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2025年九年级中考数学复习-利用垂径定理求值综合题典型题型
1．如图1，点是以为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：．
(2)当点平分时（如图2），求的值．
(3)若，求直径的长．
2．如图所示，在的内接中，，，作于点，交于另一点，是上的一个动点（不与，重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点运动过程中，当时，求的值．
3．已知，线段是的直径，弦于点H，点M是优弧上的任意一点，．
(1)如图1，
①求的半径；
②求的值．
(2)如图2，直线交直线于点E，直线交于点N，连结交于点F，求的值．
4．如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求及的长．
5．如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积．
6．已知是半圆的直径，是弦延长线上一点．
(1)联结与半圆交于点．
①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长；
②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值．
(2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值．
7．已知：的切线交直径所在的直线于F，D为直径上一点，连接并延长交于点E，，
(1)求证：；
(2)过点C作于H，交于于点G，连接、，求证：；
(3)在（2）的条件下，，时，求线段的长．
8．如图，是的外接圆，是的直径，于点E．
(1)求证：；
(2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长．
9．如图，在⊙O中，弦垂直于半径，垂足为D，点E在的延长线上，且．
(1)求证：直线 是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
10．如图，是的直径，，，是上三点，且，平分，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：．
11．内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接，若，求证：．
(3)在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长．
12．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点．
(1)如图1，若经过圆心．
①求的长；
②求的度数；
(2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由；
(3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围．
13．如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径．
14．如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
15．如图1，在中，点P在射线上运动，是的外接圆．

