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河南省驻马店市部分学校2024 2025学年高二下学期4月质量检测数学试卷（北师大版）
一、单选题（本大题共8小题）
1．某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次
2．在等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，则（）
A． B． C．1 D．
5．现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
6．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知奇函数在上单调递增，且是可导函数，．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．用蓝色和红色给一排10个方格染色，则蓝色使用次数不少于红色且至多两个蓝色相邻的方法种数为（ ）
A．71 B．126 C．171 D．175
二、多选题（本大题共3小题）
9．在研究某个特殊的路口闯红灯与发生交通事故的关系时，同学甲向有关部门申请并分别调取了2024年7月份至2024年12月份该路口行人是否闯红灯以及经过的汽车是否发生交通事故的有关数据，随机抽取了经过该路口的1000个行人是否闯红灯以及1000辆汽车是否发生交通事故的相关数据．同学甲针对自己获得的数据，利用列联表计算出卡方的值，经查表知．同学甲同时发现每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数具有线性相关的关系，并分别求出了相关系数的值以及线性回归方程，则下列说法正确的是（ ）
A．有95%的把握认为“发生交通事故与闯红灯有关”
B．行人如果不闯红灯，该路口就不会发生交通事故
C．越大时，每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数相关程度越高
D．每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数具有正相关关系
10．已知等差数列的前项和为，若，且对于任意正整数都有，则（ ）
A．
B．是公差为的等差数列
C．
D．，
11．已知函数，，，则（ ）
A．当时，有且只有一个零点
B．当时，有两个零点
C．无论为何实数，都存在正数使得
D．当时，与零点个数相同
三、填空题（本大题共3小题）
12．某批产品分别来自甲，乙，丙三条生产线，甲生产线生产的产品占，次品率为；乙生产线生产的产品占，次品率为；丙生产线生产的产品占，次品率为．现从这批产品中随机抽取一件进行检测，则抽到的产品是次品的概率是 ．
13．若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14．若是公比为的等比数列的前项和，且对都成立，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求时，的值域．
16．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立．
(1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）；
(2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差．
参考数据：若，则，，．
17．已知数列的前项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：．
18．稀土不是土，而是一种重要的战略资源和“工业维生素”，以稀土磁性材料为主的永磁电机，是新能源车、风电、工业机器人等领域的核心组成，随着这些高景气度领域需求的持续爆发，带动了稀土需求的高速增长．某企业为了对其开发的稀土进行合理定价，调研了本企业2019年~2024年开发该稀土每千克的成本，得到一组数据，如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5 6
开发成本（元/千克） 91 86 82 73 70
已知是实数，，．
(1)求的值；
(2)经探究知，之间具有线性相关关系，求开发成本（元/千克）关于年份代码的回归直线方程，并预测2026年开发该稀土每千克的成本是多少 （计算时，的值精确到整数位）
(3)表示由（2）中求出的回归直线方程得到的与对应的每千克稀土开发的成本预测值，当其对应的残差的绝对值小于1时，则将已知的开发成本的数据称为一个“有效数据”．现从已经给出的这6组数据中任取3组，求“有效数据”个数的分布列和数学期望．
参考公式：，．
19．已知函数的导函数为．若对于区间上的任意实数都有，且的值不恒为0，则称为区间上的“绝对正函数”，区间称为的“绝对正区间”．
(1)若，判断是否为区间上的“绝对正函数”，并说明你的理由；
(2)已知
（Ⅰ）求时，的“绝对正区间”；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为数列为等比数列，
所以且，，，
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，从而，
解得.
故选C.
4．【答案】B
【详解】的二项展开式中只有第4项的二项式系数最大，
为偶数，且解得，
的二项展开式的通项为
令，解得，
常数项为，解得，
故选．
5．【答案】D
【详解】事件的对立事件为： “两位游客无人人选择九寨沟”，所以，
又，所以.
故选D.
6．【答案】A
【详解】因为，所以当切点满足时，曲线上的点到直线的距离是最短距离，
所以，所以切点为，所以点到直线的距离是，
所以曲线上的点到直线的最短距离是.
故选A.
7．【答案】C
【详解】因为奇函数在上单调递增，所以时，，且，
，所以是偶函数，
时，，所以在单调递增，
，
所以，即.
