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2024-2025甘肃省定西市渭源县北寨中学第二次阶段考试
八年级 数学
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+n﹣3是正比例函数，则m+n的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1
3．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的无理数是（　　）
A．5.3 B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O．若OC＝5，则BD的长为（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．12.5
7．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
9．挑选5名同学组成一个舞蹈队，已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168（单位：cm）．要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为（　　）
A．162cm B．164cm C．165cm D．168cm
10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C两点之间的距离为8cm，B，D两点之间的距离为6cm，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．48cm2 B．40cm2 C．24cm2 D．14cm2
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝ 　 　 ．
12．△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，AC＝2，则BC＝　 　 ．
13．如图，在四边形ABCD中，点E，F在BD上，AE∥CF，AE＝CF，请你添加一个条件　 　 ，使四边形ABCD是平行四边形．
14．已知直线y＝x﹣n与y＝2x+m的交点为（﹣2，3），则方程组的解是 　 　 ．
15．如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°，两地AB间距离为　 　 ．
16．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，在CB上取点E，使得CE＝CD，连接DE；以点C为圆心作弧交DE于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径，在点C的异侧作弧交于点F，射线CF交AD于点P，连接BP，则BP的长为 　 　 ．
三．解答题（共10小题，共72分）
17．(4分)计算：．
18．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
19．（6分）如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝2.4，BE＝1.8．
（1）试判断CE与AB是否垂直？并通过计算进行说明；
（2）若△ABC的面积为3，求AC的长．
20．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点E，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若点F、G分别为线段CE、CB的中点，连接FG，FG＝1，AB＝3，求BC的长．
21．（6分）如图，根据图中信息解答下列问题：
（1）关于x的不等式ax+b＞0的解集是　 　 ；
（2）关于x的不等式mx+n＜1的解集是　 　 ；
（3）当x为何值时，y1≤y2？
（4）当x＜0时，比较y2与y1的大小关系．
22．（8分）某校开展了主题为“航空知多少”的知识竞赛活动，随机抽取了七（1）班、七（2）班学生若干名（每个班抽取的学生人数相同）进行知识答题竞赛，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为优秀、良好、合格三个等级（优秀等级：90≤x≤100，良好等级：80≤x＜90，合格等级：70≤x＜80），分别绘制成如下统计图表．其中七（1）班学生测试成绩数据的众数出现在优秀等级，优秀等级测试成绩情况分别为：100、99、97、96、95、95、95、93、92；七（2）班学生测试成绩数据的优秀等级共有a个人．
成绩 平均数 中位数 众数 方差
七（1）班 89 b 95 78.5
七（2）班 90 93 97 74.25
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个班级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）若该校共有2000人，请估计该校学生中成绩为优秀的学生共有多少名？
23．（7分）一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买x件甲种道具，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）当x＞60时，求y与x之间的函数解析式．
（2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，甲种道具的数量不少于60件，且不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（单位：元）最少？
24．（8分）如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
25．（8分）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点C处，点C到旗杆底部点B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离ED为2米，求小强后退的距离CD（结果精确到0.1米）．
（参考数据：1.41，1.73，2.24）
26．（10分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（2）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D C D B B C
二．填空题（共6小题）
11．12
12.4或2　
BE＝DF（答案不唯一）
14.．
15．．
16.
三．解答题（共10小题）
17．解：原式＝34
．
18．解：∵，，
∴x+y＝2，xy＝4；
（1）x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2）2﹣3×4
＝20﹣12
＝8；
（2）
＝3．
19．解：（1）CE⊥AB，理由如下，
∵CE2+BE2＝2.42+1.82＝9，BC2＝9，
∴CE2+BE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）∵，
∴AB＝2.5，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.8＝0.7，
∴，
所以AC的长为2.5．
20．（1）证明：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
∵AC、BD是矩形ABCD的对角线，
∴AC＝BD．
（2）解：∵点F、G分别为线段CE、CB的中点，FG＝1，
∴BE＝2GF＝2．
∵四边形ABCD是矩形．
∴BD＝2BE＝4．
∵AB＝3，
∴AB＝DC＝3．
在 Rt△CBD中，．
∴．
21．解：（1）由所给函数图象可知，
当x＜4时，一次函数y2＝ax+b的图象都在x轴上方，即ax+b＞0，
所以不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．
故答案为：x＜4．
（2）由所给函数图象可知，
当x＜0时，一次函数y1＝mx+n的图象都在直线y＝1的下方，即mx+n＜1，
所以mx+n＜1的解集是x＜0．
故答案为：x＜0．
（3）由所给函数图象可知，
当x≤2时，一次函数y1＝mx+n的图象都不在一次函数y2＝ax+b的上方，即y1≤y2，
所以当x≤2时，y1≤y2．
（4）当x＜0时，函数y1＝mx+n的图象在函数y2＝ax+b图象的下方，即y1＜y2，
所以当x＜0时，y1＜y2．
22．解：（1）七（1）班学生总人数为16人，七（2）班学生测试成绩数据优秀等级人数为：人；
七（1）班学生测试成绩的中位数为第8个和第9个数据的平均数，把优秀等级测试成绩按从小到大的顺序排列，可知第8个和第9个数据分别是92，93，所以七（1）班学生测试成绩的中位数为；
故答案为：11，92.5；
（2）七（2）班测试成绩更好，理由如下：
七（2）班学生测试成绩的平均数和中位数均比七（1）班学生测试成绩的平均数和中位数高．
（3）根据部分估算总体可得：
（名），
答：估计该校学生中成绩为优秀的学生共有1250名．
23．解：（1）当x＞60时，设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（60，2400）和（80，2600）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴当x＞60时，y与x之间的函数解析式为y＝10x+1800（x＞60）．
（2）根据题意，得w＝10x+1800+40（100﹣x）＝﹣30x+5800，
∵﹣30＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵60≤x≤75，
∴当x＝75时w值最小，
100﹣75＝25（件）．
答：购买甲种道具75件、乙种道具25件才能使该班付款总金额w最少．
24．解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，
则由勾股定理得：AO2.4m，
∴OC＝2m，
∵直角三角形CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，
∴由勾股定理得：OD1.5m，
∴BD＝OD﹣OB＝1.5m﹣0.7m＝0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；
25．解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为 （x+3）米，
在 Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12，
答：旗杆AB的高度为12米；
（2）如图，过E作EG⊥AB于点G，则四边形BDEG是矩形，
∴BG＝DE＝2 米，EG＝BD，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10（米），
由（1）可知，AE＝AC＝12+3＝15（米），
在 Rt△AGE 中，由勾股定理得：EG（米），
∴米，
∴米≈2.2米，
答：小明需要后退约2.2米．
26（1）解：如图2，连接AE，
则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝20°，
∴∠EAD＝130°，
∴∠ADF25°；
（2）如图3，连接AE、BF、BD，
由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴BF2+FD2＝BD2，
∴EF2+FD2＝2AB2．
．

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