资源简介

1.认识三角形：三角形是指由三条线段首尾相接围成的图形。它由3条边、3个角、3个顶点组成。它是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。
2.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
1.三角形任意两条边长度的和大于第三边。
1.任意三角形的内角和都是180°。
1.锐角三角形：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
2.直角三角形：有1个角是直角的三角形是直角三角形。
3.钝角三角形：有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。
1．等腰三角形的含义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
2．等腰三角形的特征：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
3．等边三角形的含义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。
4．等边三角形的特征：等边三角形的3个角相等；等边三角形是轴对称图形；等边三角形有3条对称轴。
1．平行四边形的基本特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。
2．平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。平行四边形的高和底是相互依存的关系。
1．梯形的特点：只有一组对边互相平行。
2．梯形的底和高：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，从梯形的一条底边上的一点到它对边的垂直线段是梯形的高。
3．等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。
1.多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。从简单的问题想起、有序思考，是探索规律的有效方法。可以把新的问题转化
易错点知识点01：三角形
三角形的定义理解：
易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。
解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。
三角形的高：
易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。
解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。
三角形的分类：
易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。
解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。
易错知识点02：平行四边形
平行四边形的特性：
易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。
解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。
平行四边形的高：
易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。
解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。
易错知识点03：梯形
梯形的定义：
易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。
解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。
梯形的腰和底：
易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。
解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。
直角梯形：
易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。
解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。
【考点精讲一】（23-24四年级下·河南平顶山·期末）如图，从直角三角形ABC的A点向对边作高。∠1和∠4相等吗？请说明想的过程。
【答案】相等；理由见详解
【分析】
有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形ABC中∠B AC＝90°，也就是∠3＋∠4＝90°。从直角三角形ABC的A点向对边作高，三角形ABD是直角三角形，三角形内角和等于180°，∠1＋∠3＝180°－90°＝90°。
【详解】∠3＋∠4＝90°
∠4＝90°－∠3
∠1＋∠3
＝180°－90°
＝90°
∠1＝90°－∠3
∠1＝∠4
【考点精讲二】（23-24四年级下·安徽合肥·期末）我市一工厂加工了200个等腰三角形的警示牌，一条边长30厘米，另一条边长70厘米，用铝合金给这块警示牌包上边，至少需要多少米的铝合金？（接缝处忽略不计）
【答案】340米
【分析】根据题意，通过三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合，因为30＋30＜70，而70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米；把三条边相加，求出三角形的周长；再乘200，求出总长度；最后根据1米＝100厘米，把周长换算成米即可。
【详解】根据分析可知：
70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米。
70＋70＋30
＝140＋30
＝170（厘米）
170×200＝34000（厘米）
34000厘米＝340米
答：至少需要340米的铝合金。
【考点精讲三】（22-23四年级下·江苏淮安·期末）在一个三角形中，∠1与∠2相等，∠3比∠1大30°，这三个角分别是多少度？（先画线段图，再解答）
【答案】图见详解；∠1是50度，∠2是50°，∠3是80°
【分析】∠1与∠2相等，说明∠1的线段长度等于∠2的线段长度，而∠3的线段长度∠1大30°，三角形的内角和为180°，以此画出线段图；先用180°减去30°，计算出∠1、∠2以及∠3减去30°后的度数和，再除以3计算出∠1与∠2的度数，最后加上30°计算出∠3的度数；据此解答。
【详解】如图：
（180°－30°）÷3
＝150°÷3
＝50°
50°＋30°＝80°
答：∠1是50度，∠2是50°，∠3是80°。
【考点精讲四】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）画出下面图形底边上的高，并写出这两个图形的一个相同特征。
相同特征： 。
【答案】图见详解；都是四边形
【分析】在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；根据观察可知，这两个图形都是四边形。
【详解】
如图：（高画法不唯一）
相同特征：都是四边形。（答案不唯一）
【考点精讲五】（23-24四年级下·江苏南京·期末）动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利，小兔和小狗已经站到自己图形的顶点上了（如图）。
（1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。
（2）这样的比赛公平吗？为什么？
【答案】（1）见详解
（2）公平；理由见详解
