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2024-2025 学年四川省资阳市某校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( )满足 ( ) = 1 33
′(1) 2 ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2 .在等比数列 中， 3, 15是方程 2 + 10 + 9 = 0 的两个实数根，则 9 =( )3 15
A. 13 B.
1
3 C. ±
1
3 D. 3
3 1 3.已知函数 ( ) = 33
2
2 + 有 3 个不同的零点，则 的取值范围是( )
A. 92 , 0 B.
4
3 , 0 ∪ (0, + ∞)
C. 0, 9 92 D. ∞, 2 ∪ (0, + ∞)
4.数列 满足 1 = 2， = 1
2
+1，其前 项的积为 ，则 2025 =( ) +1
A. 1 B. 6 C. 2 D. 3
5.若函数 ( ) = + cos 在( ∞, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. [1, + ∞) B. (1, + ∞) C. [ 1, + ∞) D. ( 1, + ∞)
6.已知数列 满足 1 = 2，且 +1 = + 3 + 2( ≥ 1)，则 10 =( )
A. 182 B. 173 C. 164 D. 155
7 2.已知数列 满足 = (2 +1)(2 +3)，则其前 10 项和为( )
A. 1933 B.
20
39 C.
10 20
23 D. 69
8.过点(1,0)可以做三条直线与曲线 = e 相切，则实数 的取值范围是( )
A. 5e2 , 0 B.
5 5
e2 , e C. e , e D.
1
e , 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算中正确的是( )
A. ( 1 ′ 1 ′ 1 ) = 2 B. [log2(1 )] = 1 ln2
C. ( 2e )′ = 2 e + 2e D. (sin2 )′ = 2cos2
10.已知无穷等差数列 的前 项和为 ，S2024 < S2025且S2025 > S2026，则( )
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A.在数列 中， 1最大 B.在数列 中， 2025最大
C. 2026 > 0 D.当 ≥ 2026 时， < 0
11.如图是导函数 = ′( )的导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )在区间 2, 3 上单调递减
B.函数 = ( )在区间 4, 上单调递增
C.函数 = ( )在 4处取极大值
D.函数 = ( )在 3， 6处取极小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 ( ) = ln 在 = 1 处的切线方程为 ．
13 4 +3 .已知两个等差数列 与 的前 项和分别是 7 和 ，其中 = 2 1，则 = ． 7
14.设 = ( )、 = ( )分别是定义在 上的奇函数和非零偶函数，当 < 0 时， ′( ) ( ) ( ) ′( ) > 0，
且 (3) = 0，则不等 ( ) ( ) < 0 的解集是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知{ }为等比数列， 1 = 1,2 2是 4 1， 3的等差中项．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 2．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的单调区间；
(2)若在 = 1 时取得极值，求函数 ( )在区间[ 2,2]上的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 = 1， +1 = 2 + 1．
(1)证明：数列{ + 1}为等比数列；
(2)求{ }的通项公式及 ．
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18.(本小题 17 分)
设 为数列 的前 项和，且 是 和 8 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1令 = log2 ，数列 的前 项和为
1 1

，证明：12 ≤ < ． +1 3
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e 2 2 ．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)若函数 = ( ) 恰有两个零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 = 0
13.115 /2.2
14.( ∞, 3) ∪ (0,3)
15.【详解】(1)设{ }的公比为 ，因为 2 2为 4 1， 3的等差中项，
所以 4 2 = 4 1 + 23, 1 ≠ 0，即 4 1 = 4 1 + 1 ，
则 2 4 + 4 = 0，解得 = 2，
所以 = 2 1．
(2)设{ }的前 项和为 ，又 = 1, 1 1 = 2 ，
2 = 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 2 + + × 2 1，①
2 = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + ( 1)2 1 + × 2 ，②

