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2025年九年级数学中考复习
三角函数综合考前冲刺训练
1．我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，，
2．如图1，图2，中，，，，绕点逆时针旋转得到．
(1)如图1，当时，与交点为，求证：；
(2)尺规作图：请在备用图中作出点落在斜边上时的，并求出长；
(3)如图2，点为的中点，若点落在射线上，延长线交于，求的长；
(4)若是以为直角边的直角三角形，请直接写出长．
3．如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
4．如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
5．如图，四边形内接于圆，连接并延长交于点，延长，交于点，连接，，交于点．已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)求的值．
6．如图，在中，，，，D为边的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与点C重合时，连结，以，为边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒．
(1)C、D两点之间的距离为_____；
(2)当点E落在边上时，求的周长；
(3)当点P 在边上运动时，若四边形是轴对称图形，求t的值；
(4)设 的对角线的交点为O，点D关于对角线的对称点为，连结，时，直接写出t的值．
7．如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设．
(1)当的面积为8时，求的值．
(2)当时，求线段的长．
(3)当点落在四边形的边上时，求的值．
(4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值．
8．如图，点是的边上的点，，点是上的点，与边，分别相交于点，，点在边上且.
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求的长.
9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作交x轴于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)点D为线段的中点，点E为线段的延长线上一点，连接，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过点B作，垂足为点F，点G为线段的中点，连接，且．过点E作交x轴于点H，点M在线段上，连接，过点作交x轴于点P，连接，若；求点M的坐标．
10．如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点．若，求证：．
(3)如图3，已知，．若，，求的长．
11．如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．在中，，正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合）．连接．
(1)如图1，若点为中点，且顶点在的延长线上时，求证：；
(2)如图2，若顶点不是中点，且顶点在边上时，确定线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，正方形绕点旋转，当时，直接写出的长是______．
13．如图，在平行四边形中，为中点，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连结，过点作，且，连结，点和点始终在直线的同侧．设运动的时间为秒．
(1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(2)当点落在边上时，求的值．
(3)连结，当与平行四边形的边平行时，直接写出的值．
14．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明；
(3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值．
15．综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．

【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________
【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度．
《2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练》参考答案
1．点B，C之间的距离为海里
【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
作于点D，根据题意可得，，然后在中，可得，最后在中，根据三角函数即可求解；
【详解】作于点D，如图：
，
由题意知，，，
在中，，，
∴（海里），
在中，，
，
∴（海里），
答：点，之间的距离为海里；
2．(1)见解析
(2)见解析，
(3)
(4)或6
【分析】（1）根据旋转的性质，得，结合，得到，于是得到即可证明；
（2）如图，以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E，分别以点E为圆心，点B为圆心，以，为半径画弧，二弧交于点D，连接，则即为所求，过点C作于点F，利用等积法，勾股定理解答即可；
（3）先证明，求得，，过点G作于点N，设，则，再根据勾股定理得到，求得，，，结合，得证，列式，解答即可．
（4）当时，过点A作，交的延长线于点P，交于点O，交于点M，证明， ，得到，根据，得到，得到；当时，根据旋转的性质，得，过点B作于点Q，交于点R，则，证明，得到，利用勾股定理，三角形相似可求得，得到．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质，得,
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E，分别以点E为圆心，点B为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点D，连接，
则即为所求，
过点C作于点F，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵点为的中点，，
∴，
∴，
根据旋转的性质，得
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
过点G作于点N，设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
．
（4）解：如图，当时，
过点A作，交的延长线于点P，交于点O，交于点M，
根据旋转的性质，得，，
故，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，根据旋转的性质，得，
过点B作于点Q，交于点R，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
；