【分析】（1）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。结合三角形和平行四边形高的画法，以小兔子和小狗所在的位置向对边画垂线即可。
（2）根据点到直线的距离进行判断，如果小兔和小狗到对边的距离是相等的，则比赛公平，反之则不公平。据此解答即可。
【详解】（1）画图如下：
（2）看图可知这样的比赛公平，因为三角形和平行四边形的高相等，都等于3个方格的边长，也就是小兔和小狗到对边的距离是相等的。（答案不唯一）
【考点精讲六】（22-23四年级下·江苏南通·期末）叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（ ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。
【答案】不公平；画图见详解
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，由此可知，叮叮所跑的最短路线为三角形对应底边的高；咚咚所跑的最短路线为平行四边形对应底边的高。
三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。
平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。依此即可解答。
【详解】这个比赛不公平，画图如下：
【考点精讲七】（23-24四年级下·广西北海·期末）李伯伯用篱笆靠墙围了一块梯形种植园，种植园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李伯伯只用了20米长的篱笆，你知道李伯伯是怎么围的吗？（要求：根据你的理解先画出篱笆的示意图，再列式解答）
【答案】图见详解；李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的
【分析】用种植园的周长减去篱笆长，求出种植园的周长比篱笆长多少，看和梯形的哪一条边相等，就把哪一条边靠在墙边，这样所需的篱笆最短，据此画出篱笆的示意图，再列式解答即可。
【详解】6＋14＋7×2－20
＝6＋14＋14－20
＝20＋14－20
＝34－20
＝14（米）
所以，梯形的下底靠墙，所需的篱笆最短，如图：
梯形的下底靠墙，14米不需要篱笆，总共需要：
7＋7＋6
＝14＋6
＝20（米）。
答：李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的。
【考点精讲八】（23-24四年级下·海南海口·期末）李叔叔有一块等腰梯形菜地，梯形的一条腰比上底长3米，给这块菜地围上篱笆，菜地一周的篱笆长多少米？
【答案】28米
【分析】根据题意可知，上底的长度＋3米＝腰长，等腰梯形的两腰相等，据此求出等腰梯形的2个腰长，然后根据周长是指围绕一个物体或平面图形一周的长度，把梯形四条边的长度相加，即可求出菜地一周的篱笆长多少米。
【详解】4＋3＝7（米）
7＋7＋4＋10
＝14＋4＋10
＝18＋10
＝28（米）
答：菜地一周的篱笆长28米。
【考点精讲九】（22-23四年级下·山西临汾·期末）再剪一根吸管，像下图那样用线穿起来拉一拉，结果怎样？你知道这是为什么吗？
【答案】拉不动了；因为三角形具有稳定性。
【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此解答。
【详解】因为三角形具有稳定性，所以再剪一根吸管，用线穿起来拉一拉，就拉不动了。
【考点精讲十】（23-24四年级下·山西临汾·期末）为了丰富学生的课余活动，培养学生的创新能力，学校专门组织了一次手工制作活动。乐乐用卡纸做了一个等腰三角形的书签，已知周长是23分米，其中一条边长是5分米，另外两条边长分别是多少分米？
【答案】9分米
【分析】等腰三角形两腰相等，三角形的周长是指三边的长度之和，已知周长为23分米，则三角形的三边之和为23分米；然后根据三角形两边之和大于第三边，判断这条5分米的边长是腰长还是底边，据此解题。
【详解】如果5分米是腰长，另一条腰长也是5分米，
23－5－5
＝18－5
＝13（分米）
5＋5＝10（分米）
10＜13，所以腰长不是5分米。所以5分米是三角形的底边。
（23－5）÷2
＝18÷2
＝9（分米）
9＋9＝18（分米）
18＞5
答：另外两条边长分别是9分米。
【考点精讲十一】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）美美、丽丽、兴兴和花花四位同学研究三角形的内角和的学习记录如下图：
请你认真研究他们的学习记录单，看完后回答下列问题：
(1)我的研究方法与同学 一样，我的研究结论是：三角形的内角和是 。
(2)我是这样得到这个研究结论的： 。
【答案】(1) 美美 180°
(2)见详解
【分析】（1）说出自己求三角形内角和方法与上面哪位同学一样，求得的三角形内角和是多少度；
（2）把自己得出三角形的内角和的度数的过程写出来即可。
【详解】（1）我的研究方法和美美同学一样。我的研究结论是：三角形的内角和是180°。
（2）美美：我先量出每个内角的度数，再相加，我测得，∠1是61°，∠2是75°，∠2是44°，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
丽丽：我把三角形的三个角撕下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
兴兴：我把三角形的三个角翻折下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
花花：根据长方形的四个角都是直角，可知，长方形的内角和是360°，沿对角线剪开把长方形，分成两个三角形，则每个三角形的三个角的度数和是长方形的四个角度数的一半，即360°÷2＝180°；然后沿长边把两个三角形拼成一个三角形，或沿宽边把两个三角形拼成一个三角形，都发现拼成的三角形的角比长方形剪成的两个三角形少了两个直角，即拼成的三角形的三个内角都是和是180°＋180°－90°×2＝180°；所以三角形的三个内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
一、解答题
1．（23-24四年级下·江苏·课后作业）一个等腰三角形，其中一个角的度数是70°，求另外两个角的度数。
【答案】当70°为顶角时，另外两个角为55°；当70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为40°。
【分析】等腰三角形有两条边相等，一个角是70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，根据三角形内角和为180°，据此解答即可。
【详解】当70°为顶角时，另外两个角是底角为（180°－70°）÷2＝110°÷2＝55°；
当70°为底角时，另一个底角也为70°，顶角为180°－70°×2＝180°－140°＝40°。
答：当70°为顶角时，另外两个角为55°，当70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为40°。
2．（23-24四年级下·江苏南通·期末）一个等腰三角形的周长是30米，底比腰长3米。这个等腰三角形的底是多少米？
【答案】12米
【分析】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形两腰相等，假设底长减少3厘米，那么腰长＝底，先求出腰长，最后再加3厘米即是底长，由此解答即可。
【详解】（30－3）÷3
＝27÷3
＝9（米）
9＋3＝12（米）
答：这个等腰三角形的底是12米。
3．（2024四年级下·江苏·专题练习）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的腰长多少厘米？（先画示意图，再解答）
【答案】图见详解；9厘米
