一：
信息二：七年级学生竞赛成绩在等级的数据（单位：分）如下：94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90，89，88，86，85．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的人数是________人；
(2)请根据题中的信息补全频数分布直方图；
(3)组对应扇形的圆心角为________；
(4)若该校七年级约有500名同学参加本次竞赛，请估计竞赛成绩优秀的人数．
21．（本题满分10分）如图，为的切线，A为切点，连接并延长，与交于点C，直线交于点E，F，点B在上且，连接交于点D，连接，，．
(1)求证：直线为的切线；
(2)若，，求的值和线段的长．
22．（本题满分10分）甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止．当甲车回到A地时，乙车恰好到达B地，并停止．已知甲车的速度为，设甲车出发后，甲、乙两车之间的距离为，图中的折线表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系．
(1)A、B两地的距离是______，乙车的速度是______；
(2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式；
(3)当两车相距时，直接写出x的值．
23．（本题满分12分）
【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且．
【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）．
（1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ．
【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长；
（4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值．
24．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点且与y轴交于点B，点C在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线B，C两点之间（包括B，C两点）的部分记为图象G．

(1)求此抛物线对应的二次函数表达式；
(2)当时，二次函数的最大值是________，最小值是________；
(3)图象G的最大值与最小值的差为3时，求m的值；
(4)抛物线（b为常数）与x轴的另一交点为D，若点M在抛物线上，且在x轴下方，点N为x轴上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点N的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（六）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C B B B D C
1．A
【分析】本题考查了有理数的倒数，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键；
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案.
【详解】解：2025的倒数是；
故选：A.
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图标既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方的运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
根据同底数幂乘除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C ．
4．B
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，利用矩形和平行线的性质求角度是解题的关键．根据矩形和平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
根据矩形的性质得，，，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，先根据左视图是从左边看到的图形画出原几何体的左视图，再根据左视图不变求解即可．
【详解】解；由题意得，该几何体的左视图为 ：
∴要使左视图不变，可以拿掉的正方体如下（箭头所指）
∴最多可以拿掉4个正方体，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，
点落在白色区域的频率稳定在左右，
估计此二维码中白色区域的面积为．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键．
先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，当，即方程无意义，故，
∵关于的方程的解为正数，
∴，即．
综上，的取值范围为且．
故选B．
8．B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买A商品x件，购买B商品y件，根据用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品列二元一次方程，结合购进的A种商品不少于10件求解即可．
【详解】解：设购买A商品x件，购买B商品y件，由题意，得
，
∴，
∵进的A种商品不少于10件，
∴，，，，，
故选B．
9．D
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．
【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，
则在直角中，根据勾股定理得到，
当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分；
当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变；
综上所述，选项D正确．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程等知识，由抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，得到，由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，可判断①，由图象可知，当时，，可判断②，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小可判断③，由抛物线与直线有交点，方程有解，，则有实数解，要使有实数解，则，可判断④，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，则，设，，由根与系数的关系得到，则，得到，再得到，所以，即，设，则，解得，则可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，
∴，
由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故②不符合题意；
若点，，在抛物线上，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小和图象可知，，故③不符合题意；
∵抛物线与直线有交点，方程有解，，
∴有实数解，
要使有实数解，
∴，故④不符合题意；
过点作轴于点，如图：
由抛物线的对称性可知，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是抛物线的顶点，
∴，，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
设，
∴，
解得：，
∴，故⑤符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零是常考知识点，需重点掌握．
根据二次根式的性质和分式的性质即可得．
【详解】解：由二次根式的性质和分式的性质得，
解得，
故答案为：且．
13．
【分析】根据作图得到，得到，进而得到，角平分线得到，进而得到，进而得到，过点作，三线合一结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
∴，
过点作，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作平行线，平行线的性质，等角对等边，三线合一，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
14．
