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2025北京四中初二（下）统练一
数 学
一、选择题
1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. B.
C. D.
6. 徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（ ）
A. 金额 B. 数量 C. 金额和单价 D. 单价
7. 如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①②④
8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（　　）
A. B. C. D.
9. 张老师出门散步时离家的距离与时间之间的关系图象如图所示，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11. 若分式有意义，则a的取值范围是____________．
12. 计算：_______．
13. 如图，在中，，是的垂直平分线，，，则_______．
14. 若直线经过第一二四象限，则直线经过第_______象限．
15. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，则_______，_______．
16. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_______．
17. 小华从家出发沿笔直马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．
（1）小华从家出发____________时，爸追上小华；
（2）图书馆离小华家____________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为_______．
三、解答题
19. 计算：
（1） ；
（2）．
20. 因式分解：
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
21. （1）先化简，再从中选择合适的值代入求值．
（2）解分式方程：．
22. 如图所示，人教版八年级上册数学教材/53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
23. 已知一次函数的图象经过两点．
（1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式；
（2）若y轴上存在点P，使得的面积是3，求点P的坐标．
24. 周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由．
25. 八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本的例同
时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明．
例．已知：如图，，分别是，的平分线，，，垂足分别为点，． 求证：点在的平分线上． 证明：过点作，垂足为点． ，分别是，的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（_______） （等量代换）． 点在的平分线上（_______）
【研究原图形】
（1）补全例的证明过程；
（2）在例的图中，分别连接，，．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若则_______．（用含的代数式表示）
【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”．
（3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点，，分别在边，，上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．
26. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（ ） ②与（ ） ③与（ ）
（2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
（3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
选做题
28. 如图，在平面直角坐标系中有、两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）
29. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点．
（1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____．
（2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点，
①在图1中画出线段的所有美好点；
②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____．
（3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】A
3. 【答案】D
4. 【答案】C
5. 【答案】D
6. 【答案】D
7. 【答案】D
8. 【答案】B
9. 【答案】C
10. 【答案】A
二、填空题
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】一、三、四
15. 【答案】 ①. 3 ②.
16. 【答案】且
17. 【答案】 ①. 10 ②. 1760
18. 【答案】10
三、解答题
19. (1)
．
(2)解：
．
20. 解：(1)原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）
＝﹣2a（a﹣3）2
(2)原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
21. 解：（1）原式
，
要使原式有意义，则且，
∴且，
∴，原式．
（2）
两边同时乘以得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时,，
∴是原方程的根．
22. (1)解：，
证明：在和中，
，
，
，
，，
．
(2)，
，
，
，
，
，，
∴
∴．
23. (1)解：如图，在图中描出点，连接即可得出函数图象，
设一次函数解析式为：，
，解得：，
一次函数解析式为：；
(2)设，
，
，
或，
或．
24.解：能，理由如下：
设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，
总共所需时间为：
（），
到达钟鼓楼的时间为，
故能在当日上午前到达鼓楼．
25. （1）证明：过点作，垂足为点．
，分别是，的平分线（已知）．
，（已知），
（所作），
，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
（等量代换）．
点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）；
故答案为：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
（2）如图，连接、，，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
即，
，
故答案为：
（3）示意图如下，
，，
，
由(2)可知，
，
，
，
可得点在的垂直平分线上，
，，，
，
，，
可知是的垂直平分线，
点在直线上；
26. 解：(1)∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ②× ③√；
(2)由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
(3)①，
，
，
，
，
互为“差整值代数式”，
，
②，
，
，
的最小值为．
27. (1)证明：∵为等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：；
证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵M为的中点，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
选做题
28.解：以为圆心，为半径画圆交轴于，，作，的平分线交轴于，，点，即为所求；
29. (1)解：点满足最小，且，
∴，即是等腰直角三角形，且是斜边；
∵，，且，如图所示，
线段的美好点的坐标是或，
故答案为：或；
(2)①如图所示，直线即为所求
理由如下，
如图所示，设，过点作轴，过点作于点，
∵，，则是的美好点；
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴
∴
∴
即点在第二象限的平分线上，
如图所示，当在的另一侧时，
同理可得，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴，
即点在第一象限的平分线上，
如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上，
综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线；
②如图所示，
由①可得，
∴
∴
∴，
∴
∴
又∵点的坐标为，
∴
∴
故答案为：．
(3)解：如图所示，∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，
设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上，
∵，则，是等腰直角三角形，
∴
即
由（2）可得的美好点与构成以为对角线的正方形，
设以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形为，
如图所示，当取得最大值时，的美好点在正方形的边上，
∵点和点的坐标分别是，，
点，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴
∴，即的最大值为
当美好点在边上时，如图所示，
同理可得
∴，
∵
∴
∴
∴
综上所述，的取值范围为．

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