【分析】根据“一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米”，三角形的周长可看作3条腰长和3厘米的和，那么用三角形的周长减去3厘米，就相当于3条腰的长度，然后除以3求出一条腰的长度。据此可知，画一个腰是9厘米、底是12厘米的等腰三角形即可。
【详解】画图如下：
（厘米）
9＋3＝12（厘米）
答：它的腰长9厘米。
4．（2024四年级下·江苏·专题练习）一个等腰三角形的周长是100厘米，腰长是底的2倍。它的腰和底分别长多少厘米？
【答案】腰长40厘米，底长20厘米
【分析】根据题意可知一条腰长是底边长的2倍，等腰三角形的两条腰相等，则等腰三角形的周长是底边长的倍，是100厘米，用除法可求出底边的长。用底边的长乘2，求出腰长。
【详解】
（厘米）
（厘米）
答：它的腰长40厘米，底长20厘米。
5．（23-24四年级下·湖南邵阳·期末）一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰短3厘米。它的底和腰分别是多少厘米？
【答案】底10厘米；腰13厘米
【分析】如果这个等腰三角形的腰减少3厘米，就变成了等边三角形。这个等边三角形的周长是（36－3×2）厘米。（36－3×2）厘米除以3，即可算出这个等腰三角形的底是几厘米。底的长度加上3厘米，即可算出这个等腰三角形的腰是几厘米。
【详解】（36－3×2）÷3
＝（36－6）÷3
＝30÷3
＝10（厘米）
10＋3＝13（厘米）
答：它的底是10厘米，腰是13厘米。
6．（23-24四年级下·湖南邵阳·期末）幸福村有一个宽18米的长方形鱼塘，因为扩建乡村道路，鱼塘的宽减少了2米，这样鱼塘的面积就减少了64平方米。现在这个鱼塘的面积是多少平方米？（先画图，再解答。）
【答案】512平方米
【分析】根据题意可知，鱼塘宽减少了2米，这样鱼塘的面积就减少了64平方米，说明鱼塘的长不变，由此可以求出鱼塘的长，64÷2＝32米，长方形的面积＝长×宽，据此代入数据解答。
【详解】如图：
64÷2×（18－2）
＝32×16
＝512（平方米）
答：现在鱼塘的面积是512平方米。
7．（22-23四年级下·江苏镇江·期末）一个等腰三角形的周长是56厘米，腰比底长4厘米。它的底和腰各是多少厘米？（将线段图补充完整，标出已知条件和问题，再解答）
【答案】图见详解；底是16厘米，腰是20厘米
【分析】再画两条线段表示腰，长度比底长4厘米，三条线段的长度和为56厘米，然后把底和腰上都打上“？”；
等腰三角形的周长减2个4厘米等于底长的3倍，再除以3，即等于底长，底长加4厘米等于腰长；据此即可解答。
【详解】
底：（56－4×2）÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
腰：16＋4＝20（厘米）
答：它的底是16厘米，腰是20厘米。
8．（22-23四年级下·江苏南京·期末）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将梯形的上底延长12厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的上底和下底分别是多少厘米？
【答案】6厘米；18厘米
【分析】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将梯形的上底延长12厘米，就成了一个平行四边形，说明梯形的上底延长12厘米上底和下底长度相同了，则延长的12厘米就是原来梯形的上底的（3－1）倍，用12除以（3－1）即可求出上底的长度，再乘3即可求出下底的长度。
【详解】上底：12÷（3－1）
＝12÷2
＝6（厘米）
下底：6×3＝18（厘米）
答：这个梯形的上底是6厘米；下底是18厘米。
9．（22-23四年级下·江苏泰州·期末）王师傅把一根60厘米长的木条锯成三段。正好围成了一个等腰三角形，这个等腰三角形的底比腰短6厘米。这个等腰三角形底是多少厘米？（先画图，再列式）
【答案】
图见详解；16厘米
【分析】等腰三角形两腰相等，这个等腰三角形的底比腰短6厘米，则将木条长度减去两个6厘米后，剩下的长度都相同，即（60－6×2）厘米是底边长的3倍；再除以3即可求出等腰三角形的底边长，据此解答。
【详解】作图如下：
（60－6×2）÷3
＝（60－12）÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
答：等腰三角形的底是16厘米。
10．（22-23四年级下·江苏常州·期末）用一根185厘米的铁丝正好围成了一个等腰梯形，梯形的上底是21厘米，下底是54厘米，它的一条腰长多少厘米？
【答案】55厘米
【分析】等腰梯形的两腰相等，用铁丝的总长度连续减去上底和下底的长度，再除以2，即可求出它的一条腰长多少厘米。
【详解】（185－21－54）÷2
＝（164－54）÷2
＝110÷2
＝55（厘米）
答：它的一条腰长55厘米。
11．（23-24四年级下·安徽蚌埠·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。腰长多少厘米？
【答案】9厘米
【分析】等腰三角形腰长相等，周长是三条边的和，用30－3即可求出腰长的三倍是多少，除以3即可求出腰长多少厘米。
【详解】（30－3）÷3
＝27÷3
＝9（厘米）
答：腰长9厘米。
12．（22-23四年级下·江苏苏州·期末）王大爷家有一块等腰三角形的菜地，为防止散养的家禽破坏菜地，要给它的四周围上篱笆。经测量，菜地两条边的长度分别为25米和12米，请你帮王大爷算一算他至少需要准备多长的篱笆？
【答案】62米
【分析】等腰三角形的两腰相等，任意三角形的两边之和必须大于第三边，如果12米是这个等腰三角形菜地的腰，则这个等腰三角形三条边的长度是12米、12米、25米，因为12＋12＜25，12米、12米、25米的线段不能围成三角形，所以这个等腰三角形菜地的腰是25米，三条边的长度分别是25米、25米、12米，将三条边的长度相加，即可算出王大爷至少需要准备多长的篱笆。
【详解】25＋25＋12
＝50＋12
＝62（米）
答：王大爷至少需要准备62米长的篱笆。
13．（22-23五年级上·山西太原·期中）为了美化环境，太原市广场上新建了一个等腰梯形的花坛，等腰梯形的上、下底的和是26米，腰长7米。在花坛的四周围一圈栅栏，已知栅栏每米25元，买栅栏一共需要多少元？
【答案】1000元
【分析】求在花坛的四周围一圈栅栏，就是求这个等腰梯形花坛的周长，用梯形的上、下底的和，再加上梯形的两个腰长，求出梯形花坛的周长，再乘25，即可解答。
【详解】（26＋7＋7）×25
＝（33＋7）×25
＝40×25
＝1000（元）
答：买栅栏一共需要1000元。
【点睛】本题考查梯形周长的求法，利用梯形周长公式进行解答。
14．（23-24四年级下·江苏南京·期末）一根铁丝正好围成一个长7分米、宽5分米的长方形。如果将它改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少分米？
【答案】8分米
【分析】先利用，将数据代入求出长方形的周长即铁丝的长度，再根据等边三角形三边相等，用铁丝的长度除以3即可。
【详解】（7＋5）×2
＝12×2
＝24（分米）
24÷3＝8（分米）
答：这个等边三角形的边长是8分米。
15．（23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长6厘米。它的底是多少厘米？（先画出示意图，再解答。）
【答案】10厘米
【分析】等腰三角形两腰相等，这个等腰三角形的腰比底长6厘米，如果把等腰三角形的底拉长6厘米，则底和腰相等，那么这个三角形就是等边三角形，周长是 （42＋6）厘米，等边三角形的周长除以3即可算出每一条边的长度，也就是等腰三角形腰的长度，用腰长减去6厘米即是底长。
【详解】如下图：
（42＋6）÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
16－6＝10（厘米）
答：它的底是10厘米。
