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2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（三）
考生注意：
考试时间120分钟
全卷共三道大题，总分120分
题号 一 二 三 总分
18 19 20 21 22 23 24
得分
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
2．在西周中晚期数千篇金文中，散氏盘书法风格独特，具有很高的书法欣赏价值，下列是用此书法风格书写的部分文字，这些文字中，既可以近似的看成是轴对称图形又可以近似的看成是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．图1是猎豹奔跑的瞬间，腹部与后肢平行，图2是其示意图，若量得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着以的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿着以的速度向终点运动，点关于直线的对称点为点，连接交于点．设两点运动的时间为的面积为，则与的函数关系图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知抛物线（，，为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①，②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于米，数据用科学记数法表示为 ．
12．函数的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则 ．
15．反比例函数（）和（）的图象如图所示，A，B为的图象上两点，C，D为图象上两点，四边形ABCD中，轴，分别交y轴于E、F，，若，则 ．
16．若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作BC于点．若是“勾股三角形”，则长为 ．
17．如图，将放置在平面直角坐标系中，使直角顶点落在原点处，直角边落在轴正半轴上，直角边落在轴正半轴上．，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，…，以此类推，则的横坐标为 ．
三、解答题（本题共7个大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分）
（1）计算：．
（2）分解因式：．
19．（本题满分5分）解方程：．
20．（本题满分8分）“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀．” 阅读对人成长的影响是巨大的．学校想了解八年级和九年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．八、九年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图如图．(统计图不完整，两个年级的数据都分成6组：，，，，，，单位：)
b．九年级学生一周阅读时长在这一组的数据为6，6，6，6，，，7，7，7，7，，．
c．八、九年级学生一周阅读时长的平均数、中位数、众数和方差如表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 7 7
九年级 m 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中________；
(2)补全九年级学生一周阅读时长频数分布直方图，表中m的值为________；
(3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对八年级和九年级学生的阅读情况进行比较，并作出评价；
(4)八年级有400名学生，九年级有200名学生，请估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．
21．（本题满分10分）如图，内接于，是的直径，过点O作交于点D，垂足为M．连接、，与交于点E，在的延长线上取一点N，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
22．（本题满分10分）在一条笔直的公路上依次有三地，甲，乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地时休息分钟后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地，甲，乙两人距地的距离（米）与时间（分）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲骑行速度为_____米/分，乙步行速度为____米/分，两地的距离为____米；
(2)求甲返回时距地的距离（米）与时间（分）之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）；
(3)两人出发后，在甲返回地之前，设第分钟时，两人距地的距离相等，请直接写出的值．
23．（本题满分12分）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形
【分析并解决问题】
（1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形；
【拓展】
（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．

24．（本题满分14分）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为
(1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标．
(2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设
①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M．求证：．
②如图2，当点N在运动过程中，点M总存在两个不同的位置使，求出t的范围．
③当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（三）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B A C B C B
1．C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可．
【解答】解：由数轴可得，
∴
，
，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．可以近似的看成轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，乘法公式，积的乘方，幂的乘方，逐一进行计算后，判断即可．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算错误，不符合题意；
故选B．
4．B
【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三种视图之间的关系是解答本题的关键．
依据俯视图即可确定出左视图共有列，以及每列上的小正方体个数分别为、，由此，即可得到答案．
【解答】解：由俯视图和小正方形中的数字可知，该几何体从左到右有三列，第一列有个小正方体，第二列有个小正方体，则该几何体的左视图是
，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，如图，过作，而，可得，再进一步的利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，过作，而，
∴，
∴，，
∴；
故选：B
6．A
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：由题意，列出表格如下：
宫 商 角 徵 羽
宫 宫，宫 宫，商 宫，角 宫，徵 宫，羽
商 商，宫 商，商 商，角 商，徵 商，羽
角 角，宫 角，商 角，角 角，徵 角，羽
徵 徵，宫 徵，商 徵，角 徵，徵 徵，羽
羽 羽，宫 羽，商 羽，角 羽，徵 羽，羽
共25种等可能的结果，其中，先发出“宫”音，再发出“羽”音的结果只有1种，
∴；
故选：A．
7．C
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的范围，涉及解分式方程、解不等式组等知识，先求出方程的解，根据解的情况结合分式有意义，列出不等式组进行求解即可得到答案．熟记分式方程的解法是解决问题的关键．
【解答】解：，
解得，
∵关于的方程的解为正数，
∴，且，
∴，
解得，且；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】解：购买篮球个，足球个，排球，
∵购买的足球数量是的倍数，
∴设（为正整数），
∴，
∴，整理得：，
∵，为正整数，
∴或，
∴当时，，
∴或或或或或，
∴当时，，
∴，
综上可知：该学校的购买方案有种，
故选：．
9．C
【分析】结合题意可得：，求解，，可得，再分两种情况列函数关系式，再判断即可.
