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广东省中山市第一中学（丰山部）2024 2025学年高二下学期第二次统测（4月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．将个和个随机排成一行，共有多少种不同的排法（ ）
A． B． C． D．
2．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量的分布列为，则等于(　　)
A． B． C． D．
4．已知随机变量，若，则分别是（ ）
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
5．已知变量与的一组数据如下表所示，根据数据得到关于的回归方程为.
1 2 3 4
若，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
6．设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）
A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08
7．已知多项式，则（ ）
A．0 B．32 C．16 D．
8．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0 B． C．3 D．或3
二、多选题（本大题共3小题）
9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
10．某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：
单位人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 80 16 96
男 20 84 104
合计 100 100 200
下列说法正确的有（ ）
A．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得
B．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生
C．有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联
D．若该样本中男生身高h(单位：cm)服从正态分布，则该样本中身高在区间内的男生超过30人
附1:（其中)．
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附2:若，则随机变量X取值落在区间上的概率约为
11．已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图像与直线只有一个公共点
D．对任意的
三、填空题（本大题共3小题）
12．袋中有大小、质地相同的4个红球和3个黑球，一次性从袋中取出4个球，取到1个红球得分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量，则 用分数表示
13．现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
14．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.
（参考数据：，，，）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
25 2.89 646 168 422688 48.48 70308
17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.
(1)求该嘉宾获得公益基金元的概率；
(2)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
(3)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
18．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若，求数学期望；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
19．已知函数．
(1)当时，求函数的极值点；
(2)若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法；
若2个0不相邻，则有，则有种排法，所以共有种.
故选C.
2．【答案】D
【详解】的展开式共有项，中间一项的二项式系数最大，为，
展开式的通项为，令可得，
含项为，其系数为，则，
故选．
3．【答案】B
【详解】由，则，解得，
则.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由二项分布的性质得，
由已知随机变量，所以有.
所以，
.
故选B.
5．【答案】B
【详解】由，得，令，则，
由题意
因为满足，所以，解得，所以，
所以，令，解得．
故选B.
6．【答案】C
【详解】依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是，
所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为，
故选C．
7．【答案】B
【详解】设，则，
令，则，
的展开式中一次项为，常数项为1，
的展开式中一次项为，常数项为16，
所以，
所以，
故选B．
8．【答案】D
【详解】因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.
【详解】A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选ABD.
10．【答案】CD
【详解】从高三年级名学生中随机抽取名，得列联表，不是分层抽样而得，A错误；
由列联表，高三学生身高最高的不一定是男生，B错误；
由列联表，，
有的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联，C正确；
若该样本中男生身高(单位：)服从正态分布，则，D正确；
故选CD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为函数在处取得极值，
所以，，解得，故A正确.
即
对于B，因为真数，所以
所以，欲证，只需证
因为，定义域为
所以，令，解得
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，所以，
即，故B错误
对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根，
由上述可得在递减，在递增，
所以，故C正确
对于D，由上述得恒成立，
即恒成立，
所以当时，，即
因为
所以
且
所以，
即证，故D正确
故选:ACD.
12．【答案】
【详解】由题意知，若取出的是4个红球，则得分为4分；
若取出的是3个红球1个黑球，则得分为6分；
若取出的是2个红球2个黑球，则得分为8分；
若取出的是1个红球3个黑球，则得分为10分；
所以，，
所以.
13．【答案】
【详解】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；
③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种；
综上所述：共种.
14．【答案】
【详解】由可得对任意的恒成立，
构造函数，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，
由可得，可得，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，则，故.
因此，实数的取值范围是.
15．【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】
根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,……………………….（3分）
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.………………..…………….（6分）
（2）,……………….………….（9分）
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. ….……….（12分）
16．【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析
(2)；250个
【详解】（1）应该选择模型①.
由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，
回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适
（2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则.
，
所以，
则z关于x的线性回归方程为.
于是有，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为
当时，（个）.
所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个
17．【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，元.
【详解】（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
所以元.
18．【答案】(1)50
(2)（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计，
【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，
即，
得，所以；
（2）（i）“”，
，
所以；
（ii）记，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得最大值，即取得最大值，
在团队提出的函数模型，中，
记函数，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得最大值，则不可以估计，
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计.
19．【答案】(1)极大值点为1，没有极小值点．
(2)
【详解】（1）解：当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为1，没有极小值点．
（2）解：令，
则不等式恒成立，即恒成立，
，
①当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立；
②当时，，
令，因为，得，
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数，
故函数的最大值为；
令，因为在上是减函数，
又因为，所以当时，，所以，
所以整数的最小值为2．

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