16．（23-24四年级下·江苏苏州·期末）用一根铁丝围成平行四边形，已知相邻的两边长度之和是75厘米。如果把这根铁丝围成一条边长是36厘米的等腰三角形。这个等腰三角形的另外两条边的长度分别是多少厘米？
【答案】57厘米；57厘米
【分析】根据平行四边形对边相等的特点，利用相邻的两边长度之和可先求出其周长，即75×2＝150（厘米），也就是铁丝的总长，即等腰三角形的周长；如果36厘米是等腰三角形的底，则用周长减底长，得到两腰的长度，再除以2即得到每条腰的长度；如果36厘米是其中一条腰的长度，则另一条腰也长36厘米，用150厘米减两个36厘米，所得的结果应是底边的长度。再根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否可以转成三角形。据此解答。
【详解】铁丝的总长度：
75×2＝150（厘米）
如果36厘米是等腰三角形的底，则腰长：
（150－36）÷2
＝114÷2
＝57（厘米）
36＋57＞57
可以围成等腰三角形，另外两条边的长度分别是57厘米、57厘米。
如果36厘米是等腰三角形的腰，则底长：
150－36×2
＝150－72
＝78（厘米）
36＋36＜78
不能围成三角形。
答：这个等腰三角形的另外两条边的长度分别是57厘米、57厘米。
17．（23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是60厘米，底比腰长6厘米。它的底是多少厘米？
【答案】24厘米
【分析】等腰三角形特征：两腰相等，两底角相等，三角形周长等于三条边长度之和，这里三角形周长＝2×腰长＋底，因为底比腰长6厘米，所以周长减6是3个腰长，求出腰长再加6即可解答。
【详解】（60－6）÷3
＝54÷3
＝18（厘米）
18＋6＝24（厘米）
答：它的底是24厘米。
18．（23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是56厘米，腰比底长7厘米。它的底和腰各是多少厘米？
【答案】底长是14厘米，腰长是21厘米
【分析】等腰三角形的两条腰相等。2×腰＋底＝56厘米。腰比底长7厘米，则用周长加上7厘米，即为3条腰的长度。腰为（56＋7）÷3厘米。再用腰减去7厘米，即可求出底的长度。
【详解】（56＋7）÷3
＝63÷3
＝21（厘米）
21－7＝14（厘米）
答：它的底长是14厘米，腰长是21厘米。
19．（23-24四年级下·江苏扬州·期末）小明用一根长42厘米的铁丝围成一个等腰三角形，它的底比一条腰长6厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画线段图，再解答）
【答案】18厘米
【分析】由题意可知：把腰长看作1份，则底边长度为1份＋6厘米，三角形的周长＝3份＋6厘米，那么用三角形的周长减去6厘米，差相当于三条腰的长度，然后除以3，求出一条腰的长度，再加上6厘米，即可求出底边的长度，据此解答。
【详解】
（42－6）÷3
＝36÷3
＝12（厘米）
12＋6＝18（厘米）
答：这个等腰三角形的底是18厘米。
20．（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）用一根铁丝正好能围成一个边长是16厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】等边三角形的三边都相等，因此用等边三角形的边长乘3，即可计算出这根铁丝的长度，然后根据正方形的周长＝边长×4，用这根铁丝的长度除以4即可计算出正方形的边长。
【详解】16×3＝48（厘米）
48÷4＝12（厘米）
答：这个正方形的边长是12厘米。
21．（23-24四年级下·江苏宿迁·期末）有一块等腰三角形的花圃，一条边长60米，另一条边长120米。这个花圃的周长是多少米？
【答案】300米
【分析】等腰三角形的两腰相等；三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出等腰三角形花圃的腰长，然后再将花圃三条边的长度加起来即可。
【详解】假设60米为腰长，60米＋60米＝120米，即60米不能为腰长
120＋60＞120，120－60＜120，即腰长为120米
120＋120＋60＝300（米）
答：这个花圃的周长是300米。
22．（23-24四年级下·江苏盐城·期末）一个等腰三角形的周长是34厘米，它的一条腰比底长5厘米，这个等腰三角形的底和腰各长多少厘米？
【答案】8厘米；13厘米
【分析】等腰三角形的两腰相等，一条腰比底长5厘米，即一条腰长＝底＋5厘米；等腰三角形的周长是34厘米，则两条腰和底的和是34厘米；据此代入数据解答即可。
【详解】底＋腰＋腰＝等腰三角形的周长
底＋（底＋5）＋（底＋5）＝34
底＋底＋底＋10＝34
底×3＝34－10
底×3＝24
底＝24÷3
底＝8（厘米）
腰＝底＋5＝8＋5＝13（厘米）
答：这个等腰三角形的底是8厘米，腰是13厘米。
23．（22-23四年级下·四川广安·期末）桌上一共有6个相同的平行四边形（如下图），要拼成一个大的平行四边形，周长是多少厘米？（我是这样设计的（如图），你能设计一种不同方案吗？画出示意图，并计算）
【答案】图见详解
26厘米
【分析】
6个相同的平行四边形，要拼成一个大的平行四边形，可以画一行6个；还可以画两行，一行3个，如图：，用3×3，2×2，分别计算出平行四边形两组对边，然后求周长，合理即可。
【详解】
3×3＝9（厘米）
2×2＝4（厘米）
（4＋9）×2
＝13×2
＝26（厘米）
答：周长是26厘米。
（答案不唯一）
24．（23-24四年级下·江苏连云港·期末）苗苗想做一个三角形的风筝，如果三角形的两条边分别是48厘米和23厘米，第三条边长度与这两条边其中的一条长度相同，则这个三角形的周长是多少厘米？
【答案】119厘米
【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边。如果第三条边是23厘米，23＋23＜48，23厘米、23厘米、48厘米的线段不能围成三角形。如果第三条边是48厘米，23＋48＞48，23厘米、48厘米、48厘米的线段能围成三角形。将这个三角形三条边的长度相加，即可算出这个三角形的周长是多少厘米。
【详解】23＋48＋48
＝71＋48
＝119（厘米）
答：这个三角形的周长是119厘米。
25．（23-24四年级下·江苏盐城·期末）幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？
【答案】125厘米
【分析】等腰三角形的两腰相等，所以，有两条边长度相等，根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；先根据三边关系求出第三条边的长度，再把三条边的长度相加，即可求出至少需要多少厘米的铝合金条。
【详解】25＋25＝50，不符合三角形的三边关系；
25＋50＞50，符合三角形的三边关系。
25＋50＋50
＝75＋50
＝125（厘米）
答：至少需要125厘米的铝合金条。
26．（23-24四年级下·江苏南通·期末）有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。
(1)它的顶角是( )°。
(2)把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长( )厘米。
【答案】(1)30
(2)13
【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和为180°。由题意得，等腰三角形的一个底角为75°，那么另一个底角的度数也为75°，直接用180°减去两个底角的度数即可得到顶角的度数。
（2）等腰三角形的周长＝两条腰的长度之和＋底边的长度。由题意得，等腰三角形的周长为34厘米。其中，底比腰短5厘米，那么直接用底的长度加上5厘米即可得到腰的长度。等腰三角形的周长加上5厘米就等于一条腰的长度的3倍，再用除法即可算出一条腰的长度。
