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天津市武清区河西务中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．甲 乙两人从3门课程中各选修1门，则甲 乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．3种 D．9种
3．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．函数，，下列关于的说法中正确的是（ ）
A．为极小值，为极小值
B．为极大值，为极小值
C．为极小值，为极大值
D．为极大值，为极大值
8．7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为（ ）
A．20 B．40 C．8 D．16
9．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知函数，则 .
11．已知函数在处有极值为10，则等于 ．
12．在的二项式展开式中，项的系数是 .
13．由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为 .
14．若函数恰有两个零点，则的取值范围是
15．已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
18．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，
（ⅰ）求函数的单调区间；
（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
19．已知函数，．
(1)若在点处取得极值．
①求的值；
②证明：；
(2)求的单调区间．
20．已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.
(1)求的值；
(2)证明：当时，；
(3)若对任意两个正实数，且，有，求证：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】选项A. ,故选项A不正确.
选项B. ,故选项B不正确.
选项C. ,故选项C不正确.
选项D. ,故选项D正确.
故选D.
2．【答案】A
【详解】甲 乙两人从3门课程中各选修1门，
由乘法原理可得甲 乙所选的课程不相同的选法有（种）.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由题可知从5名男生中挑选3人有 种方法，4名女生中挑选2人有种方法，
所以不同的挑选方法共有种.
故选A.
4．【答案】D
【详解】按分步计数原理，12名乘客下车的不同方法种数有：种.
故选D.
5．【答案】B
【详解】因为，
又，则，所以，则，
故选B.
6．【答案】C
【详解】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选C．
7．【答案】C
【详解】因为，，所以，
令即，可得或，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
故选C.
8．【答案】A
【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边，
共有种站法.
故选A.
9．【答案】A
【详解】由题意可得：，
令，可得，
原题意等价于在上恒成立，
因为开口向下，对称轴，
可得在上单调递减，
当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
故选A.
10．【答案】2
【详解】由题意，所以．
11．【答案】18
【详解】试题分析： ，依题意， 解得或，当时，，，所以在上单调递增，此时在处并没有取得极值，不符合要求，舍去；当时，，，所以时，，当时，，所以函数在处取得极小值10，符合要求，此时.
12．【答案】
【详解】展开式的通项为，
令，则，
所以项的系数为.
13．【答案】18
【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法，
然后十位和个位各有3种选法，
故组成的三位数（允许数字重复)的个数为.
14．【答案】
【详解】函数的定义域为，，
因为，所以若，则，
根据零点存在定理，在上至多只有一个零点，
故，令，得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以存在极小值，也是最小值，
因为，所以当时，；当时，，
若函数在上恰有两个零点，则，
即，所以的取值范围是.
15．【答案】
【详解】由题设，则在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，
由，则在、上，在上，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
而，
要使对，，使成立，
所以，只需在上，则，可得.
16．【答案】(1)
(2)的单调递增区间是和；单调递减区间是
【详解】（1）由题意得：，
所以(1)，(1)，
故曲线在点，(1)处的切线方程，即；
（2），
令，易得或，令，易得，
所以函数在和上递增，在上递减，
即的单调递增区间是和；单调递减区间是.
17．【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
18．【答案】(1)；
(2)(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)．
【详解】（1）对，求导得，当时，，
又切点为切线方程为，即；
（2）依题意得，
(i)，
由，可得或，
由，可得．
函数的单调递增区间为和；单调递减区间为.
(ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表：
1 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为，
若方程有3个不同的实数根，则，
解得．
19．【答案】(1)①1；②证明见解析；
(2)答案见解析.
【详解】（1）①由于函数，得，
因为在点处取得极值，
所以,所以，
经检验的导函数在区间上小于，在区间上大于，
故在点处取得极小值．
②由①得，，．
令，解得．
当x变化时，，的变化情况如表所示．
x 1
－ 0 ＋
单调递减 1 单调递增
所以，当时，取得最小值．
所以，即．
（2）函数的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
20．【答案】(1)2；
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【详解】（1）由，可知，
因为在处的切线斜率为3，
所以，
所以；
（2）证明：由（1）可知，,
不妨设，则，
令，因为，
所以，
所以在上单调递增，，故，
所以在上单调递增，，
所以；
（3）由（1）可知，,
不妨设，令，
由即可得，即，
即，则，
所以，
要证，
设，则，
则在上单调递减，，故成立.
【方法总结】关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明．

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