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2025年山西省晋中市介休市九年级中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）

A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元
2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标不是轴对称的是（ ）
A．注意安全 B． 水深危险
C． 必须戴安全帽 D． 注意通风
3．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ）
图① 图②
A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图 D．左视图、主视图、俯视图均相同
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．公理化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．函数思想
6．不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（ ）
A．体育馆 B．信毅楼 C．知味堂 D．勤政楼
9．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：
1 2 3 …
8 13.5 19
若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．计算的结果是 ．
12．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是 ．
13．已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是： ．（用“”连接）．
14．一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物 箱．
15．如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．.(本题（1）小题 4 分，（2）小题 6 分，共 10 分)
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本小题共 7 分）中国是最早发现并利用茶的国家，并形成了具有独特魅力的茶文化．已知某茶店 5 月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为 1500 元、1200 元，红茶每千克的售价是绿茶每千 克售价的 1.5 倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克．问绿茶、红茶每千克的售价分别是多少 元？
18．（本小题共 8 分）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：

(1)完成表格；
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2
甲 8.8 ① 8和9 0.56
乙 ② 9 9 0.96
丙 8.8 8 ③ 0.96
(2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
(3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由．
19．（本小题共 8 分）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．
(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．
20．（本小题共 9 分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）
(1)求点P到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数．
21．（本小题共 9 分）阅读以下材料，并完成相应的任务：
定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）
任务：
(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________
依据2：________________________
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长．
22．（本小题共 11分）
设计“脚手架”支杆的长度
材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米．
材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示．
材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示．
问题解决
任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离．
任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值．
23．（本小题共 13 分）综合与实践
问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．

(1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．
(2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．
参考答案
1．C
解：（元），即表示支出3元，
故选：C．
2．D
解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，
选项D不是轴对称图形．
故选：D．
3．D
解：（A），故错误；
（B），故错误；
（C），故错误；
（D） ，故D正确；
故选：．
4．B
解：该几何体的三视图如图所示：
由三视图可知，左视图与主视图相同，
故选：B．
5．C
由题意可知：设，根据勾股定理得：
，
整理得：，
则该方程的一个正根是AD的长，
通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想．
故选：C．
6．B
不等式移项得：3x＞6，
解得：x＞2，
表示在数轴上得：
故选B．
7．B
解： ，
，
、都与地面平行
，
，
在中， ，
．
故选：B．
8．B
根据题意可建立如下坐标系：
由坐标系可知，表示信毅楼的坐标是；
故选：B．
9．B
解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，
设与的函数关系式为：，
根据表格数据可得：，
解得，
与的函数关系式为：，
当不挂重物时，，
代入函数关系式得：，
秤跎到秤纽的水平距离是，
故选：B．
10．C
解∶过D作于E，
∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
11．3
解：
．
故答案为：3．
12．
解：列表如下：
鼠 牛 虎 兔
鼠 (鼠，牛) (鼠，虎) (鼠，兔)
牛 (牛，鼠) (牛，虎) (牛，兔)
虎 (虎，鼠) (虎，牛) (虎，兔)
兔 (兔，鼠) (兔，牛) (兔，虎)
共有12可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有2种，
∴两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为
故答案为：．
13．
解：∵函数，
∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
解：设可以搬运货物箱．
根据题意得，，
解得，
为正整数，
最大为．
故答案为：．
15．/
解：如图，延长到，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
16．（1）解：原式；
（2）解：
，
当时，原式．
17．解：根据题意列方程，得
，
解得，
经检验：是所列方程的解，
则．
答：绿茶每千克的售价100元，红茶每千克的售价150元．
18．（1）解：将甲的得分从小到大排列为：8，8，9，9，10，
中位数为：9，
乙得分的平均数为：，
由扇形统计图可知，丙得分的众数为：8，
故答案为：9，8.8，8；
（2）解：去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为：，
方差为，
故答案为：；
（3）解：选甲更合适，理由如下：
三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，
选甲更合适．
19．（1）如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N．
（2）如图，连接．
四边形是平行四边形
，
，
则
是的垂直平分线
又
在与中，
20．（1）解：过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21．（1）解：与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；
（2）证明：连接并延长，交于点，连接．
与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
，
，
，
；
（3）解：弦切角，
由（2）可知：，
，
为直径，
，
在中，，
．
22．解：任务1：四边形是矩形，
（米，
点，点，
根据题意和图象可得，顶点的坐标为，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入解析式可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
任务2：当时，，
解得，
（米，
两根支撑柱之间的水平距离为6米；
任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米，
则，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米．
23.（1）解：如图所示，连接，

∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
故答案为：．
（2）四边形是菱形，
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，

∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴，
②如图所示，当时，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴；
③如图，当，且在上方时，过点E作于点G
∴
∴
∴设，
∵，即
∴
∴，
∴
∴
∴综上所述，的长为或或．

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