资源简介

2024-2025 学年四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 3 + 2 = 0 的倾斜角为( )
A. π π π 2π6 B. 4 C. 3 D. 3
2 22.双曲线 4 9 = 1 的离心率为( )
A. 53 B.
13 5 13
3 C. 2 D. 2
3.抛物线 2 = 4 的焦点为 ， 为抛物线上一点，若| | = 3，则 点的横坐标为( )
A. 2 B. ±2 C. 1 D. ±1
4.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 是棱 1 1的中点，则 1 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 2
10
5 2.在二项式 2 的展开式中，常数项为( )
A. 180 B. 270 C. 360 D. 540
6.已知函数 ( )的定义域为 且导函数为 ′( )，函数 = ′( )的图象如图，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )的增区间是( 2,0), (2, + ∞)
B.函数 ( )的减区间是( ∞, 2), (2, + ∞)
C. = 2 是函数的极大值点
D. = 2 是函数的极大值点
第 1页，共 9页
7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷

2 为偶数猜想”等).已知数列 满足： 1 = 20， +1 = ，则 2025 =( )
3 + 1 为奇数
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8.已知 = ln2 1 ln32 , = e , = 3 ，则 ， ， 大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 的前 项和 2 = 5 3 ∈ ，则下列正确的是( )
A. 1 = 7 B. = 2 6
C. 取最小值时， = 3 D. 为递增数列
10.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用
水量不超过 的部分按照平价收费，超过 的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样
获得了 40 位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[0,0.5), [0.5,1)，…，[3,3.5)制作了频率分布直方
图，下列说法正确的有( )
A.第一组的频率为 0.1
B.该市居民月均用水量的众数的估计值为 2.25
C.如果希望 86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量 (吨)的最低标准的估计值为 2.7
D.在该样本中月均用水量少于 1 吨的 6 个居民中用随机抽样的方法抽取 2 人，则抽到的 2 人月均用水量都
不低于 0.5 吨的概率为 0.4
11 9.已知函数 ( ) = 3 6 2 + 2 + ( , ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )在[1,2]上单调递减，则 ≤ 2
B.当 = 2 时，若 ( )有 2 个零点，则实数 = 4 或 = 0
C.当 = 2 时，若 0 < < 1，则 ( ) < ( 2)
第 2页，共 9页
D.若直线 与曲线 = ( )有 3 个不同的交点 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，且| | = | |，则 1 + 2 + 3 =
6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.甲、乙等 5 位大学生分配到 3 所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、
乙分到同一单位的方案有 种．
13.曲线 ( ) = e + ln( + 1)在点(0, (0))处的切线方程为 ．
14.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) ( ) < 0，其中 ′( )是函数 ( )的导函数，若 (
2024) > ( 2024) (1)，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + + 2在 = 1 时取得极小值 0．
(1)求 + 的值；
(2)求 ( )在区间[ 3,3]上的最值．
16.(本小题 15 分)

已知数列 满足： = 1， = 1 +1 3 +1 ∈ ．
(1) 1证明： 是等差数列；
(2)设 =
1
2 ，记数列 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 是边长为 2 的正三角形， 1 = 3， ， 分别为
， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 1 1 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + (2 + 1) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
第 3页，共 9页
(2)当 < 0 3时，证明 ( ) ≤ 4 2；
(3)若对任意的不等正数 1,

，总有 1
2
2 > 2，求实数 的取值范围．1 2
19.(本小题 17 分)
在圆 2 + 2 = 4 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 , 为垂足，当点 在圆上运动时，线段 的中点
的轨迹为曲线 (当点经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合)．
(1)求曲线 的方程；
(2) 1, 2为曲线 与 轴的交点，过点 (3,0)作直线 交 于 , 两点(与 1， 2不重合)，直线 1 与 2 交于
点 ．
( )证明：点 在定直线上；
( )是否存在点 使得 ⊥ ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.36
13. = 2 + 1
14.(2024,2025)
15.解：(1)因为 ( ) = 3 + 3 2 + + 2，所以 ′( ) = 3 2 + 6 + ，
′( 1) = 3 6 + = 0 = 1 = 2
依题意 ，解得 或 ,
( 1) = 3 + 2 1 = 0 = 3 = 9
= 1
若 = 3，则
′( ) = 3 2 + 6 + 3 = 3( + 1)2 ≥ 0，则 ( )无极值点，不满足题意，
= 2
经检验 = 9符合题意，所以 + = 11．
(2)由(1)知 ( ) = 3 + 6 2 + 9 + 4，则 ′( ) = 3 2 + 12 + 9 = 3( + 1)( + 3)，
所以当 3 < < 1 时 ′( ) < 0，当 1 < < 3 时 ′( ) > 0，
所以 ( )在[ 3, 1)上单调递减，( 1,3]上单调递增，
则 ( )在 = 1 处取得极小值，
又 ( 3) = 4， ( 1) = 0， (3) = 112，
所以 ( )在[ 3,3]上的最小值为 0，最大值为 112．
16.解：(1)由已知得 ≠ 0，由 +1 = 3 ∈ +1
第 5页，共 9页
1
得 =
3 +1 = 3 + 1 1 1，即 = 3，
+1 +1
1 1
又 = 1，所以数列 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列；1
(2)由(1) 1 1得 = 1 + 3( 1) = 3 2，即 =

