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2024-2025 学年湖北省重点中学高二年级 5 月联合测评数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 + 4 = 0 与直线 6 + 8 5 = 0 间的距离为
A. 1 1 110 B. 5 C. 2 D. 1
2.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，
如数列 1，2，4，7，11 从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列 1，2，3，4 为等差数列，则称数
列 1，2，4，7，11 为二阶等差数列．现有二阶等差数列{ }，其中前几项分别为 5，8，13，20，记该数
列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列{ }，则 7 =
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
3 1.已知函数 ( ) = 3 2 23 + + 1，当 = 1 时， ( )有极大值，则 =
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 或 1
1 4.若 2 2 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含
4项的系数为
A. 80 B. 40 C. 40 D. 80
5.给图中五个区域染色，有 4 种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染
色方法有
A. 216 种 B. 192 种 C. 180 种 D. 168 种
6.如图，在四面体 中，△ 与△ 为等边三角形，且 ⊥ ， ， 分别为棱 ， 的中点，
则异面直线 ， 所成角的余弦值为
A. 15 B. 15 C. 5 D. 56 3 6 3
7.设 为坐标原点，直线 ： = + 2 与抛物线 ： 2 = 8 交于 ， 两点，与 的准线交于点 .若 = 3 ，
为 的焦点，则△ 与△ 的面积之比为
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A. 2 B. 25 3 C.
3
4 D.
1
2
8.函数 ( ) = ln 2 + 2 ，若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 ( + 2)的取值范围是
A. ( ∞, ] B. ( ∞,2 ] C. [2, + ∞) D. ( ∞,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2 2 2
9 .已知双曲线 1： 2 2 = 1 和 2： 2 2 = 1，其中 > 0， > 0，且 ≠ ，则
A. 1与 2虚轴长相等 B. 1与 2焦距相等
C. 1与 2离心率相等 D. 1与 2渐近线相同
10.在空间直角坐标系 中，已知过点 ( 0， 0， 0)且一个法向量为 = ( , , )的平面 的方程为 (
0) + ( 0) + ( 0) = 0；过点 ( 0， 0， 0)且一个方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线 的方

程为 0 0 0 = = .根据上述材料，解决以下问题：已知平面 的方程为 3 4 + 5 7 = 0，直线
是平面 2 + 7 = 0 与 2 + 2 + 1 = 0 的交线，则下列说法正确的是
A.直线 经过点 ( 2,3,3)
B.直线 的一个方向向量为 = (1,0,2)
C. 13 10直线 与平面 所成角的余弦值为 50
D. 3 2若点 (1,1,1)，则点 到平面 距离为 10
11.已知函数 ( ) = 1 33 +
2 + + ，其中实数 > 0， ∈ ，则下列结论正确的是
A.当 < 1 时， ( )必有两个极值点
B. (2, ) 20 7过点 可以作曲线 = ( )的 3 条不同切线，则 ∈ 3 , 3
C.若 ( )有三个不同的零点 1， 2， 3，且
2
1， 2， 3成等差数列，则 = 3
D.若 ( ) 1 1 1有三个不同的零点 1， 2， 3，则 + + = 0 ′ 1 ′ 2 ′ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知多项式( + 2)3(2 1)4 = 7 61( + 1) + 2( + 1) + … + 7( + 1) + 8，则 8 =________．
13.已知过点(1,2)的直线 被圆 2 + 2 2 3 = 0 截得的弦长为 2 3，则直线 的方程为________．
14.已知数列{ } 1 满足 1 = 1， 2 1 2 2025 +1 = 3 + ∈ ，设 = 3+ + 3+ + … +1 2 3+
，设 ∈ ( , + 1)，
2025
则整数 =________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知等比数列{ }的各项均为正数，首项 1 = 3， 为其前 项和，且 1 + 3 2 = 3．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) = log3 ， =
1
，求数列{ }的前 项和 ． +2
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2 + (2 ) ．
(1)若 = 2，求函数 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若函数 ( )在区间(1,2)内有极值点，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图， 是以 为直径的半圆上的动点，已知 = = 3，且 ⊥ ，平面 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的
6
余弦值等于 6 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上、下焦点分别为 1， 2，| 1 2| = 2，顶点在原点的抛物线 的焦点
与椭圆的上焦点相同，过点 1的直线 与 交于 ， 两点，与抛物线交于 ， 两点，当直线 垂直于 1 2时，
| | = 3．
(1)求椭圆 和抛物线 的标准方程；
(2)若△ 3 22的内切圆的半径为 7 ，求直线 的方程；
(3)分别以 ， 为切点作抛物线 的切线 1， 2，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论．
19.(本小题 17 分)
已知 ( )是定义在 上的函数，若对任意 ∈ ， ( ) ≥ 0 恒成立，则称 ( )为 上的非负函数．
(1)判断 ( ) = ln + 1 1 是否为区间(0, + ∞)上的非负函数，并说明理由；
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(2)已知 为正整数， ( ) = 2 2 ln ( > 0)为区间(0, + ∞)上的非负函数，记 的最大值为 ，求证：数
列{ }为等差数列；

