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黄石市下陆区部分学校2025年中考第一次模拟考试
数学试题卷
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 下列四个数中，比-1小的数是（ ）
A. 3 B. -2 C. 0 D. 1
2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）．
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．抛物线的顶点坐标是（　 ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
5. 在下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
9.如图，四边形内接于，AB=AC，，，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①一元二次方程有两个相等的实数根；
②若点，，在该函数图象上，则；
③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；
④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为，以上四个结论中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 式子在实数范围内有意义的条件是______．
12．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
13. 湖北省旅游资源丰富，今年“清明节”期间，十堰武当山、官昌清江画廊、荆州方特、黄石天空之城这四个景区异常火爆，甲、乙两人准备在这四个景区中随机选择一个景区游玩，则他俩选择同一个景区游玩的概率是_________．
14. 《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”
答：大容器容积为______斛，小容器容积为______斛．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
17. （6分）如图，四边形是平行四边形，E，F分别是和的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）当_________度时，四边形为矩形．
18. （6分）在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A逆时针旋转得到，
（1）求线段的长；
（2）连接B、，求的面积；
（3）在x轴上找一点C，使得是等腰三角形，求出满足条件的点C的坐标．
19．（8分）每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度；
(2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组；
(3)若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩．
20．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
21. （8分）如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧长．
22. （10分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为元，一次性销售量为千克．
（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润的最大值；
（3）当一次性销售利润为多少元时，其对应的销售量的值有且只有两个？请你直接写出此时一次性销售利润的值．
23．（11分）在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E．
(1)如图1，当点E落在上，求证：；
(2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长；
(3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP，BC，当∠PBD+∠CBO＝45°时，请求出m的值．
答案解析
1.B
2.C
3.C
4.B
5.C
6.A
7.A
8.D
9.C
10.C
11.
12.9.6×106
13.
14. ①. ②.
15. 或
16.解：
，
当时，．
17.（1）证明；∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵E，F分别是和的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
故答案为：90．
18.（1）解：∵点，，
∴．
（2）解：根据旋转可知，，，
∴．
（3）解：当时，如图所示：
∵，，
∴此时点C的坐标为：或；
当时，如图所示：
过点B作轴于点D，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标为，
∴，
∵，轴，
∴，
∴此时点C的坐标为：；
当时，如图所示：
过点B作轴于点D，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴此时点C的坐标为；
综上分析可知，点C的坐标为：或或或．
19.解：（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩，
在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是，
故答案为：，；
（2）组的人数为(人)，
补全频数分布直方图如图所示.
将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组，
∴学生竞赛成绩的中位数落在组，
故答案为：；
（3）组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为
．
20.（1）解：∵一次函数与x轴相交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∵点在一次函数图象上，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数图象上的点，
∴，
反比例函数的表达式为；
（2）解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，
∴不等式的解集是或．
21.（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点，作于点，
∵是的直径，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴．
22.（1）根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量时，
销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量时，利润，故；
②当一次性销售量时，由（2）知，当时，有最大值22500，
当时，，
右端点，
又当时，，即左端点，
当一次性销售量时，，
当一次性销售量时，，
③当一次性销售量时，均以某一固定价格销售，
又，故由图象可知，；
由上述分析可得，当或时，其对应的销售量的值有且只有1个；
当或时，其对应的销售量的值有且只有两个；
当时，其对应的销售量的值有且只有3个．
23.（1）证明∶∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵将四边形沿翻折，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则，
∴，
∴，
在中，
，
即，
解得：
∴．
（3）解：方法1：如图，连接，
设，，，
则，，
由折叠得，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
由得：，
由得：，
得：，
∵，
∴，
即．
方法2：延长交的延长线于点M，
∵，
∴， ，
∵E为的中点，
∴，
∴
∴，，
设，，
由折叠知，
∴，
∴，
由(1)知，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：（负值舍去），
∴．
24.解：（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x+n中得： 0=﹣3+n，则n=3，
∴y＝﹣x+3，
当x=0时，y=3，∴B（0，3），
将A(3，0)、B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3= y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵点A（3，0）与点C关于直线x=1对称，点M在对称轴上，
∴C（﹣1，0），MC=MA，
∴MC+BM=MA+MB≥AB（当A、M、B共线时取等号），
即BM+CM的最小值为AB的长度，
∵A(0，3)，B(0，3)，
∴OA=3，OB=3，
∴AB= = ，
∴BM+CM的最小值为；
（3）如图，当点P在直线AB的上方时，过点B作BF⊥ED交ED延长线于F，连接BC，
则四边形OBFE是矩形，∴∠OBF=∠BFP=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=3，
∴∠OBA=∠ABF=45°，即∠FBP+∠PBD=45°，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠FBP=∠CBO，
∴△BFP∽△BOC，
∴，
由题意，E(m，0)，D（m，﹣m+3），P(m，﹣m2+2m+3)，F(m，3)，m＞0，
∴BF=m，PF=3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣2m，
∴，
解得：m1=，m2=0（舍去）；
如图，当点P在直线AB的下方时，
∵∠PBD+∠OBP=45°，∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠OBP=∠CBO，
设直线BP交x轴于M，则OM=OC=1，
∵PE⊥x轴，即PE∥y轴，
∴△BOM∽△PEM，
∴即，
解得：m1=5，m2=0（舍去），
综上，当∠PBD+∠CBO＝45°时，m的值为或5．

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