资源简介

2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题
1．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为2，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接,求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是x轴上的一个动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点
(1)求抛物线的关系式；
(2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积；
(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为．在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．

(1)如图1，当时，求证：为直角三角形；
(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
(3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若． 直接写出n的值．
7．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．
(3)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于点E，设，求m的最大值及此时P点坐标．
8．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接．
①若是直角三角形，且时，求P点坐标；
②当时，求P点坐标．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．判断以三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线与抛物线交于两点（点在点的右侧），当轴上存在一点，能使以三点为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标．
10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
12．如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．

(1)①求该抛物线所对应的函数解析式；
②求四边形ACFQ的面积；
(2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ．
①当是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标．
②如图3，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值；
(3)如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值．
14．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．综合与探究
已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若为抛物线顶点，则线段的长为_____．
(3)如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值．
(4)如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题》参考答案
1．(1)
(2)8
(3)
(4)存在，或
【分析】此题考查的是二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，图形面积与二次函数问题，特殊三角形问题，
（1）利用待定系数法求解析式；
（2）连接，先求出点P的坐标，再利用求出面积；
（3）连接，设，根据四边形面积求出答案；
（4）当以点为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况，①当时，由勾股定理得，求出m即可；②当时，则轴，直接得到点M的坐标．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）连接，如图，

当时，，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）连接，如图，
设，
四边形面积
，
∵，，
∴当时，四边形面积最大，最大值为，
∴

（4）存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，
当时，，
∴，
设点M的坐标为，
当以点为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况，
①当时，
∴
解得，即；
②当时，则轴，
∴，即，
综上，或．
2．(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或
【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）解：（ⅰ），
当时，，
点坐标为，
当时，，
解得或，
点A在点的左侧，
点A坐标为，点坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（ⅱ），
抛物线的对称轴是直线，
点坐标为，设点坐标为，
分两种情况：①当时，，
即，
解得，
此时点的坐标为或；
②当时，，即，
解得，
此时点的坐标为或；
综上，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
3．(1)
(2)存在，点的坐标为，，，
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线，
∵，
当时，，
∴，
∴设点．
由点，，的坐标，得
，，
．
当为斜边时，，
整理得：，
解得或，
∴点或；
当为斜边时，，
解得，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点．
综上所述，点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
4．(1)
(2)，面积最大为
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值；
（3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可．
【详解】（1）解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N，
在中，令，
解得或，
∴A点坐标为．
∴，且，
∴，
∵， ，
∴直线BC解析式为，
设M点坐标为，则N点坐标为，
∵M在第四象限，
∴，
∴，
∴当时，，，
∴当M为时，四边形的面积有最大值，
最大值．
（3）解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，
在中，由勾股定理得，
由题意，当时，，
易求，抛物线的对称轴为直线，
设点P坐标为，
∴， ，
由，得，
解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想．
5．(1)
(2)四边形面积的最大值为4，此时点的坐标为：
(3)存在；或或或．
【分析】（1）将，代入抛物线，列方程，即可求得抛物线的解析式；
（2）设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，先求出，设设，则，，求出，由，得，从而，即可得到当时，，此时；
（3）由，得，抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，即可求出点，设，则，，，直角三角形按直角分类，利用勾股定理列方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线交轴于、，交轴于点，其中，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，如图所示：
∵，
∴顶点，
∵，，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
在中，令，得，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴当时，，此时
（3）存在，理由如下：
∵，
∴，
∵抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，，
∴，
∴，
∴，
∴交点，
设，则
，，，
当为斜边时，即，如图，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴；
②当为斜边时，即，如图，
∵，
∴，
∴，
∴（与重合，舍去）或（与重合，舍去），或或，
∴或；
③当为斜边时，即，如图，
∵，
∴，
∴或（与重合，舍去），
∴，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图像中三角形，四边形面积问题，关键在于面积的转化，以及直角三角形的存在性问题，注意要分类讨论，利用勾股定理逆定理来求解．
6．(1)见解析
(2)满足条件的点P的坐标为，，
(3)
【分析】（1）由，可得抛物线解析式，再分别令，，求得，，，再利用两点间的距离公式求得，，，再根据勾股定理逆定理即可得出结论；
（2）由（1）可知，，设出点P坐标，再根据平行四边形的性质分类讨论：当直线时，当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时；当直线与直线相交时，求出点P坐标即可；
（3）设出点D坐标，利用相似三角形的相似比表示，再由由一元二次方程根与系数的关系表示，进而找到b与a的关系，代入抛物线求值即可．
【详解】（1）证明：当时，，
令，，解得：，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，，，
∴，即，
∴是直角三角形．
（2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为，抛物线解析式为，
∵，，
设点，
①当直线，点P在点Q的左侧时（如图所示），
当平移到的位置时，四边形为平行四边形，
此时，即，．
，此时点P坐标为，

当点P在点Q的右侧时（如图所示）
同理可得：，．
，此时点P的坐标为，
②当直线与直线相交时，如图所示：
此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离．
即．
，此时点P的坐标为．