【详解】（1）180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
故这个等腰三角形的顶角是30°。
（2）（34＋5）÷3
＝39÷3
＝13（厘米）
这个等腰三角形的腰长为13厘米。
27．（23-24四年级下·江苏淮安·期末）小明准备用一根铁丝围成一个等腰三角形，已知其中两条边的长分别是15厘米和30厘米。这根铁丝至少是多少厘米？
【答案】60厘米
【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形的周长为三边之和；求这根铁丝至少是多少厘米，那么就是将较短的15厘米作为三角形的腰长，用15厘米加上15厘米，再加上30厘米计算出这根铁丝至少是多少厘米；据此解答。
【详解】15＋15＋30＝60（厘米）
答：这根铁丝至少是60厘米。
28．（23-24四年级下·江苏常州·期末）一根毛线正好可以围成一个底是15厘米，腰是18厘米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长最大是多少厘米？
【答案】17厘米
【分析】等腰三角形的腰相等，将三条边的长度相加先求出这根毛线的长度，再根据等边三角形边长相等，用这个毛线的长度除以3求出的商即为这个等边三角形的边长最大的长度。
【详解】15＋18＋18
＝33＋18
＝51（厘米）
51÷3＝17（厘米）
答：这个等边三角形的边长最大是17厘米。
29．（23-24四年级下·河南洛阳·期末）如图，用两个完全一样的梯形拼成一个长方形。梯形的上底是6厘米、下底是10厘米，高是5厘米。这个梯形的面积是多少平方厘米？
【答案】40平方厘米
【分析】梯形的上底是6厘米、下底是10厘米，高是5厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”，即可得到这个梯形的面积。
【详解】（6＋10）×5÷2
＝16×5÷2
＝80÷2
＝40（平方厘米）
答：这个梯形的面积是40平方厘米。
30．（23-24四年级下·河南平顶山·期末）从一个上底为38厘米、下底为55厘米、高为16厘米的直角梯形里剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？（先画图，再解答）
【答案】
图见详解；608平方厘米
【分析】根据梯形、长方形的特征可知，在这个直角梯形里剪下一个最大的长方形，这个长方形的长等于梯形的上底，长方形的宽等于梯形的高。根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。
【详解】作图如下：
38×16＝608（平方厘米）
答：这个长方形的面积是608平方厘米。
31．（23-24四年级下·山西临汾·期末）临汾汾河公园有一块造型为等腰三角形的花圃，周长39米，腰比底长3米，这个花圃的底和腰的长各是多少米？（先画线段图表示题中数量关系，再解答。）
【答案】图见详解；底11米；腰14米
【分析】依据题意分别画出两条腰长，再画出比腰短3米的底，三条线段总共的和为39米，图中标出已知条件和问题即可。
根据三角形周长是三条边的和，等腰三角形两腰相等，可以把底加3变为腰长，此时三角形周长也加3即为3条腰的长，再除以3求出腰长；再用腰长减3即为底。
【详解】
39＋3＝42（米）
腰：42÷3＝14（米）
底：14－3＝11（米）
答：这个花圃的底是11米，腰是14米。
32．（23-24四年级下·山西太原·期末）一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？
【答案】上底6厘米；下底18厘米
【分析】平行四边形对边平行且相等，若将梯形上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，说明梯形的下底是上底的3倍。差÷倍数差＝小数，上底和下底相差的12厘米除以（3－1）倍，可以算出上底是几厘米，上底乘3即可算出下底是几厘米。
【详解】12÷（3－1）
＝12÷2
＝6（厘米）
6×3＝18（厘米）
答：这个梯形的上底是6厘米，下底是18厘米。
33．（23-24四年级下·山西临汾·期末）如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？
【答案】底4厘米；腰6厘米
【分析】由图可知，梯形的周长可以拆分为一个等腰三角形的周长加上两个等腰三角形的底边长，故用梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，求出两个等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长；等腰三角形的两腰长相等，所以用等腰三角形的周长减去底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的腰长，据此作答。
【详解】（24－16）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
（16－4）÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
答：等腰三角形的底边长4厘米，腰长6厘米。
【点睛】解决这类问题的关键在于理解图形之间的组合关系，并且运用周长的概念和等腰三角形的特性来建立数量关系。
34．（23-24四年级下·安徽芜湖·期末）有一个上底是4厘米，下底是7厘米的梯形。在这个梯形上剪一刀，刚好剪成了一个正方形和一个三角形。已知剪出的三角形中有一条边是5厘米，求这个梯形的周长。（要求：先画出草图再计算）
【答案】图见详解
20厘米
【分析】根据题意，剪一刀刚好剪成一个正方形和一个三角形，由此推断这个梯形是直角梯形，且垂直于两底的这条腰长度等于梯形上底的长，由此画出图形；三角形的底等于梯形的下底－上底，高等于梯形的高；根据梯形的周长公式：周长＝上底＋下底＋两个腰长，代入数据，求出梯形的周长即可。
【详解】
＝
＝
＝20（厘米）
答：梯形的周长是20厘米。
35．（23-24四年级下·山西太原·期末）
(1)如图1，沿着平行四边形的一条高剪开，把它分成了一个三角形和一个( )形。
(2)如图2，将三角形向( )平移( )格，这个平行四边形就变成了长方形。
(3)长方形与原来的平行四边形相比，面积变了吗？为什么？
【答案】(1)梯形
(2) 右 5
(3)不变；理由见详解
【分析】（1）梯形是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高，观察图可以发现，图1中的平行四边形分为一个三角形和一个梯形，据此解答即可。
（2）平移：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形。观察图可以发现，将三角形向右平移5格，可以得到图2中的长方形，据此解答即可。
（3）平移前后，图形的大小不变，观察图可以发现，平行四边形由①和②组成，长方形也由①和②组成，所以长方形与原来的平行四边形相比，面积相等，据此解答即可。
【详解】（1）由分析可知，沿着平行四边形的一条高剪开，把它分成了一个三角形和一个梯形。
（2）由分析可知，将三角形向右平移5格，这个平行四边形就变成了长方形。
（3）由分析可知，长方形与原来的平行四边形相比，面积不变。理由：平行四边形由①和②组成，长方形也由①和②组成，所以长方形与原来的平行四边形相比，面积相等。（答案不唯一）
36．（22-23四年级下·江苏泰州·期末）将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。
（1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。
（2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。
（3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。）
