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2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（四）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考生注意：
考试时间120分钟
全卷共三道大题，总分120分
题号 一 二 三 总分
18 19 20 21 22 23 24
得分
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下图是一个组合几何体的三视图，则组成该几何体的是（ ）
A．正方体和长方体 B．长方体和球 C．圆柱和球 D．长方体和圆柱
5．图1是实验室利用过滤法除染的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．清明节假日，小红和小明准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如下图所示：这两位同学从这五个座位中各任意选取个座位，他们选取到相邻座位（与之间含过道不相邻）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，过点D作直线交于点E，若，则的周长是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
9．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
10．如图，抛物线 与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是 ．其中正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．“嫦娥石”是一种新的磷酸盐矿物，呈微小柱状，颗粒大小为2至30微米．已知1微米米，则30微米用科学记数法可表示为 米．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
14．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
15．如图，平行四边形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点C，D在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ．
16．如图，在中，．现将沿过点的一条直线折叠，使点落在线段的延长线上的点处，的角平分线与折痕交于点，连接，．若中一个内角的度数是另一个内角度数的倍，则的度数为 ．
17．如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示）
三、解答题（本题共7个大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分）
（1）计算：．
（2）因式分解：
19．（本题满分5分）解方程：．
20．（本题满分8分）家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭过期药品的处理方式，对全市家庭作一次简单的随机调查，调查问卷中有六个选项：．直接抛弃；．卖给药贩；．直接焚烧；．送回收点；．放置家中；．继续使用．（被调查的家庭只能从中选取一项）药监部门对所有抽样得到的数据进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图，解答下列问题：
(1)本次调查的家庭共有________户，扇形统计图中选项所在扇形圆心角的度数是________；
(2)请补全条形统计图；
(3)家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有万户家庭，请估计有多少万户家庭过期药品的处理方式是正确的．
21．（本题满分10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，时，求的长．
22．（本题满分10分）在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)A，B两地相距________km，乙车中途休息________h；
(2)求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等．
23．（本题满分12分）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【动手操作】如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；过点M，C折叠纸片，使点B落在点处；再沿过点C的直线折叠纸片使得与重合，折痕交于点E．求知小组的同学们通过观察猜测E是的三等分点，并进行证明，过程如下：
设，则 ，．
∵四边形是正方形，∴．
由折叠的性质，得，
∴，即M，，E三点在同一条直线上
在中，，可列方程① ，
整理，得 ②．
∴，即E是的三等分点．
（1）请将上述过程补充完整：① ；②
【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为，交于点．
（2）判断点G是否为 的三等分点，并说明理由．
【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交边于点；再沿过点的直线折叠，使与重合，折痕交边于点，将沿折叠，得到．
（3）若正方形的边长为6，当点P落在的边上时，请直接写出的长．
24．（本题满分14分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，过点向轴作垂线，交轴于点，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点从点出发，沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度．设点的运动时间为秒，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)当为的中点时，求的长．
(3)如图1，连接，当的面积最大时，求的值．
(4)如图2，点运动的同时，点从点出发沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度，为矩形内一点，且点在点的正下方，当四边形为菱形时，直接写出的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（四）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D A D C C B B
1．C
【分析】本题考查了相反数，熟练掌握只有符号不同的两个数叫做相反数是关键．利用相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
2．A
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；
轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合； 中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（ 对称中心） 旋转， 使得旋转前后的图形互相重合． 根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
利用整式的混合运算法则计算并判断．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了组合几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
根据组合几何体的三视图分析即可得到答案．
【详解】解：组合几何体的三视图为
组成该几何体的是长方体和圆柱，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，在依次利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∵，
，
故选：A．
6．D
【分析】此题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，用符合题意的情况数除以总的情况数即可求出答案，掌握列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
这两位同学从这五个座位中各任意选取个座位，他们选取到相邻座位（与之间含过道不相邻）的情况共有种，符合题意的情况数，，，，，，共有种，
∴他们选取到相邻座位（与之间含过道不相邻）的概率是，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，确定，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，

则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论．
【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
综上所述，此次采购的方案有（种）．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，
∴，
∴在中，，
即．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质以及函数与方程的关系是解题的关键．
利用抛物线的对称轴位置即可判断①；根据抛物线与根据抛物线与y轴交于点，与x轴交于点可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；把代入，得，再根据，得即，根据，则，，求得，可判断④；由得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为直线
∵
∴
∴
∴
∴，故①错误；
把代入得，
把代入，得，
∴
∴，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴当时，y随x 的增大而减小
又∵，
