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二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2025年中考数学二轮复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标；
(3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
3．已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．
①求线段的最大长度；
②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位长度，点是平移后的抛物线上的一动点，若，求点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
8．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．

(1)求二次函数的表达式；
(2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，点为y轴右侧抛物线上一动点．
(1)求该抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，过点作轴，交直线于点，交轴于点．
①当点在直线上方时，求线段的最大值；
②连接，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标；
(3)点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，求出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上的点，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D 在 y 轴负半轴上，且，点 Q 为抛物线上一点，．点 E，F分 别为的边，上的动点，且， 求的最小值．
11．综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该抛物线及直线的函数表达式；
(2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过点作，垂足为，求出的最大值；
(3)试探究在点的运动过程中，是否存在点，使得为直角三角形，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)分别求出，的值和直线的解析式；
(2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）
《二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2025年中考数学二轮复习备考》参考答案
1．(1)
(2)；
(3)或
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，求出点，得出，证明，得出，求出，设，则，求出，得出，根据二次函数的最值，求出点P的坐标即可；作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据轴对称可知：，得出，根据两点之间线段最短，得出当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可；
（3）先求出新抛物线的解析式为：，作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F，
设，则，证明，得出，求出，证明，得出，即，求出直线的解析式为：，令，求出此时点H的横坐标；当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意，求出直线的解析式为：，令，求出点的横坐标即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∴，
∴，，
把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
设，则，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∴
∴此时点P的坐标为；
作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，如图所示：
则，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小，
∵为定值，
∴此时最小，且最小值为：．
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
又∵，，
∴将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位，正好得出新抛物线，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∴新抛物线的解析式为：，
根据解析（2）可知：当取得最大值时，，
∵，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F，如图所示：
则，
设，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去）；
当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去）；
综上分析可知：点的横坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论．
2．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰直角三角形的性质可知，根据，可知，从而可得：，根据点的横坐标是，可得：，从而可得方程，解方程求出点的横坐标，把横坐标代入解析式求出纵坐标即可；
设点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，解方程组求出交点的横坐标，把的底边看作，则点的横坐标即为的高，根据三角形的面积公式计算出的面积即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线，
点的横坐标为，
点的坐标为，
把点和点的坐标代入抛物线，
可得：，
解得：，
抛物线的函数表达式是；
（2）解：当时，
可得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，
轴，
，
，
，
又，
，
，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
当时，，
点的坐标是；
（3）解：的面积是定值，
理由如下，
如下图所示，
设点的坐标是，点的坐标为，
当时，，
当时，，
直线与坐标轴交点的坐标是，，
直线与轴负半轴的夹角是，
点的坐标是，点的坐标为，
，
整理可得：，
或(舍去)，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点的坐标为，点的坐标是，
则有，
解得：，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，
，
，
，
点的横坐标是，
，
的面积是，
的面积是定值．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
3．(1)；
(2)①；②存在，点P的坐标为：或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①先求出的函数表达式为：，设点P的坐标为，点M的坐标为，则然后利用二次函数的性质求解即可；
②先求出，然后分①当和②当两种情况求解即可．
【详解】（1）抛物线过点
解得
抛物线方程为：；
（2）①设线段的函数表达式为：
将带入
解得：
∴的函数表达式为：
由题意，点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点M的坐标为．
线段的长度为：，
当时，取得最大长度为：
因此，线段的最大长度为．
②，
，
，
，
．
∵点P的坐标为，
，
∵，
，
若和相似，分两种情况：
①当，
，即，
解得：或0（不合题意，舍去），
；
②当，
，即，
解得：或0（不合题意，舍去），
；
综上所述，点P的坐标为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答（2）的关键．
4．(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）延长交轴于点，待定系数法求出，，设点的坐标是，则，，，得到，，表示出，由此即可得出答案；
（3）由平移的性质得出，分两种情况：当点在直线上方时；当点在直线下方时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴
∴
∵
∴，
∴，
把，带入，得：
，
∴，
∴；
（2）解：延长交轴于点
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴，
设点的坐标是
∵轴
∴，，
∴，
∴
∴，；
（3）解：，
∵抛物线沿方向平移个单位长度
∴抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度
∴
当点在直线上方时：

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴联立，
∴（舍），，
∴；
当点在直线下方时：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴联立，
∴（舍），，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数的平移、解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．(1)；
(2)的最小值为；
(3)符合条件的点的坐标为或．
【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可；
（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将和代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设（），则，
∴，
∵，
∴当时，最大，此时，
∴，，，
∴，，
连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
∴，
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
∴，
设交轴于点，
由旋转的性质得到，
过点作轴，作轴于点，作于点，
当时，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
6．(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为；
(2)点M的坐标为；
(3)的取值范围为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可．
【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
∵，，
∴长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，
则，
∴，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点M的坐标为；
（3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，
∵等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，1为半径的上，
，
当点在线段上时，有最小值为；
当点在射线上时，有最大值为；
∴的取值范围为．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
7．(1)
(2)最大值为；；
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
8．(1)
(2)
(3)线段的最大值为
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答；
（3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入，得，
解得：．
二次函数的表达式为；
（2）解：当D点为线段的中点时，可得
直线的一次函数解析式的值为，
，
直线的一次函数解析式的值为，
设直线的一次函数解析式为，
把代入，可得，解得，
直线的一次函数解析式为，
列方程，
解得，
点P是第一象限内抛物线上的一动点，
（3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，
，
，
为直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
设，
设直线的解析式为，
把代入，可得，
直线的解析式为，
，
，
当时，取最大值为2，
此时，
故线段的最大值为．