(3)已知 ≥ 2 且 ∈ ，函数 ( ) = ( > 0)，若 ( ) = ( ) ( )为区间(0, + ∞)上的非负函数，{ }
(2) + 1 1为 中的等差数列，求证： + + + > ．1 2 2 3 3 4 1 2 +1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.81
13. = 1 或 = 2
14.2022
15.解：(1)由题意，设正项等比数列{ }的公比为 ( > 0)，则
由 1 + 3 2 = 3，可得 1 + 3 1 + 3 2 = 1 + 2 + 3，
即 4 + 3 = 1 + + 2，
整理，得 2 2 3 = 0，
解得 = 1(舍去)，或 = 3．
∴数列{ 1 }的通项公式为 = 3 3 = 3 ， ∈ ．
(2)由(1)知， = log3 = log 33 = ．
则 1 1 1 1 1 = = +2 ( +2)
= 2 +2 ．
故 = 1 + 2 + … +
1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 1 3+ 2 4 + 3 5+ + + 2
1 1 1 1
= 2 1 + 2 + 1 + 2
= 34
2 +3
2 +1 +2 ．
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16.解：(1)当 = 2 时， ( ) = ln 2 2，
则 (1) = ln1 2(1)2 = 2，故点为(1, 2)．
1
求导得： ′( ) = 4 ，则 ′(1) = 1 4 = 3，
所以切线方程： + 2 = 3( 1)，即 = 3 + 1;
(2)函数在(1,2) 1内有极值点，即 ′( ) = 2 + (2 ) = 0 在(1,2)内有解，
2+11
方程 2 + (2 ) = 0 变形为： =

2 +1，
2+1
设 ( ) = 2 +1， ∈ (1,2)，
( ) = (2 +1)
2
由 ′ 2(2 +1)2) < 0，故 ( )在(1,2)内严格递减，
5
(1) = 33 = 1， (2) =
2 1
5 = 2，
1
所以 ( )在(1,2)的值域为 2 , 1 ，
1故 的取值范围为 2 , 1 ．
17.解：(1)证明：过点 作 ⊥ 于 ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，故 BH⊥ ，
又∵ 为直径，∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，且 ⊥ ， 、 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ；
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(2)据(1)知， ⊥平面 ，
=
1 1 1 2 2 1 2 9
3 △ = 2 ≤ 4 ( + ) = 4 = 4，
当 = 时， 最大；
过点 作 ⊥ 于 ，
以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴，过 点垂直于平面 的方向为 轴，建立空间直角坐标系，
设线段 上存在一点 ，满足 = 0 1 ，
设平面 的法向量为 1 = , , ，
(0, 3 , 0) (0, 3 , 0) ( 3则点 2 ， 2 ， 2 , 0,0)， (0,
3
2 , 3)，
= 0,3, 3 ，则 = = 0,3 , 3 ，
∴ = + = 0,0,3 + 0,3 , 3 = 0,3 , 3 3 ，
∴ = ( 3 , 32 2 , 0)，
= 0 3 + 31 2 2 = 0则

,
1 = 0 3 + 3 3 = 0
令 = 1，可得 = 1， = 3 3 3 = 1 ，
故平面 的一个法向量为 1 = (1, 1, 1 )，
因为平面 的法向量为 2 = (1,0,0)，
则平面 与平面 夹角的余弦值
|cos , | = | 1 2| 1 61 2 | 1|·| 2|
= = ，
2
6
1+1+ 1 ×1
2
解得 = 3或 = 2(不合题意舍去)，
所以 = 2 = 13 ，即 3时平面 与平面 夹角的余弦值等于
6．
6
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18.解：(1)据题意可得 1(0, )， 2(0, )，从而直线 方程为 = ，
2 +
2
2
由 2 2 = 1，解得 = ，
=
2 = 2 + 1
所以 2 2 ，解得 = 2, = 3，
= 3