综上所述，的长为或6．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接．证明即可证明是的切线；
（2）根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明；
（3）根据解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
．
，．
，
，
，即，
，
又点在上，
是的切线．
（2）证明：，
，
．
由（1）知，，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知，，
．
在中，，的半径为2，即，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识．
（1）由等腰三角形的性质证出，由平行线的判定可得出结论；
（2）连接，交于，由勾股定理求出，由垂径定理求出，得出，证出，得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：连接，交于，
为的直径，
，
在中，，，
，
，，
，
，
在中， ，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，证明，得到，结合可得，由可推出，由可得，可推出，即可证明；
（2）延长交圆于点，连接，由，，可得，得到，由可设，则，得到，，在中，根据勾股定理列方程求出，进而可求出，再根据等面积法求出，利用勾股定理和三角函数求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据勾股定理、三角函数和相似三角形的性质求出、的值，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图，延长交圆于点，连接，
，，
，
由（1）知，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
在中，，即，
解得：或（舍去），
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）由（2）知，，
设，则，，
在中，，
，
，，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关知识．
6．(1)
(2)
(3)的值为或
(4)的值为或
【分析】（1）连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求解，即可解题；
（2）根据点E落在边上，四边形为平行四边形，证明，利用勾股定理得到，再利用相似三角形性质得到，，即可得到的周长；
（3）根据当点P 在边上运动时，若四边形是轴对称图形，分以下两种情况讨论①四边形是菱形，②四边形是矩形，根据，结合菱形的性质，勾股定理，矩形的性质建立等式求解，即可解题；
（4）连接，利用直角三角形性质得到，根据，得到垂直平分，平分，，分情况讨论①在上时，由题知，，②在上时，由题知，，根据以上两种情况画出草图，构造等腰直角三角形，结合等腰三角形性质以及锐角三角函数，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：连接，
，，D为边的中点，
，
故答案为：．
（2）解：点E落在边上，四边形为平行四边形，
，
，
，
，，，
，
，
，，
平行四边形的周长为；
（3）解：点P 在边上运动时，四边形是轴对称图形，
①四边形是菱形，
延长交于点，作于点，如下图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
由题知，，
四边形是菱形，
，
由（2）同理可知，，，
，，
，
，
解得；
②四边形是矩形，
由（2）同理可知，，，
，
，
解得；
综上所述，点P 在边上运动，四边形是轴对称图形，的值为或；
（4）解：连接，
的对角线的交点为O，
为的中点，
，
，
垂直平分，
点D关于对角线的对称点为，
平分，
，
①在上时，
由题知，，
，
连接，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
同理可得，
，
，
解得；
②在上时，
由题知，，
连接，过点作于点，
由①同理可知，，
，
，
，
，，
，，
，，
解得，，
，
，
解得，
综上所述，的值为或；
【点睛】本题考查了直角三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，平行四边形性质，矩形性质，菱形性质，轴对称性质，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
7．(1)或
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题；
（2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得；
（3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题；
（4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题．
【详解】（1）解：，
，
，
，
的面积为8，
，
整理得，
解得或；
（2）解：记延长线交于点，
由对称性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，经检验是该方程的解，
，，
，
，
，
解得，
；
（3）解：①当在上时，
四边形为平行四边形，
，，
，
由对称性质可知，，，
，
，
，
，
解得，
，，
；
②当在上时，
四边形为平行四边形，
，
∴，
由对称性质可知，，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，解得：，
，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，或；
（4）解：或，理由如下：
的面积是四边形面积的，
四边形为平行四边形，
的面积是面积的，
直线与四边形的一条边交于点，
①当在上时，为的中点，为的中线，
四边形为平行四边形，
，
，
与（3）中①的情况一致，
故；
②当在上时，为的中点，为的中线，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，即或（舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线，圆周角定理，三角函数，解题的关键是掌握圆的相关性质．
（1）连接，，由，可推出，根据，得到，推出，结合，即可求解；
（2）根据题意可求出，设的半径为，则，在中，，求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）在，，，，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
．
9．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，利用全等及三角函数值得到点的坐标是解决本题第三问的关键，合理构造并使用能解决问题的全等三角形是解决本题的难点．
（1）取代入一次函数解析式可得点的坐标，取代入一次函数解析式可得点的坐标，易证那么，计算可得的长度，即可判断点的坐标；