综上所述，满足条件的点P的坐标为，，．
（3）解：设点D坐标为，
∵，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由一元二次方程根与系数的关系可得，，
∴，
将点，代入得，
，解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、三角形相似与平行四边形的性质、两点间的距离公式，综合运用数形结合分类讨论思想是解题的关键．
7．(1)
(2)点M的坐标为，，，
(3)最大值为；
【分析】（1）把，两点代入解析式，计算即可．
（2）根据两点间距离公式表示出BC、MB、MC的长度，再根据三个顶点分别为直角顶点进行分类讨论．
（3）先求出，得到，进而表示出，转化为顶点式求出最值即可．
【详解】（1）解：把，两点代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线对称轴为
故设，
根据两点间距离公式可得，
，，
若C为直角顶点，则有
则
解得；
若B为直角顶点，
则
解得；
若M为直角顶点，
则
解得；
综上所述，点M的坐标为，，，．
（3）解：如图，设PD与x轴的交点为F，点，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
直线BC的解析式为，
，
，
连接AD，
抛物线开口向下，
m有最大值，且当时，且为，
此时，
故点
【点睛】此题考查了二次函数的解析式、两点间距离公式及最值的求法，一次函数解析式的求法，解题的关键是熟练掌握解析式的求解与函数的性质．
8．(1)
(2)①②点的坐标为
【分析】（1）由点坐标可得，由可得，即,再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①求出点的坐标，设根据勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点求得抛物线的顶点的坐标为 求得 由面积法可得故，即知 得，，把点坐标代入求出的值即可
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得：
，
解得，，
∴抛物 的解析式为：；
（2）
∴抛物线的对称轴为直线
，
是第二象限内抛物线上的一个点，
，
是直角三角形，且，
解得，，
，
当时，，
；
②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点如图，
∵
∴抛物线的顶点的坐标为
∵
，
∴
为的中点，
∴
即
设则，
解得，（与点B重合，舍去）或
∴，
∴点的坐标为
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，此题计算量较大，准确的计算是解题的关键．
9．(1)抛物线的解析式为
(2)是直角三角形．理由见解析
(3)点的坐标或
【分析】（1）将代入抛物线，通过待定系数法，即可解答；
（2）写出平移后的解析式，再求出三点的坐标，求得，即可判断；
（3）求出直线的解析式，再求出两点的坐标，根据相似的性质，进行分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：∵将点代入抛物线，可得方程，
∴抛物线的解析式为；
（2）是直角三角形．理由如下：
将抛物线向左平移1个单位长度，得新抛物线，
∴平移后的抛物线顶点为，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，如图1，连接，
∵，
∴轴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．

（3）

解：存在，理由如下：
，
，
是等腰直角三角形，
直线的斜率为1，
直线的解析式为，
联立方程，解得，，
，
①当时，，
，
根据图形可得，是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，将代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将代入解析式得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
；
，
，
，
②当时，，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握数形结合技巧，分类讨论是解题的关键．
10．(1)
(2)见解析
(3)存在，N点，其坐标为或或或
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，得出和为等腰直角三角形,进而可得出,即可得到答案；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出的长度，当和相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点A的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴，；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，
则，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，即，
∴是直角三角形；
（3）存在，点N的坐标为或或或，理由如下：
假设存在满足条件的点N，
设，则，
∴，，
由（2）在和中，可分别求得，，
∵轴于点N，
∴，
∴当和相似时有或，
①当时，则有，即，
∵当时，M、O、N不能构成三角形，
∴，
∴，即，
解得或，此时N点坐标为或；
②当时，则有，即．
∴，
即，解得或，此时N点坐标为或．
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度稍大．
11．(1)，，，；
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值；
（2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值；
（3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标．
【详解】（1）
∵直线过点和点，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线过点和点，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
（2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设P点坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大．
12．(1)①；②4
(2)①Q点坐标为；②是为定值，定值为8
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积；
（2）①分或两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；
②设，结合一次函数图象的性质分析求解
【详解】（1）①∵抛物线经过点，，
∴，解得
∴该抛物线的函数表达式为：；
②∵，
∴顶点，
∵，，
∴，且∥x轴，
∵，
∴；
（2）①∵点P在线段EB上，
∴不可能为直角，
∴当为直角三角形时，有或，
ⅰ．当时，则，
∵，，
∴直线AQ解析式为，
∴设直线DA解析式为，
把代入可求得，
∴直线DQ解析式为，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，
解得或
∴（舍）或（舍）
∴此种情况不存在
ⅱ．当时，设，
设直线AD的解析式为，
把A、D坐标代入可得，解得，
设直线DQ解析式为，同理可求得，
∵，
∴，即，解得
当时，
∵，
∴（舍）
当时，
∵，D点横坐标为
综上可知：D点横坐标
②设，
由A、D的坐标得，直线的表达式为：，
当时，；
由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则是为定值，定值为8．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13．(1)，顶点
(2)
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，通过相似三角形的性质和方程思想解决问题．
（1）将，代入抛物线解析式，通过解方程组求出解析式中的系数，进而得到抛物线表达式和顶点坐标．
（2）过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F，证明，根据相似三角形对应边成比例的性质建立等式，再结合点在抛物线上这一条件求解．
（3）先联立两个抛物线的方程求出交点坐标或，再通过构建图形，利用三角形面积公式列出方程求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点
∴，
解得，
∴抛物线，
∴顶点；
（2）解：如图，过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F；
可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，，
∴ ，
将，代入抛物线，
解得；
（3）解：由抛物线，可得顶点，
联立抛物线与：，解得或，
∴点，
∵顶点，，
所以直线，
过点P作x轴平行线交的延长线于点M，可得，
∴，
∴，
当时，，
∴或，
解得或或．
14．(1)
(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为
(3)，
(4)点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
15．(1)
(2)
(3)8
(4)存在，点的坐标为，
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先将二次函数配方成顶点式，求出点N的坐标，再求出的长；
（3）先求出直线的解析式为，设，，根据列出关于的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值；
（4）设点的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
，
故答案为：；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为8；
（4）解：存在，点的坐标为，，理由如下：
设点的坐标为，
，，
，，，
当中，当时，，
，
化简得，
解得或，
当时，点与点重合，不合题意，舍去，
当时，，
点的坐标为；
同理，当时，，
，
化简得，
解得或，
当时，点与点重合，不合题意，舍去，
当时，，
点的坐标为；
综上可知，点的坐标为，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想．

展开更多......

收起↑