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2024-2025 学年天津市第九中学高二下学期 4 月期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共 9 小题，共 45 分。
1 ( ) = 2 1, lim (1 ) (1+2 ).已知 则 =( ) →0
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
2.高二某班共 45 人需要订午饭，其中 40 人每天都订饭，有 5 人可能订饭，可能不订饭，则该班级订饭人
员名单共有( )种情况．
A. A5 B. C5 5 25 45 C. 2 D. 5
3. ( ) = 0.5, ( ) = 0.2，则 ( | ) =( )
A. 0.1 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.4
4.设随机变量 ～ 3, 2 ， ( ≤ 5) = 0.8，则 (1 ≤ ≤ 3) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
5 ( )
2
.通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由 2 = ( + )( + )( + )( + )计算得：
2 ≈ 7.822,参照附表，则下列结论正确的是( )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
0.001
C.根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

6. 2 1 的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则 的系数为( )
A. 35 B. 35 C. 280 D. 280
7.某学校一同学研究温差 (° )与本校当天新增感冒人数 (人)的关系，该同学记录了 5 天的数据：
5 6 8 9 12
17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 = 2.6 + ，则下列结论错误的是( )
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A.样本中心点为(8,25) B. = 4.2
C. = 5 时，残差为 0.2 D.相关系数 > 0
8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0 时， ′( ) + ( ) ≥ 0，则 2 1 ( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) B. ( 1,0) ∪ (1, + ∞)
C. ( 1,0) ∪ (0,1) D. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
9.已知函数 ( ) = ln ，则下列说法正确的有( )个
① ( ) 1在定义域上有最大值是e ② ( )在(1, + ∞)上单调递减
③ e > (2) > (3) ④ ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 1 1 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
10 2.已知离散型随机变量 服从二项分布 ～ 3, 3 ，则 (3 1) = ， (3 1) = ．
11.函数 ( ) = ′(1) 2 + 1，则 (1) = ．
12.袋子中有 9 个大小相同的球，其中 7 个白球，2 个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，
第二次摸到白球的概率是 ；两次摸到的都是白球的概率是 ．
13 1.函数 ( ) = 33 +
2 + 1 在 R 上单调递增，则 的取值范围是 ．
14.( 1) = 0 + 1 + 22 + + ，二项式系数和为 128，则 0 + 1 + 2 + + = ， 2 +
4 + + 1 = (结果用数字表示)．
15.若直线 = + 与曲线 = 2 2 + 1 有 4 个交点，则 的取值范围为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(1)计算：A3 C26 9 + 3!
(2)求导： ( ) = 2 sin + log3 + 2cos + 2

(3)求导： ( ) = ln2 + e sin
3(2 + 1)
17.甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个红球，
一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同，则中奖，取的颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放
回盒子里以便于再次抽奖．
(1)求甲抽取一次，至少有一个白球的概率；
(2)求甲抽取一次，中奖的概率；
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(3)甲一共抽取了三次，中奖次数为 ，求 的分布列及数学期望．
18.已知 ( ) = 3 2 + + 1 在 = 1 处取得极值为 0．
(1)求 , 的值；
(2)求 ( )的单调性；
(3)求 ( )在(0,2]的值域．
19.某小区有 6 男 4 女共 10 名志愿者，准备从中选择 5 名志愿者参与志愿活动．
(1)求恰好有 2 名男志愿者的概率；
(2)已知选取的志愿者是 3 男 2 女，计划从中选取两人先去从事活动．
①选取两人中至少一名女志愿者的概率；
②选取女志愿者人数记为 ，求 的分布列及数学期望．
20.已知函数 ( ) = e ln 1.
(1)当 = 0 时，求 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)当 ∈ (1, + ∞)时， ( )单调递增，求 的取值范围；
(3)若 ( ) ≥ 1 1 ln 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.2；6
11. 1
12.3 74/0.75； 12
13.( ∞, 1]
14.0； 63
15. 1,4 2 2
16.【详解】(1)易知A3 C2 + 3! = 6 × 5 × 4 9×86 9 2×1 + 3 × 2 × 1 = 90，
(2)由 ( ) = 2 sin + log3 + 2cos + 2 可得
′( ) = 2 ln2 cos + 1 ln3 2sin + 2；

