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2024-2025学年四川省泸州市合江县马街中学校高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若公比，，则( )
A. B. C. D.
5.设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
6.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若实数数列：，，成等差数列，则圆锥曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设数列的前项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. D.
11.如图，在边长为的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 存在满足
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线的方程为
13.若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
14.若两个等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的都有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在时取得极大值．
求实数，的值；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
设数列的前项和为，．
求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
若和分别是等差数列的第二项和第六项，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．
证明：平面；
当二面角的余弦值为时，求．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的图象过点的切线方程；
讨论的单调性；
证明：当时，．
19.本小题分
人教版选择性必修二第页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：．
求的值；
已知数列满足，求的前项和；
若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：，由题意得，解得．
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值．
所以．
由可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为，，最小值为．

16.解：当时，，解得．
当时，
有，
，
两式作差可得，，
整理可得，．
又，
所以，数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，，
所以，．
由可知，，，
所以，，．
设的公差为，
则，
解得，，
所以，．
所以，，
所以，数列的前项和
．

17.解：在四棱锥中，
由，，，，
得，，
则，，
又，且，平面，
所以平面．
由知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
可得，，，
设，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面的法向量为，
由，解得，令，，得，
由二面角的余弦值为，得，
即，整理得，解得，
所以．

18.解：当时，函数，求导得，
设函数的图象过点的切线的切点为，
显然点不在函数的图象上，则，解得，
则切点为，，故所求切线方程为．
函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，由，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，的最小值，
要证，只需证，只需证，
设，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
函数在处取最小值，，
因此，故得证．

19.解：因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
由可知
，
得恒成立，
令，
则，
可得；当时，，当时，，
所以的最大值为，
故

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