【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
当点恰好重合时，有，
解得3.2．
当点在点上方，即时，
．
当点在点上方，即时，，
．
观察各选项图象，只有C项符合．
故选：C
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置以及与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识点逐项判断即可．
【解答】解：由图可知抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，即，
∵与y轴的交点B在，之间（不含端点），
∴，
∴，故①不正确；
∵对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
∴与x轴交于另一点为，
∴当时，，故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
若方程两根为，
∴直线与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∴直线与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示：
由图象可知，故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有2个．
故答案为：B．
11．
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【解答】解：∵，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，求函数的自变量取值范围，根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
13．
【分析】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可．
【解答】解：设，则，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了作图——作角平分线，矩形的性质，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由矩形性质可知，，由作图可知，，，则有，则，，，然后根据中点坐标，两点间的距离即可求解．
【解答】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
∵四边形是矩形，
∴，，
由作图可知，，，
∴，
∴，
∴，，，
∵若点是的中点，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查根据已知图形的面积求值，设，则，进而得到的坐标，根据轴求出的坐标，再根据梯形的面积公式，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设，
∵，
∴，
∵轴，C，D为图象上两点，
∴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵A，B为的图象上两点，
∴，，
∴，，
∴，即：，
解得：；
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理；过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当，时，结合图形，根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：在矩形中，．将沿折叠，得到，
∴，，．
过点作于点，则四边形是矩形．
∴．若是“勾股三角形”，
分两种情况：①当，时，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴．
②当，时，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴．
故答案为： 或．
17．
【分析】过点作于点，点作于点，根据矩形的判定和性质，正切值的求法，全等三角形的判定和性质得到，再利用同样的方法得到，找出规律即可求解．
【解答】解：过点作于点，点作于点，如图
由题意可得四边形和四边形是矩形，
，，，，
设，
，
．
则，
，，
．
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
同理可得：，
．
，
的横坐标为．
故答案为：．
18．（1）（2）
【解答】（1）解：
．
（2）解：
．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先化为一元二次方程的一般式，再利用公式法求解．
【解答】解：，
整理，得．
∴，
，
，
即．
20．(1)36
(2)见解析，
(3)见解析
(4)200名
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图及中位数的计算方法，准确掌握各统计图的特点并理解各个数量之间的关系式是解决问题的关键．
（1）利用扇形统计图各部分的百分率总和等于1，在根据圆心角度数计算方法即可求得结果；
（2）①求出九年级40人中阅读时间为小时的人数，即可补全条形统计图；利用条形统计图求出的人数与的人数，再由九八年级学生一周阅读时长在这一组的数据求得中位数即可；
（3）根据条形统计图的信息及统计表中的信息，即可得出结论；
（4）根据条形统计图及扇形统计图中的相关数据，可求出两个年级一周阅读时长不低于8小时的人数，即可得出结果．
【解答】（1）解：
；
故答案为：36；
（2）的人数为：，
补全的九年级学生一周阅读时长频数分布直方图如下．
∵随机抽取了40名学生进行调查，
的人数：（名），
的人数：（人），
∴中位数应该在第21和21名同学度数时间的平均数
∵，
∴中位数在组，按照从低到高排序的第4和第5同学读书时间的平均数，
∴；
故答案为：；
（3）从平均数看：八年级学生的平均数高于九年级学生的平均数，所以八年级学生的阅读情况好于九年级；从方差看：八年级学生的方差小于九年级学生的方差，说明八年级学生的阅读时长波动较小，所以阅读情况好于九年级．(答案不唯一)