(3)因为 ( ) = ln2 + e sin
3(2 + 1)，

′( ) = ′ln2 + ln2 ′ + e e

所以 2 2 3sin (2 + 1)cos(2 + 1) (2 + 1)
′

= ln2 + 1 + ( 1)e 2 6sin
2(2 + 1)cos(2 + 1)．
17.【详解】(1)记甲抽取一次，至少有一个白球为事件 ，
C1 ( ) = 3C
1
2+C
2
则 3 = 9；
C25 10
(2)记甲抽取一次，中奖为事件 ，
2 2
则 ( ) = C3+C2 4 2
C2
= 10 =5 5
；
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(3)因为甲每次抽奖都是独立的，且每次抽奖中奖的概率是相同的，
故中奖次数 3, 25 ，
3
所以 ( = ) = C 2 1 23 5 5 ， = 0,1,2,3,
0 3
( = 0) = C0 × 2 × 1 2 = 27
1 2
所以 ， ( = 1) = C1 2 × 1 23 5 5 125 3 5 5 =
54
125，
2 3 0
( = 2) = C2 23 5 × 1
2 = 36 ( = 3) = C3 2 × 1 2 = 85 125， 3 5 5 125，
所以 的分布列为

0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
( ) = 0 × 27 + 1 × 54125 125 + 2 ×
36 8 6
125 + 3 × 125 = 5．
18.【详解】(1)易知 ( )的定义域为 R，则 ′( ) = 3 2 2 + ，
依题意可得 ′(1) = 3 2 + = 0，且 (1) = 1 + + 1 = 0，
3 2 + = 0
联立 2 + = 0 ,
= 1
解得 = 1；
(2)由(1)可得 ( ) = 3 2 + 1，
所以 ′( ) = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1)，
1
令 ′( ) = 0，解得 = 1 或 = 3；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，此时 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
当 ∈ 1 , 1 ′( ) < 0 13 时， ，此时 ( )在 3 , 1 上单调递减；
∈ ∞, 1 ′( ) > 0 ( ) ∞, 1当 3 时， ，此时 在 3 上单调递增，
综上可得， ( )在 ∞, 13 和(1, + ∞)
1
上单调递增，在 3 , 1 上单调递减；
(3)由(2)可知，在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
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即 ( )在 = 1 处取得极小值，也是区间(0,2]内的最小值，
易知 (1) = 0， (2) = 8 4 2 + 1 = 3，
又 (0) = 1 < (2)，
因此可得 ( )在(0,2]的值域为[0,3]．
19.【详解】(1)记“恰好有 2 名男志愿者”为事件 ，
C2 3 ( ) = 6C4 = 5则可得
C510 21
；
(2)①易知从 5 人中选取两人共有C25 = 10 种选法，
其中两人全是男志愿者的情况共有C23 = 3 种，
C2 7
因此可知选取两人中至少一名女志愿者的概率为 = 1 3 = ；
C25 10
②易知随机变量 的所有可能取值为 = 0,1,2，
C2 1 1 2
则 ( = 0) = 32 =
3
10， ( = 1) =
C2C3 = 3 C2 1
C C25 5 5
， ( = 2) =
C2
=
5 10
；
所以 的分布列为

0 1 2
3 3 1
10 5 10
3 3 1 4
期望 ( ) = 0 × 10 + 1 × 5+ 2 × 10 = 5．
20. 1【详解】(1)当 = 0 时，由 ( ) = e ln 1.，得 ′( ) = e .，
则 ′(1) = e 1，又 (1) = e 1，
所以曲线 = ( )在(1, e 1)处的切线方程为 e 1 = e 1 ( 1)，
即 = e 1 ．
(2)因为 ∈ (1, + ∞)时， ( )单调递增，
∈ (1, + ∞) 1 所以 时， ′( ) = e + 2 ≥ 0 恒成立，
即 ≥ 2e 在 ∈ (1, + ∞)时恒成立，
设 ( ) = 2e ，则 ′( ) = 1 2 e 2e ，
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则 > 1 时， ′( ) < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，可得 ≥ ( )max；
当 = 1 时， ( )max = (1) = 1 e，
所以 ≥ 1 e，所以 ∈ (1, + ∞)， ( )单调递增时， 的取值范围是 ≥ 1 e．
(3) ( ) ≥ 1因为 1 ln 恒成立，所以e
1 ≥
ln
恒成立，
所以 e ln ≥ 恒成立，
设 ( ) = e ln ，则 ≤ ( ) ′min，则 ( ) = e + e 1
1 +1
= e ( + 1) = ( + 1) e
1 ，
因为 > 0，所以 + 1 > 0，
1
令 ( ) = e 1 1 2 单调递增， 2 = e 2 < 0, (1) = e
1 1 > 0 1，所以 0 ∈ 2 , 1
1
， 0 = e 0 = 0，0
所以 ∈ 0, 0 , ′( ) < 0, ′( ) < 0, ( )单调递减； ∈ 0, + ∞ , ′( ) > 0, ′( ) > 0, ( )单调递增；
e 0 = 1因为 ，所以 e

0 0 = 1, 0 = ln 0，
0
所以 ( )min = ( 0) = 0e 0 0 ln 0 = 1 0 + 0 = 1，
所以 ≤ 1．
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