【答案】（1）不能；如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点；
（2）如图：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。
（3）5种情况
【分析】（1）在中点0处剪开之后，两边一样长，无论剪哪边，剪开之后两段的长度刚好等于第三段的长度，不能围成三角形。因为三角形中，任意两边之和大于第三边。
（2）由图可知，A点左边的长度大于A点右边的长度，第二刀应该选择在A点左边线段上剪，因为这样剪开之后两段的长度和大于A点右边的长度，能围成三角形。
(3)根据三角形的三边关系，可以采用列表法进行解答。
【详解】（1）由分析可知：不能，如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点；
（2）由分析可知：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。如图：
（3）如下表：
腰长/厘米 底长/厘米 周长/厘米
1 22 不能围成
2 20 不能围成
3 18 不能围成
4 16 不能围成
5 14 不能围成
6 12 不能围成
7 10 24
8 8 24
9 6 24
10 4 24
11 2 24
12 0 不能围成
有5种情况
【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，结合题意分析解答即可。
/1.认识三角形：三角形是指由三条线段首尾相接围成的图形。它由3条边、3个角、3个顶点组成。它是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。
2.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
1.三角形任意两条边长度的和大于第三边。
1.任意三角形的内角和都是180°。
1.锐角三角形：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
2.直角三角形：有1个角是直角的三角形是直角三角形。
3.钝角三角形：有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。
1．等腰三角形的含义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
2．等腰三角形的特征：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
3．等边三角形的含义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。
4．等边三角形的特征：等边三角形的3个角相等；等边三角形是轴对称图形；等边三角形有3条对称轴。
1．平行四边形的基本特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。
2．平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。平行四边形的高和底是相互依存的关系。
1．梯形的特点：只有一组对边互相平行。
2．梯形的底和高：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，从梯形的一条底边上的一点到它对边的垂直线段是梯形的高。
3．等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。
1.多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。从简单的问题想起、有序思考，是探索规律的有效方法。可以把新的问题转化
易错点知识点01：三角形
三角形的定义理解：
易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。
解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。
三角形的高：
易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。
解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。
三角形的分类：
易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。
解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。
易错知识点02：平行四边形
平行四边形的特性：
易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。
解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。
平行四边形的高：
易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。
解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。
易错知识点03：梯形
梯形的定义：
易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。
解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。
梯形的腰和底：
易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。
解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。
直角梯形：
易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。
解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。
【考点精讲一】（23-24四年级下·河南平顶山·期末）如图，从直角三角形ABC的A点向对边作高。∠1和∠4相等吗？请说明想的过程。
【答案】相等；理由见详解
【分析】
有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形ABC中∠B AC＝90°，也就是∠3＋∠4＝90°。从直角三角形ABC的A点向对边作高，三角形ABD是直角三角形，三角形内角和等于180°，∠1＋∠3＝180°－90°＝90°。
【详解】∠3＋∠4＝90°
∠4＝90°－∠3
∠1＋∠3
＝180°－90°
＝90°
∠1＝90°－∠3
∠1＝∠4
【考点精讲二】（23-24四年级下·安徽合肥·期末）我市一工厂加工了200个等腰三角形的警示牌，一条边长30厘米，另一条边长70厘米，用铝合金给这块警示牌包上边，至少需要多少米的铝合金？（接缝处忽略不计）
【答案】340米
【分析】根据题意，通过三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合，因为30＋30＜70，而70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米；把三条边相加，求出三角形的周长；再乘200，求出总长度；最后根据1米＝100厘米，把周长换算成米即可。
【详解】根据分析可知：
70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米。
70＋70＋30
＝140＋30
＝170（厘米）
170×200＝34000（厘米）
34000厘米＝340米
答：至少需要340米的铝合金。
【考点精讲三】（22-23四年级下·江苏淮安·期末）在一个三角形中，∠1与∠2相等，∠3比∠1大30°，这三个角分别是多少度？（先画线段图，再解答）
【答案】图见详解；∠1是50度，∠2是50°，∠3是80°
