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2024-2025 学年湖北省武汉市问津联盟高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 13 在区间 1,8 上的平均变化率为( )
A. 1 1 1 17 B. 7 C. 14 D. 14
2.已知 为各项均为正数的等比数列， 和 是方程 24 5 8 + 10 = 0 的两个根，则 lg 1 + lg 2 + . . . +
lg 8 =( )
A. 72 B. 4 C.
9
2 D. 5
3.二项式(3 1 )63 的展开式中常数项为( )2
A. 160 B. 52 C.
5
2 D. 160
4.甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和甲也相邻的概率为( )
A. 1 B. 1 3 24 10 C. 10 D. 5
5.曲线 = 1 在点(0, 1)处的切线方程为( )
A. 2 + 2 = 0 B. + 2 2 = 0 C. 1 = 0 D. + 1 = 0
6.①9910 1 不能被 1000 整除；②若随机变量 3, 2 ，且 ( > 7) = 0.21，则 ( 1 < < 7) = 0.58；
③如图，现要用 5 种不同的颜色对某市的 4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种
颜色，共有 180 种不同的着色方法.以上说法错误的个数为( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7.在排列 1， 2， 3，…， ( ∈ +)中，任取两个数 ， ( , ∈ +且 < )，如果 > ，则称这两
个数 ， 为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列 2，4，3，5，1 中
任取两数，则这组数是逆序的概率是( )
A. 15 B.
2 3 1
5 C. 5 D. 2
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8.抛掷一枚质地均匀的硬币 次(其中 为不小于 2 的整数)，设事件 表示“ 次中至少有一次正面和一次反
面朝上”，事件 表示“ 次中至多有一次正面朝上”，若事件 与事件 是独立的，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题正确的为( )
A.若 3 = 4 ，则 = 27
B.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于 10 1的概率为9
C.新高考改革实行“3 + 1 + 2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高
1
考，则在选择化学的条件下，选择生物的概率是3
D.在( 2 + 2)5的展开式中含 4 项的系数为 120
10.2022 年 10 月 16 日至 10 月 22 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这
是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻
召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了 10 道有关二十大的
3
测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是4，乙能答对其中的 8 道题，规定每次测试都是从
这 10 道题中随机抽出 4 道，答对一题加 10 分，答错一题或不答减 5 分，总分低于 0 分记为 0 分，甲、乙
两人答对与否互不影响，则( )
A.乙得 40 81分的概率是256 B.乙得分的数学期望是 28
C. 0 13 243甲得 分的概率是256 D.甲、乙的得分都是正数的概率是256
11.已知函数 ( ) = 3 6 2 2，则下列命题中正确的是( )
A. 2 是 ( )的极大值
B.当 < 4 时， ( )有且仅有一个零点 0，且 0 > 2
C.当 1 < < 2 时， ( 1) < ( )
D.若 ( )存在极小值点 1，且 ( 1) = ( 2)，其中 1 ≠ 2，则 1 + 2 2 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 的分布列如下表，则 ( ) =______．
1 2 3
1 1
4 2
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13.已知随机变量 (4, ), 0 < < 1，则 (4 + 1) + 1 取最小值时， (4 + 2) =______．
14.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成
长”.将数列 1,3 进行“美好成长”，第一次得到数列 1,3,3；第二次得到数列 1,3,3,9,3；…，设第 次“美好
成长”后得到数列为 1, 1, 2, , 3，记 = 3(1 1 2 3)，则数列 的通项公式为
_______________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(1 2 )7 = 0 + 1 + 2 2 + 33 + 44 + 5 6 75 + 6 + 7 ．
(1)求(1 2 )7展开式中二项式系数最大的项
(2)求( 0 + 22 + 4 + 6) ( 21 + 3 + 5 + 7) 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 是等差数列{ }的前 项和，且满足 2是 2, 3的等差中项， 3 + 1 是 2, 5的等差中项．
(1)求数列{ }的通项公式
(2)记 = ( 1) ，求数列{ }的前 项和
17.(本小题 15 分)
已知 = 1 是函数 ( ) = 1 33 + ( + 1)
2 ( 2 + 3) 的极值点.则
(1)求实数 的值
(2)过点(0, )可作曲线 = ( )的三条切线，求实数 的取值范围
18.(本小题 17 分)
为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复
赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人
重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他
们各自闯关成功的概率分别为 1, 2, 3.假定 1, 2, 3互不相等．且每 1 人能否闯关成功相互独立．
(1) 1 2 3若计划依次派丙、乙、甲进行初赛闯关． 1 = 2 , 2 = 3 , 3 = 4 .求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知 1 > 1 > 2 > 3.现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 , .求 ( ), ( ).并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一
等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学
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1
生在复赛中前两道题答对的概率均为 .第三道题答对的概率为 .若该学生获得一等奖的概率为8，设该学生
获得二等奖的概率为 .求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、
校外各 1 小时体育活动时间，每天统一安排 30 分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有 20%的人
满分，而该校有 10%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为 50%．
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何
一人，第 1 次由甲将球传出，求第 次传球后球在乙手中的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.74
13.12
14. 3
+1
= 2
15.解：(1) (1 2 )7 展开式的通项公式为 +1 = 7 × ( 2 ) ，
二项式系数最大为 37 = 47 = 35，
即 = 280 3 ， = 560 44 5 ．
(2)由题意 (1 2 )7 = 2 3 4 5 6 70 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ，
令 = 1 ，得 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 76 + 7 = (1 2) = 1
令 = 1，得 0 1 + 2 7 73 + 4 5 + 6 7 = (1 + 2) = 3 = 2187，
所以( 0 + 2 + 4 + 26) ( 1 + 3 + 5 + 7)2 = ( 0 + 1 + + 7)( 0 1 + + 6 7) = 1 ×
2187 = 2187．
16.解：(1)设数列 { }的公差为 ，由 2 是 2、 3 的等差中项得 2 2 = 2 + 3 ，
即 2(2 1 + ) = 2 1 + 3 ，整理得 = 2 1
3 + 1是 2、 5 的等差中项得 2( 3 + 1) = 2 + 5 ，即 2( 1 + 2 + 1) = 2 1 + 5 ，解得 = 2
代入 = 2 1 ，求得 1 = 1 ，故 = 1 + ( 1) = 2 1
(2)由(1)得， = ( 1) (2 1)
当 为偶数时， = ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1 + ) =
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( 1 + 3) + ( 5 + 7) + [ (2 3) + (2 1)] = 2 + 2 + + 2 = 2 × 2 =
当 为奇数时，则 + 1 为偶数， = + 1， = ( 1) +1 +1 +1 [2( + 1) 1] = (2 + 1)
= +1 +1 = ( + 1) (2 + 1) =
, 为奇数
综上 =
, 为偶数
17.解：(1)由 ( ) = 1 3 2 23 + ( + 1) ( + 3) 得， ′( ) =
2 + 2( + 1) ( 2 + 3)，
因为 = 1 是 ( )的极值点，
故 ′(1) = 1 + 2( + 1) ( 2 + 3) = 0，整理得 2 6 = 0，
解得 = 2 或 = 3，
当 = 3 时， ′ = 2 + 8 9 = + 9 1 ，
当 < 9 时， ′ > 0，函数 在 ∞, 9 上单调递增，
当 9 < < 1 时， ′ < 0，函数 在 9,1 上单调递减，
当 > 1 时， ′ > 0，函数 在 1, + ∞ 上单调递增，
所以 = 1 为函数的极值点，满足要求；
当 = 2 时， ′ = 2 2 + 1 = 1 2，
因为 ′ ≥ 0，当且仅当 = 1 时， ′ = 0，
所以函数 在 ∞, + ∞ 上单调递增，
= 1 不是函数 的极值点，不符合题意，
故 = 3；
(2) 1由(1)可知， ( ) = 3 23 + 4 9 ， ′( ) =
2 + 8 9，
设切点坐标为( , 1 3 20 3 0 + 4 0 9 0)，切线的斜率为 ′( 0) =
2
0 + 8 0 9，
1
则切线方程为 = ( 20 + 8 0 9)( 0) + 33 0 + 4
2
0 9 0，
将点(0, )代入并整理得 = 2 33 0 4
2
0，
记 ( ) = 2 33 4
2，
由题意得，直线 = 与曲线 = ( )有三个不同的交点，
′( ) = 2 2 8 = 2 ( + 4)，
令 ′( ) = 0，得 = 0 或 = 4，
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当 < 4 或 > 0 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 4 < < 0 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
且 ( 4) = 643 , (0) = 0，且 → ∞时, →+∞; →+∞时, → ∞.
