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(共37张PPT)
人教版数学八年级下册
第十七章　勾股定理
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
第1课时 勾股定理
17.1 勾股定理
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.探索并掌握勾股定理的证明过程.
2.熟练运用勾股定理解决数学问题.
3.通过利用勾股定理解决简单问题，体会数形结合
的思想.
第贰章节
新课导入
新课导入
相传 2500 多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？
第叁章节
新知探究
新知探究
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
知识点1：勾股定理认识及验证
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
A
B
C
（图中每一格
代表 1 cm2）
R
Q
P
A
C
B
如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空.
合作探究
正方形 Q 的面积是_____个单位面积；
正方形 P 的面积是_____个单位面积；
正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积.
1
1
2
2
（图中每一格
代表 1 cm2）
SP + SQ = SR
R
Q
P
A
C
B
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积.
请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
双击图标开始演示几何画板
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b- a
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c 为正数
a
b
c
归纳总结
勾股定理
公式变形
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
解：
(1) 据勾股定理得
(2) 据勾股定理得
C
A
B
知识点2：利用勾股定理进行计算
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
设 a = x，c = 2x，
(2x)2 - x2 = 152，
解：(1) 设 a = x，b = 2x
x2 + (2x)2 = 52，
(2)
解得
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图①
图②
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
总结
求下列图中未知数 x、y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
练一练
第肆章节
随堂练习
随堂练习
知识点1：勾股定理的证明
1. 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理.
（第1题）
证明：根据题意，得（a＋b）2＝4× ab＋c2.整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
2. 如图，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
（第2题）
解：此图可以理解为有三个直角三角形，其面积分别为 ab， ab和 c2；还有一个直角梯形，其面积为 （a＋b）（a＋b）.由图形可知， （a＋b）（a＋b）＝ ab＋ ab＋ c2.
整理，得（a＋b）2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.
知识点2：勾股定理
3. 下列说法正确的是（　D　）.
A. 若 a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
知识点3：勾股定理的简单运用
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）已知a＝b＝5，求c.
（1）解：c＝ ＝ ＝5 .
（2）已知c＝2，a＝1，求b.
（2）解：b＝ ＝ ＝ .
（3）已知a＝5，c＝13，求b.
（3）解：b＝ ＝ ＝12.
（4）已知c＝17，b＝8， 求a.
（4）解：a＝ ＝ ＝15.
5. 已知直角三角形的两直角边长分别为7和24，求斜边的长.
解：斜边长为 ＝25 .
6. （1）在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝6，则c＝ .
（2）在△ABC中，∠C＝90°，若a＝8，c＝17，则b＝ .
7. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝12 cm，AC＝16 cm，则AB＝ .
　
15　
20 cm　
8. 如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A，B两点间的距离为 .
（第8题）
9. 若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为 .
5　
13或 　
10. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
（第10题）
解：根据题意，得
SE＝SF＋SG
＝SA＋SB＋SC＋SD
＝12＋16＋9＋12
＝49.
11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，求AD的长.
（第11题）
解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝ ＝25.
∵S△ABC＝ AB·AC＝ BC·AD，
∴AB·AC＝BC·AD.
∴15×20＝25·AD.
∴AD＝12.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
历史背景
实践探究
体验应用
数学启示
数学思想：
数形结合思想
特殊到一般的思想
转化思想
分类讨论思想
观察
猜想
实践
得出结论
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
谢谢观看

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