（2）用含的式子表示出点的坐标，利用勾股定理得到到的长，的长度，根据点是的中点即可得到的长，即可判断出的面积；
（3）点在线段上，判断出点和点的坐标，得到线段的解析式，经过推理可得点的横纵坐标相等，代入的解析式可得点的坐标．
【详解】（1）解：如图，
当时，，
，
当时，，
，
在中，，
，
，
又，
在中，，
，
．
（2）解：如图，过点E作轴于点K，
点E的横坐标为t，且点E在直线上，
，
，，
在中，，
在中，，
点D为线段的中点，
，
．
（3）解：如图，过点C作交的延长线于点L，过点E作轴于点Q，
，，，
，
，，
又，
，
，
，即，
点G为线段的中点，
，
令，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
点M在线段上，
设，
令与y轴的交点为W，过点O分别作于点R，交的延长线于点T，过点M分别作轴于点Z，连接，
令，则，，
，
，，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用全等三角形的判定证明得到，再推理出得到，根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）利用相似三角形的判定方法证出，得到后转化为，再利用三角形面积的比值关系推导出即可；
（3）过点作于，设，，利用三角函数的比值关系用含的式子表达出的长即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，，
∴（SSS），
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴为的平分线，
∴点到，的距离相等，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，
∵由（1），
∴，
∵，
∴设，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数解直角三角形等知识点，合理作出辅助线和利用好边的比值关系是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，证明即可得到；
（2）根据，，求得，利用勾股定理计算，继而求得，结合,求的长即可．
【详解】（1）连接，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握切线性质，勾股定理，三角函数的活用是解题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明，得到，再利用等腰直角三角形三边关系即可得到本题答案；
（2）过点作，过点作，证明，利用等腰直角三角形三边关系即可得出答案；
（3）根据题意利用正方形和等腰三角形性质证明出，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：连接，
∵，正方形的顶在边上，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：点作，过点作，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合），当时，
过点作，，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，，
∴，
∴，，
故,
∴,
∴是等腰直角三角形，
设：，
∴，
在中应用勾股定理，
，
，解得：，
∴在中应用勾股定理，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，等腰直角三角形三边关系，勾股定理．
13．(1)
(2)
(3)，，8
【分析】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，锐角三角函数的意义，勾股定理以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．
（1）根据点P的运动路线分点P在上和在上，两种情况分别用含t的代数式表示出的长即可；
（2）根据的正切值在直角三角形中构建边角关系得到关于t的等式即可求出t值；
（3）分点Q在上，点Q在延长线上和点Q在延长线上三种情况进行讨论分别求出t值即可．
【详解】（1），M是中点，
，
点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t，
当点P在上运动时，PM =t，
，
当点P在上运动时，
，
综上
（2）
如图，当Q在边上时
在中，，
，
，
（3）由题意可知，当点Q在直线或直线上时，与平行四边形的边平行，分三种情况∶
①当点Q在线段上时，
由（2）可得;
②当点Q在延长线上时，如图
过A作于N，
，，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：
③当点Q在延长线上时，如图
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：
综上所述，当AQ与平行四边形ABCD的边平行时，t的值为2或或8
14．(1)
(2)
(3)的最小值为
【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出．
（2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则．
（3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：作交于，如图1：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
作交于，如图2，
在和中，
，
∴
∴，，，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，
∵关于直线对称，
∴，
∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
，
∵
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键．
15．（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）利用证明即可．
（2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，利用证明即可．
（3）过点Q作，证明计算即可．
（4）根据（1）得到，，利用三角函数求得得长度即可．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，交于点P．
∵正方形，，
∴，，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴．
∵边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，
∴,
∴．
故答案为：．
(3)过点Q作，证明
∵矩形，，
∴，，矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

∵，
∴,
故答案为：．
(4) ∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．

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