【分析】本题考查的是求解扇形的面积，先计算纸杯的底面积为，再结合展开图可得纸杯的侧面积是；进一步可得答案．
【详解】解：如图，纸杯的底面积为，
纸杯的侧面积是；
设展开图圆心角，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
∴纸杯的侧面积是
；
∴纸杯的表面积为．
故答案为：
15．6
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，矩形的性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
设，则，，由此得到，，，然后利用四边形的面积为18求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形的面积为18，
∴，即，
解得，．
故答案为：6．
16．或
【分析】根据直角三角形的性质可得出，，，根据菱形的性质得出，，分为与的边平行和与的边平行，两种情况进行分析，结合平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
又∵，点是中点，
∴，，
在以为对角线的菱形中，，，
即，，，
∴，，
当与的边平行时，如图：
∵，，
∵，
在中，，
∴，
故，
在中，，
∴，
∴当与的边平行时，菱形的边长为；
当与的边平行时，如图：
∵，，
∵，
在中，，
∴，
又∵，
即，
∴，
故，
在中，，
∴，
∴当与的边平行时，菱形的边长为；
当与的边平行时，此时点不在边上，故该情况不存在；
综上，当与的一条边平行时，菱形的边长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
17．
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积等知识．设的面积为S，利用相似三角形的性质求出，，…，与S的关系即可解决问题．
【详解】解：设的面积为S，
由题意，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同法，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可得，，
∴，
…，
，
∵，
∴．
故答案为：．
18．（1）1；（2）
【详解】解：（1）
；
（2）解：原式
19．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可．
【详解】解：，
．
，
，
∴，
∴，
20．(1)本次调查的人数是人
(2)图见解析
(3)
(4)估计竞赛成绩为优秀的有人
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握根据样本估算总体数量，圆心角度数的计算，条形图，中位数的计算方法是关键．
（1）根据C组的人数是4人，占比是，即可求解；
（2）根据题意得到A组的人数为3人，由此补全图形即可；
（3）先算D组的占比，再乘以即可求解；
（4）根据样本百分比估算总体数量的方法计算即可．
【详解】（1）解：C组的人数是人，占比是，
∴（人），
∴本次调查的人数是人；
（2）解：A组的人数为：（人），
∴补全图形如下，
（3）解：D组的人数为人，
∴D组的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：不低于90分的为优秀，
∴此次样本中优秀率为，
∴（人），
∴估计竞赛成绩为优秀的有人．
21．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接，根据切线性质得出，证明，，即可得出，得出答案；
（2）证明垂直平分，得出，证明，得出,求出，设，得出，，根据勾股定理得出，求出，根据，，是的直径，得出，，根据三角形函数定义求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴直线为的切线；
（2）解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴,
即，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
解得 (不合题意，舍去)，，
即，，
∵，，
是的直径，
∴，，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解 直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22．(1)600；75
(2)
(3)或或
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意和函数图象中的数据，可知、两地的距离是，然后根据的坐标，可以得到乙车的速度；
（2）根据题意，可以求得点的坐标，然后即可写出点表示的实际意义，再根据函数图象中的数据，可以求得线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以求得当两车相距时，对应的的值．
【详解】（1）解：由图象可得，
、两地的距离是，
乙车的速度为：，
故答案为：600，75；
（2）解：，
点的实际意义：在两车行驶4小时时，甲车到达地，此时甲乙两车的距离是；
甲车行驶4小时时，乙车行驶了，
当甲车与乙车相遇时，又行驶了，
，，，
设线段所表示的与之间的函数表达式为，
，
解得，
即线段所表示的与之间的函数表达式为；
（3）解：当时，
，
解得；
当时，
，
解得，；
当时，
，
解得，；
由上可得，当两车相距时，的值是或或．
23．（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）或；（4）
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明．
（2）画图分类计算即可．
（3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可；
（4）连接，取中点M，连接，则，利用三角形中位线定理，三角形不等式，勾股定理解答即可．
【详解】（1）且仍成立．理由如下：
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；；
延长，二线交于点M，与交于点N，
则，，
∴，
∴，
∴．
故且．
（2）如图，∵，
∴，
∴，
故；
如图，∵，
∴，
∴，
∴，
故．
．
故答案为：或
（3）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时，
连接交于点M，
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，，,,
∴，
∵，
∴，
∴；
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，,,
∴，
∴；
当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时，
连接，交于点N，
同理可证，，
∴；
综上所述，的长为或；
（4）如图，连接，取中点M，连接，
则，
∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，
∴，
,
∴，
∵，
∴三点共线时，线段长度取得最大值，
此时，．
故线段长度的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式的应用求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
24．(1)
(2)4，
(3)或
(4)，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据，可得当时，y取最大值，最大值为4，再根据二次函数图象和性质可得，当时，时，y取最小值，即可求解；
（3）设，分类讨论：当，当时，当时，当时，分别进行求解即可；
（4）先求出、，设，，利用中点坐标公式列方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴对称轴为，
∴当时，y取最大值，最大值为4，
当时，，
∴当时，二次函数的最大值是4，最小值是，
故答案为：4，；
（3）解：设，
当，即时，
∴，
解得，（舍），
当时，则，
∴，
，
∴方程无解，
当时，则，
∴，
，
当时，则，
∴，
解得，（舍），
综上所述，或；
（4）解：∵抛物线对称轴为，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，，如图，
解得或．

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式，用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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