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人教版数学八年级下册
第十八章　平行四边形
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
18.2.2 第2课时 菱形的判定
18.2 特殊的平行四边形
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.掌握菱形的判定及证明过程.
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明.
1. 菱形判定方法1：有一组邻边 的平行四边形是菱形.
2. 菱形判定方法2：对角线 的平行四边形是菱形.
3. 菱形判定方法3： 都相等的四边形是菱形.
相等　
互相垂直　
四条边　
第贰章节
新课导入
新课导入
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢 我们大家一起来尝试一下吧!
图形 性质定理 判定定理
平行四边形 对边平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
图形 性质定理 判定定理
矩形 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
菱形
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ？
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
第叁章节
新知探究
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
知识点1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证一证
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
典例精析
例1 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
分析：
求证：四边形 ABCD 是菱形
求证：AC⊥BD
AB = 5，AO = 4，BO = 3
AB2 = OA2 + OB2
△AOB 是直角三角形
AC⊥BD
四边形 ABCD 是菱形
练一练
1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 ( 　 )
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
知识点2：四条边相等的四边形是菱形
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
归纳总结
菱形的判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
典例精析
证明： ∵∠1 = ∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
知识点3：菱形的性质与判定的综合运用
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1)求证：四边形 BCFE 是菱形；
分析：
四边形 BCFE 是菱形
EF＝BE
＋
BC＝CF＝BE
D、E 分别是 AB、AC 的中点
DE∥BC，2DE＝BC
BE＝2DE，EF＝BE
EF＝BC，EF∥BC
(1) 证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC 且 2DE＝BC.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵ EF＝BE，
∴ 四边形 BCFE 是菱形.
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴ △EBC 是等边三角形，
∴ 菱形的边长为 4，高为 ，
∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
总结
(1) 证明：∵ 在 Rt△ABC 中，D 是边 BC 的中点，
∴ AD＝BD＝DC .
又∵ E 是边 AD 的中点，∴ AE＝ED.
∵ AF∥BC，∴∠FAE＝∠ADB.
∴ △AEF≌△DEB (ASA). ∴ AF＝DB.
2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是边 BC 的中点，E 是边 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF .
(1) 求证：四边形 ADCF 是菱形；
(2) 若 AC＝6，AB＝8，求菱形 ADCF 的面积.
练一练
∴ DC＝AF. 又∵AF∥BC，
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形
又∵ AF＝AD，
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2) 连接 DF，交 AC 于点 O.
由 (1) 可知，AF∥BD，AF＝BD，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
∴ AB＝DF＝8.
∴ S四边形ADCF＝ DF ·AC＝ ×6×8＝24.
O
第肆章节
随堂练习
随堂练习
知识点1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（第1题）
1. 如图，在 ABCD中，AD＝CD，则 ABCD是 .
菱形　
知识点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. 在 ABCD中，若一条对角线平分一组对角，则 ABCD为 .
3. 如果一个四边形的对角线互相平分、互相垂直，则这个四边形是（　C　）.
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 无法判定
菱形　
C
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件仍不．能．判断四边形ABCD是菱形的是（　B　）.
A. BD平分∠ABC B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. AB2＝OA2＋OB2
（第4题）
B
知识点3：四条边都相等的四边形是菱形
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，当四边形ECDF为菱形时，a的值为（　B　）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第5题）
B
6. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 .
菱形　
7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是 .
（第7题）
菱形　
8. 下列命题中正确的是（　D　）.
A. 有一个内角是60° 的平行四边形是菱形
B. 有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 有两条边相等的平行四边形是菱形
D. 四条边相等的四边形是菱形
D
9. 如图，下列条件能使 ABCD是菱形的有 （填序号）.
（第9题）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.
①③　
10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
（第10题）
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形.
（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形.
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形.
理由如下：∵D是AB的中点，∴BD＝ AB.
∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝ BC. ∵AB＝BC，∴BD＝DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形.
11. 如图，已知 ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC边分别相交于点E，F.
（第11题）
求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，AO＝CO.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠AEO＝∠CFO.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
12. 如图，AE∥BF，∠BAE的平分线交BF于点C，点D在AE上，AB＝AD，连接CD.
（第12题）
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB.
∵AC平分∠BAE，∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠ACB＝∠BAC. ∴AB＝BC.
∵AB＝AD，∴AD＝BC. ∴四边形ABCD是菱形.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
四边形
两条边都相等
平行四边形
对角线相等互相垂直
有一组邻边相等
菱形
菱形
菱形
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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