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人教版数学八年级下册
第十八章　平行四边形
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
18.2.1 第2课时 矩形的判定
18.2 特殊的平行四边形
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定办法.
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明.
第贰章节
新课导入
新课导入
同学们我们首先回忆一下:
1. 矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2. 矩形的性质:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面的一个例子：
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB＝CD , EF＝GH ;
(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 　,根据的数学道理是　 　;
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时, 如图④, 说明窗框合格, 这时窗框是 ,根据的数学道理是　　 ．
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
概念可以判定矩形,比照平行四边形的判定,那矩形性质的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢 我们来看下.
第叁章节
新知探究
新知探究
知识点1： 矩形的判定
问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
猜想 对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
证一证
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
分析：
求证：□ABCD 是矩形.
求证：□ABCD 有一个角是 90°.
□ABCD
AD = BC，AD∥BC
△ADC≌△BCD
∠ADC + ∠BCD = 180°
∠ADC = ∠BCD
CD = DC
AC = DB
∠ADC = 90°
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义).
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH.
求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
典例精析
分析：
逆向思维
四边形 ABCD 是矩形
AO = BO = CO = DO
AE = BF = CG = DH
OE = OF = OG = OH，EG = FH
求证：四边形 EFGH 是矩形
求证：四边形 EFGH 是平行四边形 + EG = FH
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等)，
AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
且 EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
练一练
知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形
问题2 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗 即四个角都是直角的四边形是矩形吗 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？
想一想
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
不是矩形
不是矩形
矩形
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
典例精析
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
练一练
2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，
AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、
∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 ( )
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 不能确定
C
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
第肆章节
随堂练习
随堂练习
知识点1：对角线相等的平行四边形是矩形
1. 如图，在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　D　）.
A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝AD D. AC＝BD
（第1题）
D
2. 如图，在 ABCD中，AC＝5，OB＝OD＝2.5，则 ABCD是 .
（第2题）
矩形　
（第3题）
3. 如图，AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是 ，若对角线AC，BD交于点O，∠1＝∠2，则四边形ABCD是 .
平行四边形　
矩形　
知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形
4. 下列命题中正确的是（　D　）.
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 三个角是直角的多边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D. 有三个角是直角的四边形是矩形
D
5. 下列四边形不．一．定．为矩形的是（　A　）.
A B C D
A
6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加一个条件是 .
（第6题）
∠A＝90°（答案不唯一）　
7. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，射线AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形.
（第7题）
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC， ∠CAD＝ ∠BAC. ∴∠ADC＝90°.∵AN是△ABC外角的平分线，∴∠CAE＝ ∠CAM. ∵∠BAC＋∠CAM＝180°，∴∠DAN＝∠CAD＋∠CAE＝ （∠BAC＋∠CAM）＝90°.∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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