∴当时，y 随x 的增大而减小，故③正确；
把代入，得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，即的值是一个定值，故④正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
解得，故⑤正确．
∴正确有②③④⑤共4个，
故选：B．
11．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：30微米用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零，被开方数非负列出不等式组，即可求解．
【详解】解：由题意知：，
解得：且
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为M，则，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
，
解得．
故答案为：．
14．1或
【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键．
先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可．
【详解】解：，
方程两边乘，得，
整理，得．
当，即时，分式方程无解．
当时，，分式方程无解．
把代入整式方程，得，解得．
综上，m的值为1或．
故答案为：1或．
15．
【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四边形面积，再求．
【详解】解：如图：作轴于，则四边形是矩形，
由反比例函数性质知，，
∵，
，
∴．
故答案为：．
16．或或．
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内心的性质，三角形内角和，三角形的外角，分类讨论：当；当；当；当；当时，当情况，即可．
【详解】解：∵沿过点的一条直线折叠，使点落在线段的延长线上的点处，
∴，
∴是的角平分线，
∵是的角平分线，
∴点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵中一个内角的度数是另一个内角度数的倍，
∴当，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
当，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意，
∴不存在；
当，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
∴
∴；
当，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，不符合题意，
∴不存在；
当，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
∴不存在；
综上所述：；；．
故答案为：或或．
17．
【分析】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
根据特殊直角三角形的性质，求出，的边长，即可求出其面积，同理求出的边长，即可求其的面积．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的边长，
∵，，
∴，
又∵，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
在中，，，
∴，，
∴，
在中，同理可求的边长，
∴；
在中，，，
∴，，
∴，
在中，同理可求的边长
……，
∴的边长，
∴．
故答案为：．
18．（1）4；(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
19．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
20．(1)，
(2)见解析
(3)万
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，数形结合是解题的关键．
（1）用选项的人数除以其百分比可求出调查的家庭数量，用乘以选项的占比可求出选项所在扇形圆心角的度数；
（2）求出选项、选项的人数，再补全条形图即可；
（3）乘以送回收点的占比，即可求解．
【详解】（1）解：本次调查的家庭共有（户），
扇形统计图中选项所在扇形圆心角的度数是，
故答案为：，；
（2）：（户），：（户）
补全条形图如下：
（3）（万户）．
答：估计大约有万户家庭过期药品的处理方式是正确的．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）根据切线的判定定理得到是的切线，求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
直径，
，
，
∴，，
，
是的切线；
（2）解：，为半径，
是的切线，而为的切线，
，
连接，
，
∵，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∴是的中位线，
，，
，
∴，而，
∴，
∴，
，
，
.
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理的应用，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．(1)20；1
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键．
（1）根据图象的信息即可解答；
（2）设线段的函数解析式为，代入和，利用待定系数法求出的值，再结合图象即可写出自变量x的取值范围；
（3）根据图象的信息求出甲车的行驶速度、乙车休息前的行驶速度，再分①甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等；②甲、乙两车第一次相遇；③甲、乙两车第二次相遇三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：由图象得，当时，，
A，B两地相距，
由图象得，当时，乙车开始休息；当时，乙车重新出发；
乙车中途休息；
故答案为：20；1．
（2）解：设线段的函数解析式为，
代入和得，，
解得：，
线段的函数解析式为．
（3）解：在时，甲、乙两车同向行驶，且乙车的速度大于甲车的速度，此时两车的速度差为
在时，乙车休息，则甲车的行驶速度为，
乙车休息前的行驶速度为，
①设出发后，甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等，
则有，
解得：；
②由图象得，当甲、乙两车相遇时，两车距B地的距离相等，
两车第一次相遇发生在乙车休息的时间，
此时乙车行驶的距离为，
相遇时间为；
③由图象得，两车第二次相遇发生在C地，
此时甲、乙两车出发；
综上所述，甲、乙两车出发或或，两车距B地的距离相等．
23．（1），；（2）点是的三等分点，理由见解析；（3）的长为或
【分析】（1）将、、的代竖式代入中，即可得方程，利用完全平方公式将式子化简即可得到；
（2）由折叠可得：，，，设，，则，，，在中，，即，整理得，得到，推出，得到，推出，即可求解；
（3）分情况讨论：①当点落在边上时，当点落在边上时，分别根据折叠的性质和三角函数求解即可．
【详解】解：（1）可列方程①：，
②整理方程如下：
，
故答案为：，；
（2）点是的三等分点．
理由如下：
如图：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，，
设，，则，
则，，
在中，，即，
整理得：，
，
，
．
，
，
，即．
，
即点G是的三等分点；
（3）四边形是正方形，
，，
分情况讨论：
①如图1，当点落在边上时，
由折叠的性质得：，
，
，
，
；
②如图2，当点落在边上时，如图：
由折叠的性质得：，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握折叠的性质并分情况讨论．
24．(1)
(2)
(3)（秒）
(4)（秒）
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的相似比、动点问题、菱形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的相似比、平行直线函数解析式的值相等、菱形的性质定理是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题；
（2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题；
（3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值；
（4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
，
解得：，
所以抛物线的函数解析式为．
（2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为，
∵点和点关于直线对称，且，
∴点坐标为，
，
，，
，
又，
，
∵M为的中点，
，
．
（3）解：当边上的高最大时，的面积最大，
即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大，
设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为，
解得：，
设平行于直线且与抛物线相切的直线为，
∵两直线平行，
，
，
∵直线与抛物线相切，
，
整理，得：，
，
解得：，
，
抛物线和直线解析式联立得
，
解得：，
即：，
此时，点横坐标为，代入得：
，
即：，
，
，
（秒）．
（4）解：，
，
根据题意可知点和点的纵坐标相等，
∴将代入得：
，
，
∵，
，
，
可设点坐标为，
则，
当四边形为菱形时，，
即：，
整理，得：，
∴点坐标为，
根据题意，由勾股定理可得：
，
，
即：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
（秒）．
答案第1页，共2页
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