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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点
四边形中的证明与计算综合训练
1．在四边形中，对角线相交于点，E，F，G，H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是菱形．
2．如图，和都是等腰直角三角形，是线段上一点，连接，过点作，交射线于点．
(1)如图1，若点在线段上，连接，证明：；
(2)若，，求的值；
(3)如图3，若点在线段上，，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，请按题意画出图形，探索当时，的值是多少？
3．如图，矩形中，，，点、是对角线上的两个点，，连接、．
(1)求证：；
(2)如图，点与关于对称，点与关于对称，连接、、、，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
4．在正方形中，点E是边所在直线上的任意一点，连接，把线段绕着点E顺时针旋转90°得线段（即，），连接．

(1)如图1，当点E在线段上时，求线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若，，请直接写出的长度为________．
5．如图，在正方形中，点E是边上的动点，连接，作于点F，在边上取点G，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知，点E在运动过程中，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
6．如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点与的延长线交于点F，且．
(1)如图1，当时，与的数量关系为____________.
(2)如图2，连接与相交于点G，求证：．
(3)如图3，当时，其他条件不变，请完成如下问题：
①的位置关系为____________；
②若，求的长．
7．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积．
8．在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到．
(1)如图 1，若，，求的度数；
(2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
(3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：．
9．已知点是矩形的边上一点，连接，将矩形沿翻折，使点，分别落在，处．
(1)如图1，连接，为的中点，，求证：；
(2)如图2，点，，共线，，的延长线相交于点，连接，
①若，求的值；
②点，分别是，延长线上的点，，连接，，若，求证：平分．
10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长度．
11．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿折线向点C运动，连接，将绕点D顺时针旋转得到，旋转角等于，作于F，设点P运动的路程为．
(1)的长为______；按角分，的形状是_____；
(2)当点P在边上时．
①求证：；
②当点E落在上时，求x的值；
(3)当点P经过的平分线时，求的长；
(4)已知是的中线，若线段与中线有交点，直接写出x的取值范围．
12．如图1，点P是对角线上的一点，且使得，连接并延长，交于点E．
(1)若，求的值．
(2)如图2，将沿方向平移到，求证：．
(3)如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
13．如图，矩形的对角线相交于点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求证：；
(3)若，则菱形的面积为_________．
14．【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点处．求证：．
【数学理解】
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图2，在（1）的条件下，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．
15．已知正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于M，N．
(1)当绕点A旋转到时（如图1所示），并将逆时针旋转，得到，求证；
(2)当绕点A旋转到时（如图2所示），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
(3)当绕点A旋转到（如图3所示）的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点四边形中的证明与计算综合训练》参考答案
1．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟知菱形和平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理可得，则可证明，据此可证明结论；
（2）同理可得，则可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）解：∵E，F，G，H分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：同理可得，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
2．(1)见解析
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1）先证明四边形是正方形，证明，可得，进而证明得出，根据等角对等边可得；
（2）过点作于点，连接，证明是等腰直角三角形，在，中，分求得，即可求解．
（3）连接，根据题意得出在上，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，连接，根据折叠得出，，证明，进而可得，进而勾股定理分别求得线段的长，得出，根据折叠的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∵
∴
∴，
∴
又∵，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）如图，过点作于点，连接，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
在中，，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴在上，
过点，分别作的垂线，垂足分别为，，连接，
∵将沿翻折，得到，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
设，
∴
又∵
∴
设
∴，
∴
∴
在中，
∴
在中，
∵
∴
在中，
在中，
在中，，则，
在中，
∵在正方形对角线上，
∴到的距离相等，设为，设到的距离为
∴
∴，
在中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
3．(1)见解析；
(2)四边形是菱形，见解析．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．
根据矩形的性质可知：，，根据可证，根据全等三角形的性质可证结论成立；
根据矩形的性质可知，根据对称的性质可知，，，，由知，根据全等三角形的性质可知，根据内错角相等，两直线平行可证，可证四边形是平行四边形，根据可证四边形是菱形．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
连接交于，
四边形是矩形，
，
，
点与关于对称，点与关于对称，
，，，，
由知，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
4．(1)，见解析
(2)，见解析
(3)或
【分析】本题考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、垂直定义等知识，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明，再结合勾股定理即可得出结论；
（2）同理（1）即可得出结论；
（3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作延长线于点，

由旋转得，，
∴，
又∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴. ，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，

由旋转得，，
∴，
又∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴. ，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如解图3-1，当在线段延长线上时，过点作延长线于点，