故选C.
8．【答案】D
【详解】第一类：蓝色5个，红色5个的情况：先排5个红色，出现6个空，
若蓝色互不相邻，有种方法；
若蓝色为，则先从6个空中选1个空，排双蓝，再从剩余5个空总共选3个，
排单蓝，共有种方法；
若蓝色为，则先从6个空中选1个空，排单蓝，再从剩余5个空中选2空，排双蓝，
共有种方法.
这种情况下总方法种数为：种.
第二类：蓝色6个，红色4个的情况：先排4个红色，出现5个空，
若蓝色为，则先从5个空中选1个，排双蓝，再把4个单蓝排到剩余4个空中，
有种排法；
若蓝色为，则先从5个空中选2个，排双蓝，
再从剩余3空中选2个，排单蓝，有种排法；若蓝色为，
则先从5个空中选3个，排双蓝，有.
这种情况下总方法种数为：种.
第三类：蓝色7个，红色3个：先排3个红色，出现4个空，
蓝色必为形式，先从4个空中选1个，排单蓝，
再把3个双蓝排到剩余3空中，有种排法.
蓝色再多就不能有满足条件的排法了.
故满足条件的排法共有：.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】因为卡方的值，同学有95%的把握认为“发生交通事故与闯红灯有关”，A选项正确；
行人如果不闯红灯，该路口就不会发生交通事故，B选项错误；
越大时，每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数相关程度越高，C选项正确；
每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数具有正相关关系，D选项正确；
故选ACD.
10．【答案】ABC
【详解】因为数列为等差数列，，由得数列的前项的和最小，根据等差数列的性质，可得：
数列为递增数列，且，，，.
对A：，故A正确；
对B：因为，所以，所以是公差为的等差数列，故B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：若，则，，则不存在，使得，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】对A：当时，，，
则，
由；由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以有且只有一个零点，故A正确；
对B：当时，，所以，
由；由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，因为，所以，且当和时，，
所以函数有两个零点，故B正确；
对C：当时，，，设，则，
因为，所以，
即在上单调递增，且，所以在上无零点.
所以时，不存在正数使得，故C错误；
对D：当时，由；
由.
设，.
因为，由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.且.
因为，由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.且.
作出函数，的图形如下：
可知：当时，与零点个数相同，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，来自丙生产线为事件，抽到的产品为次品时事件，
则，，，
，，.
所以.
13．【答案】
【详解】因为，所以.
由或.
所以函数的单调减区间为和.
又函数在上单调递减，
所以或.
解得：.
14．【答案】
【详解】由题意可知，，
当时，，成立
当时，，
当时，，，，则恒成立，
当时，，，，则恒成立，
当时，，，，则恒成立，
当时，当为偶数时，，则，不满足条件，
当时，当为偶数时，，，则，不满足条件.
所以的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），，
当，得或（舍），
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，，
，所以函数的值域是.
16．【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）.
因为，
所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7.
（2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：，
由题意，，所以.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，当时，用代替得：
，
两式相减得：.
所以.
又时，，上式也成立.
所以数列的通项公式为.
（2）由题意：，
所以，
因为，所以，
且.
所以.
18．【答案】(1)
(2)，预测2026年开发该稀土每千克的成本是元.
(3)分布列见解析，期望是2
【详解】（1）由条件可知，，
得；
（2），，，
，，
所以，
2026年是，此时.
所以预测2026年开发该稀土每千克的成本是元.
（3），，，，，，
这6个数据中，有4个是“有效数据”，
，
，，，
随机变量的分布列，
1 2 3
.
19．【答案】(1)不是；答案见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）不是，
理由如下：
，，
，
因为，
由正弦函数的值域可得不恒大于等于零，
所以不为区间上的“绝对正函数”
（2）（i）时，，，
由题意可得在恒成立，
等价于恒成立.
设，则，解得或，
即或，
所以的“绝对正区间”为.
（ii）若对恒成立，即对恒成立，
因为定义域为，所以等价于恒成立.
令，则，
当时，易得恒成立，即在为递增函数，
所以，解得；
当时，令，
所以当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以，
令，则，
当时，，为减函数，
所以，所以当时不成立，
综上，若对恒成立，的取值范围为.

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