9．(1)，
(2)①最大值为1；②，或
(3)存在，点坐标为时，点的坐标为或；点的坐标为时，点坐标为或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式；
（2）①设，则，进而得出的关系式，根据二次函数的性质即可求解；
②由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）根据点的坐标可得，分两种情况讨论，①当点在第一象限时，，则点的坐标为，此时，，若，，列出比例式，得出点的坐标；②当点在第四象限时，同理求得点的坐标．
【详解】（1）依题意得
解得
∴该抛物线的解析式为
设直线的解析式为

解得
∴直线的解析式为
（2）①设，则
∴
∵，
∴当时，的最大值为.
②点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
∴点M的坐标为，或
（3）存在
，
.
①当点在第一象限时，，则
直线解析式为，
于是，
解得（舍去）
点的坐标为
此时，.
若即
解得
点的坐标为
若即
解得点的坐标为
②当点在第四象限时，，则
直线解析式为，
于是，
解得（舍去）
点的坐标为
此时，.
若即
解得
点的坐标为
若即
解得
点的坐标为
综上所述，点坐标为或，点坐标为，，或.
10．(1)抛物线解析式为
(2)点 P 坐标为
(3)BE+QF的最小值为
【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴，交于点，过点 作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解；
（3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将，，代入中，
得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，过点 作轴，交轴于点，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点坐标为，则，，
∴，
解得 (舍去)或，
∴点坐标为；
（3）解：如图，作，且使，连接，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，共线时，的值最小，
作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
解得或(舍去)，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则的最小值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)最大值为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴四边形周长为，
∵，
∴当时，四边形周长有最大值，
最大值为；
（3）解：当为正方形时，如图，
∵点和点，
∴，
∴点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴点，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
∵，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
显然点与点关于对称轴对称，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．
12．(1)，
(2)的周长最大值：，P的坐标为；
(3)点Q的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）证明，得求出直线的解析式，设点P的坐标，则点E的坐标，得；当时，取得最大值，即，当时，的周长取得最大值；
（3）设点P的坐标，设点Q的坐标，分所求情况讨论：当点P在y轴右边的抛物线上时，当时，，则，列方程求解m；当点P在y轴左边的抛物线上时，同理求解．
【详解】（1）解：（1）将点，代入，
得，，
解，得，
所以，该抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，
得，
解，得，
所以，直线的函数表达式为；
（2）如图，过点A作轴，交于点F，
因为，轴，
所以，，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，，
在和中，
，
所以，
所以，，
由直线和点，
得点F坐标为，
所以，，
，，
所以，的周长，
所以，的周长．的周长，
设点P的坐标，则点E的坐标，
所以，
所以，当时，取得最大值，
即，当时，的周长取得最大值：
此时点P的坐标为；
（3）设点P的坐标，设点Q的坐标
①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1），
所以，，，，，
因为，当时，，
所以，，
即，，
解，得，（舍）
所以，点P的坐标为，
由题意，易得线段的中点坐标为，
因为，点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，
所以，点Q的坐标为；
②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2），
同①得，，
即，，
解，得，
所以，点P的坐标为，
同理，因为点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，，
所以，点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为或．
13．(1)抛物线的解析式为
(2)存在最大值
(3)存在点，点的坐标为或
【分析】（1）利用线段的长度求得点A坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）求得直线的解析式，利用轴，，表示出点，，求得；利用等腰直角三角形的性质求出线段，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论：①当时，过点E作轴于点F，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，从而得到关于m的方程，解方程求得m值，则结论可得；②当时，此时轴，点P的纵坐标为，从而得到关于m的方程，解方程求得m值，则结论可得．
【详解】（1）解：对于，令，则，
，
，
，
，
．
抛物线与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为．
轴，
，，
．
，
．
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
当时，存在最大值；
（3）解：存在点，使得为直角三角形，或，理由如下：
由（2）知：，，，
．
分两种情况讨论：
①当时，过点作轴于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
解得：（舍去）或．
；
②当时，此时轴，
点与点的纵坐标相同为，
，
解得：（舍去）或，
．
综上，存在点，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．(1)，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键．
（1）先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式；
（2）求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可；
（3）当时，如果 或时，则∽，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）点的坐标为，
．
令，则，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
，；
抛物线的对称轴为，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
；
设直线的解析式为．
将、代入得：
，
解得，，
直线的解析式；
（2）直线的解析式，
直线的一次项系数，
．
平行于轴，
，
．
的周长．
设，则，
则．
当时，有最大值，最大值为．
的周长的最大值；
（3）在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
设点的坐标为，则
如图，
若 时，∽．
则 ，整理得：．
得：负值舍去，
点为；
如图，
若时，∽，
则，整理得：，
得：负值舍去，
点为，
综上所述，点的坐标为或．
15．(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
(3)
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵当时，，
∴点B的坐标为，
∵四边形是矩形，
∴点C的坐标为，
∴将点C坐标代入解析式得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由抛物线的对称性得，
∴，
当时，点C的纵坐标为，
∴矩形的周长
，
∵
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）解：∵当时，，
∴点B的坐标为，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P，
由平移的性质可知，,，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点P是的中点，Q是的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位，
∵
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．

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