(1)如图2，当点O在上时，求的长．
(2)如图3，连接并延长，分别交于点D，E，交于点F．
①当时，求的半径．
②连接，的长为多少时，最小，并求出的最小值．
《2025年九年级中考数学复习-利用垂径定理求值综合题典型题型》参考答案
1．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解答的关键．
（1）先根据角平分线定义和圆周角定义证明，再根据垂直定义得到，进而可得结论；
（2）连接，，，，在中，根据余弦定义求出，则，在中，根据三线合一的性质可求出，根据等边对等角以及三角形外角的性质可求出，结合由（1）中，则求出，根据圆周角定理求出，则，则可判断E、O、C在同一直线上，即点O在上，故为的直径，则可证，证明得到，结合已知可求出，证明是等边三角形，得出，然后代入计算即可求解；
（3）如图1，连接、，设与的交点为M，利用圆周角定理和平行线的判定证明，分别证明和，求得，，设的半径为r，则，，证明求得，进而可得答案．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
（2）解：连接，，，，
∵点平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴E、O、C在同一直线上，即点O在上，
∴为的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵点平分，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即的值为；
（3）解：如图1，连接、，设与的交点为M，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵为的直径，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得（负值已舍去），且满足所列方程，
∴直径的长为．
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接，先证明是直径，再求出和的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出和，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作，垂足为G，连接CN，设出，，再利用三角函数和勾股定理分别表示出和，最后利用相似三角形的性质表示出，然后表示出和，算出比值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）连接，
∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）过C点作，垂足为G，连接，
则，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴，
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
3．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先构造直角三角形，再利用勾股定理求圆的半径；②先证明，再求出的值；
（2）证明，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图3，连结，
①∵，
∴，在中，设，
∵，则，，
∴，
解得，即的半径为5；
②∵，是直径，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图4，连结、，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
．
【点睛】此题考查勾股定理、圆周角定理、三角函数的定义、三角形相似的判定与性质，解题关键在于利用勾股定理建立方程从而求出的半径.
4．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接，根据圆切线性质，推出，根据平行线性质，推出，根据垂径定理得，即得；
（2）连接，根据平行线性质，得到，可得，得，得到，，可得，得，得到，；．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆与三角形综合．熟练掌握圆切线性质，垂径定理，角平分线有关计算，平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等：
（1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论；
（2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，即，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：过点作于，连接，
，
，
由（1）得，
，
，
，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
6．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①连接，过点作于点，求出，设，则，由求出，得到，，，则，即可求出答案；②连接，，，证明△△，得到，得到，则．设，，则，证明△△，得到，即可求出答案．
（2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，证明△△，得到，设，证明△△，得到，则，，即可得到答案．
【详解】（1）解：①连接，过点作于点，如图，
是半圆的直径，点是弧的中点，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，，
，
．
②连接，，，如图，
点是弧的中点，
，
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
．
设，，则，
△△，
，
．
（负数不合题意，舍去），
，
；
（2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，如图，
点为圆心、为半径的圆与相切，
点为切点，
，
设，则，
是弦的中点，
，，
为半径的圆与直线相切于点，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
设，
，，
△△，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
，
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先由得，再结合切线的性质得，则即，则，故，所以；
（2）根据垂径定理得，，再结合圆周角定理得出，再证明，进行角的整理得，即可作答．
（3）先由直角三角形两个锐角互余，以及切线的性质得，结合圆周角定理得，得出，因为，所以，然后运用解直角三角形的性质得，运用勾股定理表示，再得出，结合，则，即，因为，代入得出，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：连接、，
∵、是的半径，
∴，
∴
∵是的切线，切点为C，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，、、，过B作于K，
∵过点C作于H，的切线交直径所在的直线于F，
∴，
∴，
∵由（2）得，
∴
∵
∴
∴
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且
在中
则，
设，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的相关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，角平分线的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）根据垂径定理得出点为的中点，根据点是的中点，得出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：是的直径，，
，
；
（2）解：根据题意，如图所示：
是的直径，，
点为的中点，
点是的中点，
是的中位线，即，
，
．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据半径相等可得，根据，，等量代换可得，即可得证；
（2）连接，根据，，进而可得是等边三角形．再结合垂径定理，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接．
．
，
．
又．
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
（2）解：如图，连接．
在中，，．
．
又
是等边三角形．
又弦垂直于半径．
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得出，即可得出；
（2）连接，证明，证明，得出，求出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）证明：如图2，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，四量关系定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理解答即可；
（2）连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（3）过点作于，利用垂径定理得到，利用平行线的判定定理和平行线分线段成比例定理，利用等式的性质得到；连接，，，过作于点，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到，连接，利用全等三角形的判定与性质求得，；延长交于点，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理求得值，则．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，，如图，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，如图，
，
，
，，，
，
，
，
．
，
即．
连接，，，过作于点，
由（1）知：，
，
，
是的垂直平分线．
，
，
．
在和中，
，
，
，
连接，
在和中，
，
∴，
．
，
．
，，
延长交于点，
由（2）知：，
，
．
，
设，则，
在中，
，
，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．(1)①8；②
(2)不变，见解析
(3)
【分析】（1）①根据勾股定理可得答案；
②根据“弧，弦，圆心角的关系”得，然后根据得出答案；
（2）连接，并延长交于点F，连接，根据勾股定理求出，
可得，进而得，，然后根据可得答案；
（3）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，然后根据可得部分取值范围，接下来根据当点H，O，G三点共线时最大，结合面积公式得出答案．
【详解】（1）解：①根据题意可知，
∵是的直径，且，
∴，
根据勾股定理，得；
②∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不变，理由如下：
如图所示，连接，并延长交于点F，连接，
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点O作，交于点G，H，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
即．
当点H，O，G三点共线时最大，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键．
13．(1)，
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可；
（2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径是．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质．
（1）连接，由切线的性质得，再由四边形内角和得，由平角的性质得，进而得，再由垂径定理得，继而可得结论；
（2）过点C作于点M，先由已知得四边形是矩形，进而得，，，结合（1）易得是等腰直角三角形，进而可得，，再由即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，分别与相切于，两点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为2，即，
∴，
∴，，
∴．
15．(1)
(2)① ②的长为时，最小，最小值为
【分析】（1）过点A作于点G，则，求出，, 当点O在上时，，，得，；
（2）①过点A作于点G，连接，设半径为r，，根据垂径定理得，根据线段垂直平分线性质得,得,∴，得，根据，求得；②连接，根据，得，当点 O在上时，为直径， ，得的最小值为．
【详解】（1）过点A作于点G，则，
∵，
∴，
∴,
当点O在上时，，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）①过点A作于点G，连接，设半径为r，，
则，
∵于 点E，
∴，
∴,
由（1）知，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得；
②连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴当点 O在上时，为直径，最大，最小，
此时就最小 ，
由（1）知，，
故的最小值为．

【点睛】本题主要考查了圆内接三角形、等腰三角形性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数定义、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．

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