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2025年九年级数学中考二轮复习
利用二次函数求面积最值问题专题提升训练
1．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；
(3)在抛物线上是否存在点P，满足
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值；
(3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值．
3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线上第四象限中的点，过点作轴，垂足为，延长至点，且，求五边形的面积的最大值；
(3)如图，作，且与抛物线交于点，连接，点为延长线上点，且，若点为直线上动点，求最小值．
5．如图1，顶点为的抛物线交轴于，两点，其坐标分别为，，交轴的正半轴于点，是线段上异于，的一个动点，为上一点．

(1)求该抛物线的表达式并写出点的坐标．
(2)当时，求面积的最大值．
(3)如图2，的延长线交于点，若，记，，求的最小值．
6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，抛物线有最小值5，求a的值；
(3)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接、，求的面积S的最大值．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．
(3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．
8．如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标．
9．如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点P是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值．
10．如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接BC．
(1)直接写出：_________，_________；
(2)如图，连接、、，与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
11．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的交点为，其对称轴是直线，点是抛物线上第一象限内的点，过点作轴，垂足为，交于点，且点的横坐标为．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，连接，，，当时，求点坐标；
(3)如图2，连接，，设交于点，的面积为，的面积为，求的最大值；
(4)如图3，在（3）的条件下，连接，将右侧的抛物线沿翻折，交轴于点，请直接写出点的坐标．
13．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
14．如图甲，抛物线的对称轴为 ，与轴交于 两点，与轴交于点 ， 已知：，点 是第四象限抛物线上一动点， 于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的最大值；
(3)如图乙，点 在 轴上，且 ，连接交于点 ，记 的面积为， 的面积为，当的值最大时，求点 的坐标．
15．如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接、，求四边形面积最大值．
《2025年九年级数学中考二轮复习利用二次函数求面积最值问题专题提升训练》参考答案
1．(1)
(2)当时，函数有最大值为4
(3)存在，点P的坐标是：、、
【分析】（1）把点A和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）把把变形得，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据三角形的面积公式求出点P到的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为；
（2）解：把变形得
当时，函数有最大值，最大值为4；
（3）解：点A的坐标为，
，
设点P到x轴的距离为h，
则，
解得，
当点P在x轴上方时，，
解得，
点P的坐标为，
当点P在x轴下方时，，
解得，，
点P的坐标为或
综上所述，点P的坐标是：、、．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2．(1)
(2)10
(3)最大值为，此时点的坐标为
【分析】（1）：将，分别代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．证明四边形是正方形．则点O关于直线的对称点坐标为．连接，由是的垂直平分线得到，则（当点位于直线与直线交点时取等号），即可得到的最小值为．
（3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．得到．设点，则，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将，分别代入，得方程组
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）当时，，即，则，
作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．
∵，，
∴平分，
∴垂直平分．
又∵垂直平分，且，
∴四边形是正方形．
∴点O关于直线的对称点坐标为．
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴（当点位于直线与直线交点时取等号），
∴的最小值为．
（3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．

∵，
∴（同底等高），
∴．
设点，
则，
，
．
∴，
即：
∴当时，有最大值，此时点的坐标为，
综上，最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．(1)
(2)
(3)4；
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2） 根据A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，利用直线解析式与对称轴交点坐标计算即可．
（3）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，线段和最小，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线，
∴对称轴为直线，
设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：
解得，
直线的解析式为：，
∵A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，此时取得最小值，
当时，
，
故．
（3）如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，，
∴
，由此可得，
当，最大为4，
当时，，
∴．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】把，，代入，求出，，的值即可求出抛物线的解析式；
求出直线和直线的解析式，设点，则，，根据表示五边形的面积，通过二次函数的增减性求出面积的最值；
有题意得，从而证明∽，∽，得到直线的解析式为直线，根据轴对称得到的最小值．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入，
得，则，
即直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
把代入，得直线的解析式为，
设点，则，，
点为抛物线上第四象限中的点，
，，
，
整理得，
当，五边形的面积取最大值，最大值为；
（3）解：联立，解得点的坐标，舍去，，
点的坐标为，
延长交轴于点，与交于点，
，，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
轴，
直线的解析式为直线，
作点关于直线的对称点，
当点为和直线的交点时，的值最小，且最小值即为线段的长度，
，，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用二次函数解决面积最值问题，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等．
5．(1)表达式为，点坐标为
(2)4
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，．如图1，过点作于点，则，先证明，，都是等腰直角三角形，可得，．再证明是等腰直角三角形，得到，则，即可推出，由二次函数的性质即可得到答案；
（3）如图2，过点作于点，设，则，，则，证明，得到，即可证明，则，即可推出，进一步得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线上，两点坐标分别为，，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为，
∴点坐标为．
（2）解：设，则，．
如图1，过点作于点，则．

∵，
∴，，都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，能取得最大值，最大值是4．
（3）解：如图2，过点作于点，