2 2
故椭圆 的标准方程为 3 + 4 = 1，
得 1(0,1)，从而设抛物线的标准方程为 2 = 2 ，

则2 = 1，得 = 2，
抛物线 的标准方程为 2 = 4 ；
(2)据题意设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
由 2 2 ，消去 得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，显然 > 0，
3 + 4 = 1
+ = 6 9则 1 2 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
△ 12的面积 = 2 | 1 2|. | 1 2|
1 2= × 2 × ( + )22 1 2 4 1 2 = (
6 2 36
3 2+4 ) + 3 2+4 =
12 +1
3 2+4 ，
1
三角形面积公式 = 2 (| | + | 2| + | 2|) =
1
2 × 4 ×
= 1 3 2 12 22 × 8 × 7 = 7 ，
12 2+1
从而 3 2+4 =
12 2
7 ，解得 = 1 或 = 1，
故直线 方程为 = + 1 或 = + 1，即 + 1 = 0 或 + 1 = 0;
(3)设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= + 1
由 2 2 = 4 ，消去 得 4 4 = 0，显然 > 0
所以 3 + 4 = 4 ， 3 4 = 4，
= 1对于 4
2 1， ′ = 2 ，
1 1 1 1则点 处的切线 1的方程为 3 = 2 3( 3)，因为 =
2 2
3 4 3，所以 4 3 = 2 3( 3)，
1 1
整理得 = 22 3 4 3，
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1 1
同理，点 处的切线 2的方程为 = 2
2
4 4 4，
= 1 10 3 0 23
设两切线交点为 ( 2 40, 0)，则
1 1
．
2
0 = 2 4 0 4 4
= 3+ 得 40 2 ①，
+ 2
将①代入第一个方程得 3 3 4 3 3 40 = 2 · 2 4 = 4 = 1，
所以无论 为何值，纵坐标恒为 1，故交点在定直线 = 1 上.
19.(1)解：函数 是(0, + ∞)上的非负函数．
′( ) = 1 1 1因为 2 = 2 > 0 ，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0； > 1 时 ′( ) > 0，
因此函数 在 0,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，所以 ( ) 1 = 0，
因此 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)恒成立，所以函数 是(0, + ∞)上的非负函数．
(2) 2 2
2
证明：因为 ′( ) = 2 = > 0 ， > 0，

所以当 0 < < 时，
′( ) < 0；当 > 时，
′( ) > 0，

因此函数 在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，

所以当 = 时，函数 取得最小值，最小值为 ( ) = 2 ln = ln ．

因为函数 是(0, + ∞)上的非负函数，所以 ( ) = ln

0，而 > 0，
因此 0 < ，所以 = ，因此数列 是首项和公差都为 的等差数列．
(3) = ′( ) = ln
1
证明：因为 ′ 2 = (ln ) > 0 ， ≥ 2 且 ∈
，

所以当 0 < < ln 时， ′ < 0;当 > ln 时， ′ > 0，
因此函数 在 0, ln 上单调递减，在 ln , + ∞ 上单调递增，
所以当 = ln 时，函数 取得最小值，最小值为 ( ln ) = ( ln ) ( )．
因为 ( ) = ( ) ( )为区间(0, + ∞)上的非负函数，所以 (

ln ) ( )．
= ′( ) 因为 ′ ，所以函数 在 0, ln 上单调递减，在 ln , + ∞ 上单调递增，
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= 因此当 ln 时，函数 取得最小值，最小值为 ( ln )，所以由 ( ln ) ( )得 = ln ．
ln ln
因为由题意知： = ，所以 = = ． 1 1 1
1 1 1 1
令 = ln 1 + 1 ，则 ′ = 2 = 2 0 1 ，
因此函数 是增函数，所以 1 = 0 1，即 ln 1 1 ，当且仅当 = 1 时，等号成立，
1 1
所以当 ≥ 2 且 ∈ ln 1 1时， = > = > ， 1 1 1 2 +1
+ + + + 因此 >
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 1 2×3
+ 3×4 + 4×5 + + +1
= 1 1 + 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 1 12 3 3 4 4 5 +1 2 +1，
1 1
即 + +1 2 2 3
+ + > ．3 4 1 2 +1
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