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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
（第2课时）
能分析出较简单实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式求解，体会数学建模的思想。
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。
（消元）
　　2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案．
例1：七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
分析：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式．
例1：七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设初赛答对了x道题.
根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式
10x-5(20-x)>90
去括号，得
10x-100+5x>90
移项，合并同类项，得
15x>190
系数化为1，得
x>
由x应为正整数，可得x至少为13.
数学问题
(一元一次不等式)
实际问题
设未知数
列不等式
解不
等
式
数学问题的解
(一元一次不等式的解集)
实际问题的答案
检验
利用一元一次不等式解决实际问题的基本思路。
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的不等关系．
　　（2）设：设出适当的未知数．
　　（3）列：根据题中的不等关系列出不等式．
　　（4）解：解不等式．
　　（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义．
　　（6）答：写出答案．
（1）审题是解题的基础，找到题中的不等关系是解题的关键，也是解题的难点，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”不小于”“至少”“最多”等，理解它们的含义．
（2）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位，且单位要统一．
例2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标．
分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即
5%
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤．
根据题意，列得不等式 5%
去分母，得 0.3205%
移项，合并同类项，得 0.304
系数化为，得 x≤0.304
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤．
例2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
【知识技能类练习】必做题：
1．篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
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【知识技能类练习】必做题：
3．2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？
解：设2025年改造户数增长率达到才能完成任务，由题意，得：
，
解得：，即：；
∴2025年改造户数增长率至少达到才能完成任务．
【知识技能类练习】选做题：
4．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
C
【综合拓展类练习】
5．“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题：
(1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积；
(2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？
【综合拓展类练习】
解：（1）设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩．
根据题意，得
解得
答：该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩；
（2）设“一般品种小麦”的亩产量是千克．
由题可得．
解得．
答：“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克．
列一元一次不等式解决实际问题
一般步骤
基本思路
【知识技能类作业】必做题：
1．某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了 道题．
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【知识技能类作业】必做题：
3．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？
解：设购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台，
，
解得：．
∴最多可购买种植施肥机械类农机台
【知识技能类作业】选做题：
4．某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
A
【综合拓展类作业】
5．在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
(1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
(2)若书架上已摆放了本数学书，
那么最多还可以摆多少本语文书？
【综合拓展类作业】
解：（1）设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得： ，解得 ，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《11.2 一元一次不等式（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容是用一元一次不等式解决简单的实际问题，既是对已学知识的运用和深化，又为今后用不等式解决较复杂的实际问题以及更广泛的应用数学建模的思想方法奠定基础，有着承上启下的作用。
学习者分析 在本节课之前，学生已经学习了用方程思想解决实际问题和一元一次不等式的性质及其解法等知识，在此基础上，可以通过类比一元一次方程解决实际问题的思想学习用不等式来解决实际问题。
教学目标 能分析出较简单实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式求解，体会数学建模的思想。
教学重点 根据数量关系建立一元一次不等式进行求解．
教学难点 从实际问题中抽象出不等式的数学模型．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 能分析出较简单实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式求解，体会数学建模的思想。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 预设： 2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 预设：（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 导入：与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案．学生活动2： 学生独立思考并认真回答活动意图说明： 复习列一元一次方程解决实际问题的基本思路和一般步骤，巩固基础，为本节课学习“列一元一次不等式解决实际问题”做准备．环节三：新知讲解教师活动3： 例1：七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级 分析：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式． 解：设初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 10x-5(20-x)>90 去括号，得 10x-100+5x>90 移项，合并同类项，得 15x>190 系数化为1，得 x> 由x应为正整数，可得x至少为13. 归纳1： 归纳2：列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤 （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的不等关系． （2）设：设出适当的未知数． （3）列：根据题中的不等关系列出不等式． （4）解：解不等式． （5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义． （6）答：写出答案． 归纳3：（1）审题是解题的基础，找到题中的不等关系是解题的关键，也是解题的难点，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”不小于”“至少”“最多”等，理解它们的含义． （2）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位，且单位要统一． 例2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？ 讲解：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标． 分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即 5% 解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤． 根据题意，列得不等式 5% 去分母，得 0.3205% 移项，合并同类项，得 0.304 系数化为，得 x≤0.304 答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤．学生活动3： 学生小组合作探究，发表意见，然后班内交流，最后和老师一起归纳用一元一次不等式解决实际问题的基本思路和步骤。活动意图说明： 通过情境问题，体会从实际问题中找出数量关系，并在对数量关系的分析中，引导学生将实际问题转化为数学问题，建立数学模型思想，再将数学问题转化为实际问题进行解答。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：11.2 一元一次不等式（第2课时） 一、列一元一次不等式解决实际问题基本思路 二、列一元一次不等式解决实际问题一般步骤 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目． 答案：13 3．2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？ 解：设2025年改造户数增长率达到才能完成任务，由题意，得： ， 解得：，即：； ∴2025年改造户数增长率至少达到才能完成任务． 选做题： 4．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？ 解：（1）设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩． 根据题意，得 解得 答：该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩； （2）设“一般品种小麦”的亩产量是千克． 由题可得． 解得． 答：“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了 道题． 答案：8 3．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 解：设购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台， ， 解得：． ∴最多可购买种植施肥机械类农机台 选做题： 4．某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 解：（1）设书架上数学书有本，语文书有本， 由题意得：， 解得， 答：数学书有本，语文书有本． （2）设再摆本语文书， 根据题意得：， 解得：， 答：最多还可以摆本语文书．
教学反思 本课通过创设与学生实际生活联系密切的问题情境，并由学生根据自己的经验列出一元一次不等式解决问题，从中发现一元一次不等式与一元一次方程之间的内在联系，并通过实际问题引发学生独立思考，讨论交流，尝试练习，自主建构运用一元一次不等式来解决实际问题的基本思路和基本步骤，体会不等式思想的应用。
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同步探究学案
课题 11.2 一元一次不等式（第2课时） 单元 第十一章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 能分析出较简单实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式求解，体会数学建模的思想。
重点 根据数量关系建立一元一次不等式进行求解．
难点 从实际问题中抽象出不等式的数学模型．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一元一次方程解决实际问题的思路和一般步骤，研究一元一次不等式解决简单实际问题的基本思路和一般步骤。 例1：七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级 分析：“初赛成绩________90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式． 归纳1： 归纳2：列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤 （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的____关系． （2）设：设出适当的未知数． （3）列：根据题中的不等关系列出__________． （4）解：解不等式． （5）验：检验解（或解集）是否符合__________． （6）答：写出答案． 归纳3：（1）审题是解题的基础，找到题中的______关系是解题的关键，也是解题的难点，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”不小于”“至少”“最多”等，理解它们的含义． （2）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位，且单位要______． 例2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？ 提示：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标． 分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率________5%”是问题中蕴含的不等关系，即 5%
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（ ） A． B． C． D． 2．一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目． 3．2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？ 选做题： 4．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ） A． B． C． D． 2．一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了 道题． 3．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 选做题： 4．某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
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