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2025北京首都师大附中初三（下）开学考
数 学
一、选择题
1. 下列几何体中，主视图为矩形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（ ）
A. B. C. D. π
3. 已知a，b互为相反数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
6. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A. B. C. D.
7. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊
8. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
二、填空题
9. 已知，，则________．
10. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___．
12. 在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是________．
13. 中国古代的数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用个全等的直角三角形拼成正方形，如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为，为直角三角形中的一个锐角，则___________
14. 已知抛物线．点，在抛物线总有，则b的取值范围是________．
15. 如图，是的直径，点E是的中点，过点E作弦．连接，．若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，则的长是________．
16. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点．的圆心为，半径为1．若，则写出t的取值范围________
三、解答题
17. 如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图2，连接，若，求的值．
18. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求和的长．
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2），为该抛物线上的两点，若，，且，求的取值范围．
20. 在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】D
3. 【答案】C
4. 【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】C
7. 【答案】C
8. 【答案】D
二、填空题
9. 【答案】24
10. 【答案】
11. 【答案】m＜5
12. 【答案】或
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】或或
三、解答题
17. (1)证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)解：∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
18. (1)证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
即，
∴直线是的切线；
(2)解：∵，
设的半径为r，则．
∵，
∴．
∵，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，根据勾股定理，得．
∵，
∴.
根据勾股定理，得．
∴，
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
即，
解得．
19. (1)解：
∴抛物线的对称轴为直线
(2)解：∵抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，
∵，，
∴
∵，
∴
即，
解得：
∵
∴，即
∵
∴，解得：
∴
当时，抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，在对称轴的右侧随的增大而减小，
∵
∴，
即
解得：
又∵
∴，即
∵，
∴，
∴或（舍去）
∴无解；
综上所述，
20. （1）证明：设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=a，，
∵DA=DP，∠ADP=60°，
∴是等边三角形．
∴，
∴在中，
，
在中，
∵ ，
∴，
，
∵，
∴．
（2）依题意补全图形，如图所示．
．
证明：作DH⊥AP交BC于点H．
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD=90°．
∵∠HDC+∠DHC=90°，
∴∠AFD =∠DHC．
∵AD=DC，∠ADF=∠DCH=90°，
∴．
∴DF=CH．
∵DA=DP，DH⊥AF，
∴∠ADH=∠EDH．
∵AD//BC，
∴∠ADH=∠EHD．
∴∠EDH=∠EHD．
∴．
∵EH-EC=CH，
∴．

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