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2025北京一六一中初三（下）开学考
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. 如意纹 B. 冰裂纹
C. 盘长纹 D. 风车纹
2. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年
3. 如图，，．若平分，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，弦相交于点E，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
6. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图．由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的重心．若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（　　）
A. B. C. D.
8. 二次函数（）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于x的一元二次方程（）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 已知，且a是整数，则a的值是____．
11. 分解因式：__________．
12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是________．
13. 在平面直有坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是__________．
14. 在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的．求甲乙两班各有多少人？设乙班有x人，依题意，可列方程为_______．
15. 在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是______.
16. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．
设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线外一点P．
求作：过点P作直线l的平行线．
作法：如图，
①在直线l上任取点O；
②作直线；
③以点O为圆心长为半径画圆，交直线于点A，交直线l于点B；
④连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C（点A与C不重合）；
⑤作直线．
则直线即为所求．
根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据．
证明：连接．
∵，
∴，
∴ （ ）．
∵，
∴（ ），
∴，
∴．
21. 如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A．
（1）若点A的横坐标为2，求k的值；
（2）若关于x 的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围．
22. 如图，在中，，点是边的中点，连接，分别过点，作，交于点，连接，交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23. 某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．1班 168 171 172 174 174 176 177 179
2班 168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
1班 173.875 174 174
2班 174.5 m n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．
24. 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计）
25. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线.
（1）当时，求t的值；
（2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由.
27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.
（1）已知点，.
①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °；
②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ；
（2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值.
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 【答案】D
2. 【答案】C
3. 【答案】B
4. 【答案】A
5. 【答案】D
6. 【答案】D
7. 【答案】A
8. 【答案】C
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】x≠3
10. 【答案】3
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】①③
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解：原式
．
18. 解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集是．
19. 解：原式
，
，
∵，
∴．
∴原式．
20. (1)解：补全图形如图，即为所求，
(2)证明：连接．
∵，
∴，
∴（同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∵，
∴（等边对等角），
∴，
∴．
故答案为：，同圆中，等弧所对的圆周角相等；等边对等角
21. (1)解：当时，，
则；
把A的坐标代入中，得，即；
(2)解：由（1）知，当时，；
当时，，即，如下图所示；
把点B坐标代入中，得，即；
由图知，当时，关于x 的不等式有且只有2个正整数解．
故k的取值范围为．
22. (1)证明∶∵，点D是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形 ；
(2)解：如图，过点E作于F，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
23. 解：(1)2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183
从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故；
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故；
故答案为：175、176．
(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．
1班的身高分布于，2班的身高分布于，
从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，
故答案为：1．
(3)（厘米）
设2班第六位选手的身高为厘米，
则，
，
据此，第六位可选的人员身高为170、183，
若为170时，2班的身高数据分布于，若为183时，2班的身高数据分布于，
从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是170厘米，
故答案为：170．
24. (1)解：根据题意，抛物线经过点，，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：根据题意，，
当时，，
∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，
∴通过隧道的车辆的限制高度为米
25. (1)证明：如图，连接．
，
．
．
，
．
，
，即．
是的半径，
是的切线．
(2)解：设，
，
，．
．
为的直径，
．
，
．
．
，．
，
是的中位线．
．
．
，
．
．
，
解得．
．
26. (1)解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，
∴，解得，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴；
(2)解：∵，，
∴，则或，
∴，
∵，
∴，
∵，，又抛物线的开口向上，
∴．
27.(1)证明：∵为等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：；
证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵M为的中点，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
28. (1)解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”，
∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离为，
∴点在上，
同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意，
∴点是弦的关联点，
连接，
∴，同理可求，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，60；
②同上作出关于点M的对称圆，连接，
∵，，，，
同理可求，，，
∴同理可求，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的“关联点”在优弧上（不包括端点），
∴若直线上存在的“关联点”，
则直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线经过点A时，如图：
∴把代入得：，
解得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线与相切时，如图：
记切点为H，连接，记直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
∴，
当，，
∴，
则，
∴，
过作轴交直线于点，
则，
∵由切线得性质得到：
∴，
∴点，
代入，
求得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
综上所述：时，直线上存在的“关联点”，
故答案为：；
(2)解：∵，
∴点C在以O为圆心为半径的圆上，
对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，
同上作出关于点M对称的，
∵点C是的“关联点”，
∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），
∵点C是的“关联点”，
∴以为底边，作顶角为的等腰，
∴由圆周角定理可得：，
∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，
那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，
∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图：
由圆的对称性可知共线，，
设，则同上可得，
∴在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍）
∴，
当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图：
∴，
∴，
∴，
综上，弦的最大值为，最小值为1．

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