设，则，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴时，最小，
∴当，即时，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，求二次函数解析式等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
6．(1)；
(2)或6；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）令，求得或，再根据二次函数的性质，得到或时，抛物线有最小值5，据此即可求出a的值；
（3）连接，设点，根据，得到关于的二次函数，再利用二次函数的性质求出最值即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：，
令，则，
解得：或，
当或时，抛物线有最小值5，
当时，抛物线有最小值5，
或，
解得：或；
（3）解：连接，
,
令，则，
，
，
点B的坐标为，
，
设点，
，
，
点P是第四象限内抛物线上一动点，
，
当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．(1)抛物线的解析式为：
(2)，C的最小值为
(3)最大值为
【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；
（3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴，
将、的坐标代入
得：
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由，
令，即，
解得：，
∴，
∴，
∴
作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当时，的最小值为；
（3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于，
设直线解析式为：，
由(1)得：，
将， 分别代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
，故的横坐标，代入，得：，
，
，
设，则，
，
轴于点，轴，
，
，
，
将、分别看作、为底边，则它们的高相同，
，
，
时，有最大值，最大值为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值．
8．(1)
(2)当时，二次函数的最大值为4，最小值为
(3)面积的最大值为，此时点P坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可；
（3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案．
【详解】（1）解：把点，点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：的对称轴为直线，
∵，
∴当时，函数取最大值，
∵，
∴当时，函数取最小值，
∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为．
（3）解：把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质．
9．(1)，抛物线顶点坐标为
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形面积的综合，掌握二次函数图象的性质，几何图形面积与二次函数最值的计算方法是解题的关键．
（1）把点代入抛物线，根据对称轴直线，运用待定系数法即可求解抛物线解析式，再把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）把点代入抛物线解析式可得，再令时得到抛物线与轴的两个交点，由，结合图形即可求解；
（3）过点P作轴交于点F，与直线交于点E，设P坐标为，根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，可解出直线的解析式为，则，所以有，由，得到，结合二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：由条件可知：，
解得，
二次函数的解析式为：，
把一般式化为顶点式得：，
抛物线顶点坐标为．
（2）解：过点P作轴交于点F，与直线交于点E，
在二次函数中，
令，则，
∴，
令，则，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设P坐标为，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，最大值是．
10．(1)，；
(2)的最大值为．
【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，相似的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）把，代入抛物线即可求解；
（2）根据题意计算出直线的解析式，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解；
【详解】（1）解：抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，
把，代入得：
，
解得：，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可得抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：，，
∴点，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线所在直线的解析式为：，
如图，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，
∴当时，
，
，则，
∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
设，且，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，
，
，
即
，，
，
∴当时，有最大值，最大值为．
11．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值；
（3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），
，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交直线于点，
点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：存在，
当点在点左侧时，是钝角，
当点在点，点之间时，点与点关于直线对称，
点的坐标为，
当点在点右侧时，
如图，过点作直线，
令，则，
解得或，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点在点右侧，
点的横坐标大于，
舍去，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)当时，有最大值，最大值是；
(4)
【分析】（1）将代入求出，再由求出b，即可求解析式；
（2）设P点坐标为，D点坐标为，分别求出和的长，根据列方程计算即可；
（3）过点A作x轴的垂线交于点G，证明，再根据计算即可；
（4）根据翻折后是对称轴，如图，设点M关于的对称点为，连接，交于点R，交x轴于点N，则R是的中点，且，证明，设点，可得，设直线的解析式为：，求解直线的解析式为：，可得，，结合点在抛物线上，再建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将代入可得：，
∵对称轴是直线，
∴，即，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数解析式为；
当，则，，
∴，，
∵，
设为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，，
∵P的横坐标为a，轴，
∴P点坐标为，D点坐标为，
∴，
∵平行于x轴，
∴C、E关于对称轴对称，且，
∴E点坐标为，
∴，
∵，
∴，解得，
当是P与E重合，舍去，
∴，
∴；
（3）解：过点A作x轴的垂线交于点G，
∵直线的解析式为：，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值是；
（4）解：当时，，
设直线的解析式为：，
把，，
代入可得：，解得，
∴直线的解析式为：，
如图，设点M关于的对称点为，连接，交于点R，交x轴于点N，则R是的中点，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，
∴，解得，
设直线的解析式为：，
将，代入可得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令，解得，
∴，
∴，
∵，且R是的中点，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，一元二次方程的解法，本题的难度很大，解题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程．
13．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为；
（3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
把，，代入函数解析式得，
解得，
；
（2）解：，，
设直线的解析式为，把代入，得，
，
设，则，，
，，，
，，
，
当时，的最大值为；
（3）解：令，解得：，，
，
，点为的中点，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，，
，
，
取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：

则，，
设的解析式为，
，解得，
，
联立，解得（舍去）或，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
14．(1)抛物线解析式为
(2)当时， 有最大值，最大值为
(3)点 的坐标为
【分析】（1）根据题意得到，则，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得，则，，直线的解析式为，如图所示，点是第四象限抛物线上一动点，于点，过点作轴于点，交于点，设，则，，，，则，由二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）直线的解析式为，，则，，联立方程组得，，如图所示，过点作轴于点，，，，由（2）可得，所以，，根据，解二次函数最值的计算即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ，
∴，
∴，
把点代入得，，
解得，，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：已知抛物线解析式为，
令，则，整理得，，
解得，，
∴，
令，则，
∴，
∴，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图所示，点是第四象限抛物线上一动点，于点，过点作轴于点，交于点，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时， 有最大值，最大值为；
（3）解：由（2）可得，直线的解析式为，
∵， ，
∴，则，
又∵，
∴设，
∴，
解得，，
∴，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴，
∴点 的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解；
（）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点，点，则点，
∴，，
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：设，则，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，取最大值，最大值为．

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