（4）400×(30%+5%)+200×=200（人)．
答：估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数为200人．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，求得，，即可解答．
（2）根据圆周角定理得，根据三角函数，得到，由勾股定理得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，即
，
是的半径，
是的切线
（2）是的直径，
在中，，，
，即，
由勾股定理得
，为的半径，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
22．(1)240，60，1200
(2)
(3)4或6或8
【分析】（1）根据图象可得，甲从A地到C地用了分钟，共1020米，即可求出甲的速度，再求出A地到B地的路程，即可求出乙的速度；
（2）求出点M的坐标，把点M和点N的坐标带入即可求解；
【解答】（1）解：根据题意得：
甲的速度：（米/分），
A，B两地距离：（米），
乙的速度：（米/分），
故答案为：240，60，1200．
（2）设甲返回时距地的距离（米）与时间（分）之间的关系式为：，
∵A地到B地距离为1200米，
∴点M的纵坐标为1200，
∵甲在C地休息了一分钟，
∴点M的横坐标为，
∴，
把点，带入得：
，解得：，
∴．
（3）C地距离B地（米）
乙到C地时间：（分）
甲乙相遇的时间：（分）
①当时，
此时乙还没到C地： ，
解得：，此种情况不符合题意；
②当时，即时，
解得：时；
③当时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴，
解得：时；
此种情况不符合题意；
④当时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：（米），
即时两人距C地的路程相等，
⑤当时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，，
解得：，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，，
解得：，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或．
【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论；
（2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答；
（3）设设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，由折叠得：，，
∵，四边形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是类矩形；
（2）证明：如图2，由折叠得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图3，设，，则，
由折叠得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是类矩形；
（3）解：设与交于点O，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，
∴，
同理得：，，
∵四边形是类矩形，
∴或，
①如图4，当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图5，当时，，
由①同理得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
24．(1)，，
(2)①见解析，②，③存在，，点G的坐标为
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出m即可的抛物线的解析式，把代入解析式，即可求出点C的坐标，把代入解析式，即可求出点B的坐标；
（2）先求出直线的解析式，再求出点M的坐标，最后求证，，根据等边对等角，即可求证；②延长，过点B作于点P，过点M作轴，分析题目可得，点B、M、N、四点共圆，当轴时，M存在一个位置使，当点M和重合时，M存在一个位置使，即可求解；③设，将各条边的长度表示出来，过点G作轴于点H，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解答】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
把代入得：，
∴；
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）①如图：
设直线的函数解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为：，
∵，，点N运动到的中点，
∴，
把代入得：，
∴，则，
∵，，
∴，则
∵，，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴；
②延长，过点B作于点P，过点M作轴，
由①可知，
∵点M总存在两个不同的位置使，
令点M的两个位置分别为M和，
∴点B、M、N、四点共圆，
当点N运动到的中点时，点M和重合，此时，
当点和点C重合时，
∵和都为弦所对的圆心角，
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，整理得：，
根据勾股定理可得：，
即，解得：，（舍），
综上：；
③过点G作轴于点H，
由①可得：，
∴，
∴，则，
设点，
∵，
∴，，则，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
令，则，
解得：，
当时，不符合题意，舍去；
当时，解得：，，
此时，或（舍），
综上：存在，，点G的坐标为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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