【分析】∠1与∠2相等，说明∠1的线段长度等于∠2的线段长度，而∠3的线段长度∠1大30°，三角形的内角和为180°，以此画出线段图；先用180°减去30°，计算出∠1、∠2以及∠3减去30°后的度数和，再除以3计算出∠1与∠2的度数，最后加上30°计算出∠3的度数；据此解答。
【详解】如图：
（180°－30°）÷3
＝150°÷3
＝50°
50°＋30°＝80°
答：∠1是50度，∠2是50°，∠3是80°。
【考点精讲四】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）画出下面图形底边上的高，并写出这两个图形的一个相同特征。
相同特征： 。
【答案】图见详解；都是四边形
【分析】在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；根据观察可知，这两个图形都是四边形。
【详解】
如图：（高画法不唯一）
相同特征：都是四边形。（答案不唯一）
【考点精讲五】（23-24四年级下·江苏南京·期末）动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利，小兔和小狗已经站到自己图形的顶点上了（如图）。
（1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。
（2）这样的比赛公平吗？为什么？
【答案】（1）见详解
（2）公平；理由见详解
【分析】（1）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。结合三角形和平行四边形高的画法，以小兔子和小狗所在的位置向对边画垂线即可。
（2）根据点到直线的距离进行判断，如果小兔和小狗到对边的距离是相等的，则比赛公平，反之则不公平。据此解答即可。
【详解】（1）画图如下：
（2）看图可知这样的比赛公平，因为三角形和平行四边形的高相等，都等于3个方格的边长，也就是小兔和小狗到对边的距离是相等的。（答案不唯一）
【考点精讲六】（22-23四年级下·江苏南通·期末）叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（ ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。
【答案】不公平；画图见详解
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，由此可知，叮叮所跑的最短路线为三角形对应底边的高；咚咚所跑的最短路线为平行四边形对应底边的高。
三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。
平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。依此即可解答。
【详解】这个比赛不公平，画图如下：
【考点精讲七】（23-24四年级下·广西北海·期末）李伯伯用篱笆靠墙围了一块梯形种植园，种植园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李伯伯只用了20米长的篱笆，你知道李伯伯是怎么围的吗？（要求：根据你的理解先画出篱笆的示意图，再列式解答）
【答案】图见详解；李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的
【分析】用种植园的周长减去篱笆长，求出种植园的周长比篱笆长多少，看和梯形的哪一条边相等，就把哪一条边靠在墙边，这样所需的篱笆最短，据此画出篱笆的示意图，再列式解答即可。
【详解】6＋14＋7×2－20
＝6＋14＋14－20
＝20＋14－20
＝34－20
＝14（米）
所以，梯形的下底靠墙，所需的篱笆最短，如图：
梯形的下底靠墙，14米不需要篱笆，总共需要：
7＋7＋6
＝14＋6
＝20（米）。
答：李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的。
【考点精讲八】（23-24四年级下·海南海口·期末）李叔叔有一块等腰梯形菜地，梯形的一条腰比上底长3米，给这块菜地围上篱笆，菜地一周的篱笆长多少米？
【答案】28米
【分析】根据题意可知，上底的长度＋3米＝腰长，等腰梯形的两腰相等，据此求出等腰梯形的2个腰长，然后根据周长是指围绕一个物体或平面图形一周的长度，把梯形四条边的长度相加，即可求出菜地一周的篱笆长多少米。
【详解】4＋3＝7（米）
7＋7＋4＋10
＝14＋4＋10
＝18＋10
＝28（米）
答：菜地一周的篱笆长28米。
【考点精讲九】（22-23四年级下·山西临汾·期末）再剪一根吸管，像下图那样用线穿起来拉一拉，结果怎样？你知道这是为什么吗？
【答案】拉不动了；因为三角形具有稳定性。
【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此解答。
【详解】因为三角形具有稳定性，所以再剪一根吸管，用线穿起来拉一拉，就拉不动了。
【考点精讲十】（23-24四年级下·山西临汾·期末）为了丰富学生的课余活动，培养学生的创新能力，学校专门组织了一次手工制作活动。乐乐用卡纸做了一个等腰三角形的书签，已知周长是23分米，其中一条边长是5分米，另外两条边长分别是多少分米？
【答案】9分米
【分析】等腰三角形两腰相等，三角形的周长是指三边的长度之和，已知周长为23分米，则三角形的三边之和为23分米；然后根据三角形两边之和大于第三边，判断这条5分米的边长是腰长还是底边，据此解题。
【详解】如果5分米是腰长，另一条腰长也是5分米，
23－5－5
＝18－5
＝13（分米）
5＋5＝10（分米）
10＜13，所以腰长不是5分米。所以5分米是三角形的底边。
（23－5）÷2
＝18÷2
＝9（分米）
9＋9＝18（分米）
18＞5
答：另外两条边长分别是9分米。
【考点精讲十一】（23-24四年级下·江苏泰州·期末）美美、丽丽、兴兴和花花四位同学研究三角形的内角和的学习记录如下图：
请你认真研究他们的学习记录单，看完后回答下列问题：
(1)我的研究方法与同学 一样，我的研究结论是：三角形的内角和是 。
(2)我是这样得到这个研究结论的： 。
【答案】(1) 美美 180°
(2)见详解
【分析】（1）说出自己求三角形内角和方法与上面哪位同学一样，求得的三角形内角和是多少度；
（2）把自己得出三角形的内角和的度数的过程写出来即可。
【详解】（1）我的研究方法和美美同学一样。我的研究结论是：三角形的内角和是180°。
（2）美美：我先量出每个内角的度数，再相加，我测得，∠1是61°，∠2是75°，∠2是44°，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
丽丽：我把三角形的三个角撕下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
兴兴：我把三角形的三个角翻折下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
花花：根据长方形的四个角都是直角，可知，长方形的内角和是360°，沿对角线剪开把长方形，分成两个三角形，则每个三角形的三个角的度数和是长方形的四个角度数的一半，即360°÷2＝180°；然后沿长边把两个三角形拼成一个三角形，或沿宽边把两个三角形拼成一个三角形，都发现拼成的三角形的角比长方形剪成的两个三角形少了两个直角，即拼成的三角形的三个内角都是和是180°＋180°－90°×2＝180°；所以三角形的三个内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可）
一、解答题
1．（23-24四年级下·江苏·课后作业）一个等腰三角形，其中一个角的度数是70°，求另外两个角的度数。
2． （23-24四年级下·江苏南通·期末）一个等腰三角形的周长是30米，底比腰长3米。这个等腰三角形的底是多少米？