同理（1）得：，，
∴，、
∴在中，
如解图3-1，当在线段反向延长线上时，过点作延长线于点，

同理（1）得：，，
∴，、
∴在中，
综上所述：的长为或
5．(1)见解析
(2)见解析
(3)为定值2
【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
（1）根据正方形的性质和等角的余角相等求解即可；
（2）先根据正方形的性质和等角的余角相等得到，再利用余弦定义得到，进而得，利用相似三角形的判定可得结论；
（3）解法一：作于点M，于点N．先证明得到．再利用相似三角形高之比等于相似比得到，进而利用三角形的面积公式和勾股定理可得结论；
解法二：作于点M，于点N．设，，．先证明四边形是矩形得到，，再利用正切定义推导出，进而利用三角形的面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
∵，
∴．
（3）解：为定值．
解法一：作于点M，于点N．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
解法二：作于点M，于点N．
设，，．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，则，
∴．
6．(1)
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据题意和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）可得，从而可得，求解即可；
（2）根据角平分线性质和矩形性质，可知，从而得知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而可证，得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得结论；
（3）①利用角相等的关系，证明，从而得到结论；
②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，得到，再利用线段关系，求出的长度．
【详解】（1）解：（1）
是矩形
又
∴
∴
∴
（2）证明：是的平分线
在中
∴
在中，
即
四边形是矩形
在中
又
（3）①证明：
同（2）可得，
，即
②解：
在中，
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．解题的关键是熟知相关性质定理并灵活运用．
7．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案；
（2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论；
（3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，
∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为线段中点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
过作于，而，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
即．
（3）解：如图，由（2）同理可得：，，
∵点M关于点E的对称点N，
∴，
∴，
延长至，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即的长，
此时三点重合，如图，记的交点为，
∵此时，，
∴，
过作于，过作于，
∵，
结合（2）可得：
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．(1)
(2)菱形，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】对于（1），根据旋转的性质得，，可得，再根据周角可知，进而得，即，可得答案；
对于（2），先根据外心的性质得点P是三边垂直平分线的交点，即可，再根据旋转的性质得，然后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案；
对于（3），延长至E，使，连接，根据旋转可得，根据“边角边”证明，可得，然后说明，接下来根据“边角边”证明，可得答案．
【详解】（1）解：由旋转的性质得，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
则，
即，
∴；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵点P是的外心，
∴点P是三边垂直平分线的交点，
∴．
由旋转得，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）证明：延长至E，使，连接，
根据旋转可得．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，三角形的外心的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)①，②见解析
【分析】（1）根据折叠证明为等边三角形，则，那么，在矩形中，，得到，然后证明为等边三角形即可；
（2）①先证明，则，可得点，，在同一条直线上，然后由平行得到，则；
②过点作于点，先证明，则，，．再证明，则，，最后证明即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
由翻折可知，，，，，
为的中点，，
，
，
∴为等边三角形，
，
．
在矩形中，，
，
，
，
为等边三角形，
．
（2）①解：∵矩形，
∴，，，
由翻折可知，，，，
，
，
，
，
，
点，，在同一条直线上，
，
．
，
∴，
；
②证明：过点作于点，
，
，
，，
，
，，．
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的综合问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到，进而求得，，由勾股定理可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，
∴且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
11．(1)；直角三角形
(2)①见解析；②
(3)
(4)
【分析】（1）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理逆定理可得到，即可得出结论；
（2）①根据题意可得，，进而得到，可证明，根据全等三角形的性质即可证明；②由，，可得，推出，求出，根据即可求解；
（3）如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点N，根据角平分线的性质证明，推出，，设，则，利用勾股定理求出，再利用正切的性质得到，设，则，利用勾股定理求出，，证明四边形是矩形，求出，由旋转的性质得，，证明，即可推出；
（4）分为：点在上时，点在上时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：，，，
，
，，
，
，
是直角三角形；
（2）① 证明：由题意，得，，
，
即，
又，
在和中，
，
，
；
②，，
，
若点在上，则，
，
而，，，
，
，
，
即；
（3）解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点N，
∵点P在的平分线上，，
∴，，，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，即，
∵，
，
；
（4）解：如图1，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由（2）知，
∴，
点在上时，，，
，
又，
，
∴，
，
∴，
此时，；
如图2，过点作于点，过点作于点．
点在上时，，
根据题意可得：，，
，即，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，即，
，，
，
，
，
，
，
解得:，
此时，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质，三角函数值等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
12．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出，再证明，得到，则，据此可得到答案；
（2）连接，交于点O，证明垂直平分，则，由三线合一定理即可证明．
（3）取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，设，则，则，，，证明，得到．证明四边形CDPQ是平行四边形，得到，再证明，得到，则，即可得到．
【详解】（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出答案；
（2）由（1）可得，再根据矩形的性质可证，进而得到，结合，可证，即可得出结论；
（3）连接交于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出，，再根据四边形是菱形，证明是的中位线，求出，进而求出，最后由菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：由（1）知四边形是菱形；
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点F，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∵四边形是菱形；
∴垂直平分，即点F是的中点，
∵四边形是矩形，
∴，即点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键．
14．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据折叠可得，，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证；
（2）连接，，则在以为直径，为圆心的圆上运动，当在上时， 的值最小．勾股定理求得的长，即可求解；
（3）过点作于点，勾股定理求得，根据，则，设，则，，根据得出，即可得出，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，，
∵，
∴在以为直径，为圆心的圆上运动，
∴当在上时， 的值最小．
∵，，
∴，则，
∴的最小值为；
（3）在矩形中，，，
∴四边形是正方形，
如图，过点作于点，
∵是正方形的对角线，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则，
∵，
由（2）可得是的直径，在上，则，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，则．
∴．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的折叠问题，圆周角定理的推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和与差等，在（1）中证得是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．
（1）先证明三点共线，根据证明，则，可得出结论；
（2）如图2，在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论；
（3）如图3，在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：猜想：，理由如下：
如图2，在的延长线上，截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
又，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图3，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．

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