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2025北京北师大实验中学初三3月月考
数 学
2025.3.4
一、选择题（共16分，每题2分）．
1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______．
10. 分解因式：__________．
11. 方程的解为______．
12. 如图， 在中，点在边上，，的延长线交于点．若，， 则 ．
13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：
种子数量 10 50 150 300 500 800
发芽数量 9 41 133 261 431 689
发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．
14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．
15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______．
16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．
尺寸 数量（个） 款式 大 中 小
A 8 15 25
B 0 10 20
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元．
三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤域证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证: 四边形是菱形；
（2）若 求菱形的面积．
21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求该函数解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围．
23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
成本
售价 m n p
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
（2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
（3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．
24. 如图，中，，，是的外接圆，D在上，满足，与交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
水平距离/
竖直高度/
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．
（1）当，时，求的值；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
27. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度（）得到DC．
（1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长；
（2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.
（1）已知点，.
①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °；
②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ；
（2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值.
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）．
1. 【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】C
4. 【答案】D
5. 【答案】A
6. 【答案】B
7. 【答案】D
8. 【答案】B
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】
10. 【答案】
11. 【答案】
12. 【答案】
13.【答案】三至五个月
14. 【答案】且
15. 【答案】
16. 【答案】 ①. 2 ②. 135
三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤域证明过程．
17. 解：原式
18. 解： ，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式的解集为；
∴原不等式所有正整数解为：；
19. 解：原式．
∵，
∴，
∴原式．
20. (1)证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
(2)解：，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
即，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
21. 解：(1)由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
(2)对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
22. (1)解：由题意得：将点和代入中得：
，解得：，
∴该函数解析式为：；
(2)解：当时，代入得：，
在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图：
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴当过时满足题意
∴，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于，
∴当过时满足题意，
∴，，
综上：满足条件的n的取值范围为：．
23. (1)解：由题意知，成本从小到大依次排序为；
∴甲商品这五周成本的平均数为，
中位数为第3个位置的数即中位数是，
故答案为：，；
(2)解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为，
∴第二周售价的涨跌幅为，
解得，；
同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为，
解得，；
第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为，
解得，；
∵，
∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，
故答案为：，四；
(3)解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，
∵，
∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，
∴，
故答案为：．
24. (1)证明：在中，
∵，
∴是的直径．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
(2)解：连接．
∵是的直径，
∴．
∴，
∵由（1）得，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴E为的中点．
∴．
25. (1)根据表格数据可知与关于对称轴对称，
则当时，，即乒乓球竖直高度的最大值为，
∴，
将点代入得，，
解得：，
∴；
(2)解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，
由，令，
即，
解得：或（舍去）
依题意，，
将点代入得，
解得：或（舍去）
∴解析式为
当时，，
解得：（舍去）
∵，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
26. (1)解：当时，，，
将代入得，，即
∵，
∴，
将代入得，，
解得：或，
∵点A、B不重合，
∴；
(2)解：∵的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴，都在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴
∴，都在对称轴的左侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
综上所述，的取值范围为或．
27. (1)解：由旋转可得，，
，，
，
，，
在中，，
，
，
；
(2)解：；
证明：连接，与交于点，如图2，
由旋转可得，，
，，
平分，
，
∴，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，，
、、三点共线，且是等腰直角三角形，
，
，
整理得；
(3)解：如图3，过作交于，交于，过作交于，延长交于，延长至，使，过作交于，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，，
，
，，
设，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
点在上，，，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，，
为的中点，
为的中点，
与重合，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
当、、三点共线时取得最小值，此时，
，
，
，，
，
．
28. (1)解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”，
∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离为，
∴点在上，
同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意，
∴点是弦的关联点，
连接，
∴，同理可求，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，60；
②同上作出关于点M的对称圆，连接，
∵，，，，
同理可求，，，
∴同理可求，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的“关联点”在优弧上（不包括端点），
∴若直线上存在的“关联点”，
则直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线经过点A时，如图：
∴把代入得：，
解得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线与相切时，如图：
记切点为H，连接，记直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
∴，
当，，
∴，
则，
∴，
过作轴交直线于点，
则，
∵由切线得性质得到：
∴，
∴点，
代入，
求得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
综上所述：时，直线上存在的“关联点”，
故答案为：；
(2)解：∵，
∴点C在以O为圆心为半径的圆上，
对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，
同上作出关于点M对称的，
∵点C是的“关联点”，
∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），
∵点C是的“关联点”，
∴以为底边，作顶角为的等腰，
∴由圆周角定理可得：，
∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，
那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，
∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图：
由圆的对称性可知共线，，
设，则同上可得，
∴在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍）
∴，
当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图：
∴，
∴，
∴，
综上，弦的最大值为，最小值为1．

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