① ②得 = 1 + 2 + 22 + + 2 1 × 2 =
1 2
1 2 × 2
= (1 )2 1，
所以 = ( 1)2 + 1．
16.【详解】(1)由题得 ′( ) = 3 2 2 ，且 ( )定义域为 ．
当 = 1 时，函数 ( ) = 3 2 + 2，因此 ′( ) = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1)，
所以当 < 13或 > 1 时，
′( ) > 0 1，当 3 < < 1 时，
′( ) < 0，
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所以函数 ( ) 1 1的递增区间是 ∞, 3 , (1, + ∞)，递减区间是 3 , 1 ．
(2)由函数 ( )在 = 1 时取得极值，得 ′(1) = 1 = 0，解得 = 1，
由(1)可知 ( )在 2, 13 , (1,2]
1
上单调递增，在 3 , 1 上单调递减，
满足 ( )在 = 1 时取得极小值，故 = 1，
又 ( 2) = ( 2)3 ( 2)2 ( 2) + 2 = 8, (1) = 13 12 1 + 2 = 1，
所以函数 ( )在区间[ 2,2]上的最小值是 8．
17. (1) +1+1 = 2 +1+1 = 2( 【详解】 证明：因为 +1) +1 = 2， +1 +1
数列{ + 1}的首项为 1 + 1 = 2，
所以数列{ + 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
(2)因为 + 1 = 2 2 1 = 2 ，所以 = 2 1, ∈ ，
所以 = 1 + 2 + + = 21 1+ 22 1 + + 2 1

= (21 + 22 + + 2 ) = 2(1 2 ) +11 2 = 2 2．
18.【详解】(1)解法 1：因为 是 和 8 的等差中项，
所以 = +8 2 ，即 = 2 8.①
当 = 1 时， 1 = 2 1 8，得 1 = 8．
当 ≥ 2 时， 1 = 2 1 8，②
① ②得 1 = 2 2

1，得 = 2 1，即 = 2． 1
所以数列 是以首项为 8，公比为 2 的等比数列．
所以 = 8 × 2 1 = 2 +2 ．
解法 2：因为 是 和 8 的等差中项，
+8所以 = 2 ，即 = 2 8．
当 = 1 时， 1 = 2 1 8，得 1 = 8．
当 = 2 时， 2 = 2 2 8，得 2 = 16．
当 = 3 时， 3 = 2 3 8，得 3 = 32．
猜想： +2 = 2 ．
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(下面用数学归纳法证明)
1 当 = 1 时，可知猜想成立，
2 假设 = 时，猜想成立，即 +2 = 2 ，
= +8依题意，得 2 ，得 = 2 8 = 2
+3 8，
又 +1 =
+1+8
2 ，得 +1 = 2 +1 8，
则 +1 = +3 +1 = 2 +1 8 2 + 8，
得 = 2 +3 +1 = 2( +1)+2．
即当 = + 1 时，猜想也成立．
由 1，2 可知猜想成立，即 = 2 +2．
(2)因为 = log2 = log 2 +22 = + 2，
1 1 1 1
得
=
+1 ( +2)( +3)
= +2 +3，
所以 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = +1 2 2 3 +1 3 4 4
5 + + +2 +3 = 3 +3．
1 1
由于 ≥ 1，得 0 < +3 ≤ 4，
1 1 1 1
得12 ≤ 3 +3 < 3，
1 ≤ < 1所以12 3．
19.【详解】(1)由题设 ′( ) = e 2 2 + 2 2 = ( 2 2)e ，
当 < 2或 > 2， ′( ) > 0， ( )在( ∞, 2)、( 2, + ∞)上单调递增，
当 2 < < 2， ′( ) < 0， ( )在( 2, 2)上单调递减，
所以极大值为 2 = 2 + 2 2 e 2，极小值为 2 = 2 2 2 e 2．
(2)由 → ∞时， ( )趋向于 0， →+∞时， ( )趋向于+∞，且 (0) = 0，
结合(2)知，在( ∞,0)上 ( ) > 0，且 2 < 0，
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要使函数 = ( ) 恰有两个零点，则 2 2 2 e 2 < ≤ 0 或 = 2 + 2 2 e 2．
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