直线 = 与曲线 = ( )有三个不同的交点，故 ∈ ( 643 , 0)．
18. 3 1 2 1 1 1 23解：(1)设事件 表示该小组获胜．则 = 4+ 4 × 3 + 4 × 3 × 2 = 24 ，
23
所以该小组初赛胜利的概率为 24 ．
(2) 的可能取值为 1，2，3.则 = 1 = 1, = 2 = 1 1 2, = 3 = 1 1 1 2 ，
此时 = 1 + 2 1 1 2 + 3 1 1 1 2 = 1 2 2 1 2 + 3 ，
的可能取值为 1，2，3.则 = 1 = 3, = 2 = 1 3 2, = 3 = 1 3 1 2 ，
此时 = 3 + 2 1 3 2 + 3 1 3 1 2 = 2 3 2 3 2 + 3 ，
所以 = 1 2 2 1 2 + 3 2 3 2 3 2 + 3 = 1 2 2 1 2 3 + 2 3
= 2 1 3 2 1 3 = 1 3 2 2 ,因为 1 > 1 > 2 > 3 ，
所以 1 3 > 0, 2 2 < 0 .所以 < ．
(3) 1 1由题意可得 8 =
2 ， = 8 2 ，
则 = 2 1 + 12 1 = 2 + 2
3
8 =
2 + 1 34 8 ，
3
令 = = 2 + 14
3
8 , 0 < < 1，则 ′ = 2
1 8 1
4 2 = 4 2 ，令 ′ = 0 =
1
2 ，
1
所以当 0 < < 2 时， ′ < 0 ， 为减函数，
1
当 2 < < 1时． ′ > 0 ， 为增函数，
= 1 = 1 + 1 3 = 3 3所以 min 2 4 2 8 8 .所以 的最小值为 8 ．
19.解：(1)该校随机抽取三人，每个人满分的概率为 20%，设抽取的三人中满分人数为 ，则 = 0,1,2,3，
( = 0) = ( 4 )3 = 64 ( = 1) = 1( 4 )2 1 = 48 ( = 2) = 2( 1 )2 4 12 1 1则 35 125， 3 5 5 125， 3 5 5 = 125， ( = 3) = ( 5 ) = 125，
则 的分布列为：
0 1 2 3
64 48 12 1
125 125 125 125
所以数学期望 ( ) = 0 × 64 + 1 × 48125 125 + 2 ×
12 1 3
125 + 3 × 125 = 5
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(2)用 表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则 ( ) = 10％, ( ) = 90％，
用 表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则 ( ) = 20％，且 | = 50％，
又因为 ( ) = ( ) | = 10％ × 50% = 5%，所以 ( ) = ( ) + ( ) = 5% + ( ) = 20%，
故 ( ) = 15%，所以 | = ( ) = 15％ = 1；
( ) 90％ 6
(3)记 表示事件“经过 次传球后，球在乙的手中”，设 次传球后球在乙手中的概率为 ， =
1,2,3, , ，
1
则有 1 = 2 ，所以 +1 = +1 + +1 ，所以 +1 = ( +1 + +1)
= (
1 1
+1) + ( +1) = ( ) ( +1| ) + ( ) +1| = (1 ) 2 + 0 = 2 (1 )，
1 1即 +1 = 2 + 2 ， = 1,2,3,
1 1 1 1
，所以 +1 3 = 2 ( 3 )，且 1 3 =
1
6 ，
1 1 1 1 1 1
所以数列 3 表示以 6 为首项， 2 为公比的等比数列，所以
1
3 = 6 × ( 2 ) ，
= 1 × ( 1 ) 1 + 1 = 1所以 1 ( 1 ) 1 1 6 2 3 3 2 ，即第 次传球后球在乙手中的概率为 1 ( )

3 2
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