3． （2024四年级下·江苏·专题练习）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的腰长多少厘米？（先画示意图，再解答）
4． （2024四年级下·江苏·专题练习）一个等腰三角形的周长是100厘米，腰长是底的2倍。它的腰和底分别长多少厘米？
5． （23-24四年级下·湖南邵阳·期末）一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰短3厘米。它的底和腰分别是多少厘米？
6． （23-24四年级下·湖南邵阳·期末）幸福村有一个宽18米的长方形鱼塘，因为扩建乡村道路，鱼塘的宽减少了2米，这样鱼塘的面积就减少了64平方米。现在这个鱼塘的面积是多少平方米？（先画图，再解答。）
7． （22-23四年级下·江苏镇江·期末）一个等腰三角形的周长是56厘米，腰比底长4厘米。它的底和腰各是多少厘米？（将线段图补充完整，标出已知条件和问题，再解答）
8． （22-23四年级下·江苏南京·期末）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将梯形的上底延长12厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的上底和下底分别是多少厘米？
9． （22-23四年级下·江苏泰州·期末）王师傅把一根60厘米长的木条锯成三段。正好围成了一个等腰三角形，这个等腰三角形的底比腰短6厘米。这个等腰三角形底是多少厘米？（先画图，再列式）
10． （22-23四年级下·江苏常州·期末）用一根185厘米的铁丝正好围成了一个等腰梯形，梯形的上底是21厘米，下底是54厘米，它的一条腰长多少厘米？
11． （23-24四年级下·安徽蚌埠·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。腰长多少厘米？
12． （22-23四年级下·江苏苏州·期末）王大爷家有一块等腰三角形的菜地，为防止散养的家禽破坏菜地，要给它的四周围上篱笆。经测量，菜地两条边的长度分别为25米和12米，请你帮王大爷算一算他至少需要准备多长的篱笆？
13． （22-23五年级上·山西太原·期中）为了美化环境，太原市广场上新建了一个等腰梯形的花坛，等腰梯形的上、下底的和是26米，腰长7米。在花坛的四周围一圈栅栏，已知栅栏每米25元，买栅栏一共需要多少元？
14． （23-24四年级下·江苏南京·期末）一根铁丝正好围成一个长7分米、宽5分米的长方形。如果将它改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少分米？
15． （23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长6厘米。它的底是多少厘米？（先画出示意图，再解答。）
16． （23-24四年级下·江苏苏州·期末）用一根铁丝围成平行四边形，已知相邻的两边长度之和是75厘米。如果把这根铁丝围成一条边长是36厘米的等腰三角形。这个等腰三角形的另外两条边的长度分别是多少厘米？
17． （23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是60厘米，底比腰长6厘米。它的底是多少厘米？
18． （23-24四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的周长是56厘米，腰比底长7厘米。它的底和腰各是多少厘米？
19． （23-24四年级下·江苏扬州·期末）小明用一根长42厘米的铁丝围成一个等腰三角形，它的底比一条腰长6厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画线段图，再解答）
20． （23-24四年级下·江苏宿迁·期末）用一根铁丝正好能围成一个边长是16厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？
21． （23-24四年级下·江苏宿迁·期末）有一块等腰三角形的花圃，一条边长60米，另一条边长120米。这个花圃的周长是多少米？
22． （23-24四年级下·江苏盐城·期末）一个等腰三角形的周长是34厘米，它的一条腰比底长5厘米，这个等腰三角形的底和腰各长多少厘米？
23． （22-23四年级下·四川广安·期末）桌上一共有6个相同的平行四边形（如下图），要拼成一个大的平行四边形，周长是多少厘米？（我是这样设计的（如图），你能设计一种不同方案吗？画出示意图，并计算）
24． （23-24四年级下·江苏连云港·期末）苗苗想做一个三角形的风筝，如果三角形的两条边分别是48厘米和23厘米，第三条边长度与这两条边其中的一条长度相同，则这个三角形的周长是多少厘米？
25． （23-24四年级下·江苏盐城·期末）幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？
26． （23-24四年级下·江苏南通·期末）有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。
(1)它的顶角是( )°。
(2)把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长( )厘米。
27． （23-24四年级下·江苏淮安·期末）小明准备用一根铁丝围成一个等腰三角形，已知其中两条边的长分别是15厘米和30厘米。这根铁丝至少是多少厘米？
28． （23-24四年级下·江苏常州·期末）一根毛线正好可以围成一个底是15厘米，腰是18厘米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长最大是多少厘米？
29． （23-24四年级下·河南洛阳·期末）如图，用两个完全一样的梯形拼成一个长方形。梯形的上底是6厘米、下底是10厘米，高是5厘米。这个梯形的面积是多少平方厘米？
30． （23-24四年级下·河南平顶山·期末）从一个上底为38厘米、下底为55厘米、高为16厘米的直角梯形里剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？（先画图，再解答）
31． （23-24四年级下·山西临汾·期末）临汾汾河公园有一块造型为等腰三角形的花圃，周长39米，腰比底长3米，这个花圃的底和腰的长各是多少米？（先画线段图表示题中数量关系，再解答。）
32． （23-24四年级下·山西太原·期末）一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？
33． （23-24四年级下·山西临汾·期末）如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？
34． （23-24四年级下·安徽芜湖·期末）有一个上底是4厘米，下底是7厘米的梯形。在这个梯形上剪一刀，刚好剪成了一个正方形和一个三角形。已知剪出的三角形中有一条边是5厘米，求这个梯形的周长。（要求：先画出草图再计算）
35． （23-24四年级下·山西太原·期末）
(1)如图1，沿着平行四边形的一条高剪开，把它分成了一个三角形和一个( )形。
(2)如图2，将三角形向( )平移( )格，这个平行四边形就变成了长方形。
(3)长方形与原来的平行四边形相比，面积变了吗？为什么？
36． （22-23四年级下·江苏泰州·期末）将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。
（1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。
（2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。
（3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。）
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