3 2
∈ ；
= 1所以 2 =
3 2
2
，
= 1 + 4 + 7 + + 3 2 1 = 1 + 4 7所以 21 22 23 2 ，2 22 23 + 24 + +
3 2
2 +1，
两式相减可得
1 1 3 3 3 3 3 2
2 = 2+ 2 + + + + 2 23 24 2 2 +1
1 1 1
= 1 4 2 1 3 22 + 3 × 1 2 +1 = 2
3 +4
2 +1，1 2
= 4 3 +4可得 2 ．
17.解：(1)在三棱柱 1 1 1中，由 1 ⊥底面 ， 平面 ，得 1 ⊥ ，
由 为等边三角形， 为 的中点，得 ⊥ ，
而 ∩ 1 = , , 1 平面 1 1 ，所以 ⊥平面 1 1 ．
(2)取 1 1中点 ，连结 ，由 为 的中点，得 ⊥ ，
由(1)知 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，则 ⊥ ，而 ⊥ ，
以点 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系 ，
(1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, 3) ( 1,3,0), ( 1则 ， 1 2 , 0,
3
2 )，
= ( 32 , 0,
3 )， 2 1
= ( 2,3,0)，设平面 1 的法向量 = ( , , )，
= 32 +
3
2 = 0则 ，令 = 1，得 = (1, 2 , 3)，而 = (1,0, 3)，
1 = 2 + 3 = 0
3

设直线 与平面 1 所成角为 ，则 sin = |cos , | =
| | 4 3
| ||
=
| 2 10
= ，
3 2
10
所以直线 3 10 10与平面 1 所成角的余弦值为 1 ( 210 ) = 10 ．
第 6页，共 9页
18.解：(1)由题意得： ( )定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1+ 2 + (2 + 1) = (2 +1)( +1) ；
当 ≥ 0 时，2 + 1 > 0， + 1 > 0，∴ ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，解得： = 12 ，
∴当 ∈ 0, 1 ′ 1 ′2 时， ( ) > 0；当 ∈ 2 , + ∞ 时， ( ) < 0；
∴ ( )在 0, 12 上单调递增，在
1
2 , + ∞ 上单调递减；
综上所述：当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；当 < 0 时， ( )在 0, 1 12 上单调递增，在 2 , + ∞
上单调递减．
(2)由(1)知： ( )max =
1
2 = ln
1 1
2 4 1；
要证 ( ) ≤ 3 2 1 1 3 1 14 ，只需证 ln 2 4 1 ≤ 4 2，即证 ln 2 + 2 + 1 ≤ 0；
设 ( ) = ln + 1，则 ′( ) = 1 1 = 1 ，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0；
∴ ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，∴ ( )max = (1) = 0；
1 > 0 ∴ 1 1 1 3又 2 ， 2 = ln 2 + 2 + 1 ≤ 0，即 ( ) ≤ 4 2．
(3) 不妨设 0 < 1 < 2，则由 1 2 > 2 得： 1 2 < 2 1 2 2，1 2
即 1 2 1 < 2 2 2，
令 ( ) = ( ) 2 ，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ′( ) = ′( ) 2 = 1 + 2 + 2 1 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
即 2 ( + 1) ≥ 1 1 = 1 1 1 ，又 + 1 > 0，∴ 2 ≥ ( +1) = 2+ ；
第 7页，共 9页
2
( ) = 1 ( > 0) ′( ) = + ( 1)(2 +1)
2
= +2 +1令 2+ ，则 ， 2+ 2 2+ 2
令 ′( ) = 0，解得： = 1 2(舍)或 = 2 + 1，
∴当 ∈ 0, 2 + 1 时， ′( ) > 0；当 ∈ 2 + 1, + ∞ 时， ′( ) < 0；
∴ ( )在 0, 2 + 1 上单调递增，在 2 + 1, + ∞ 上单调递减，
∴ ( )max = 2 + 1 =
2
4+3 2 = 3 2 2，∴ 2 ≥ 3 2 2 ≥
3 2 2
，解得： 2 ；
∴ 3 2 2的取值范围为 2 , + ∞ ．
19.解：(1)设点 的坐标为( , )，由 ⊥ 轴于 ， 为线段 的中点，得点 ( , 2 )，
2
由点 在圆 2 + 2 = 4 上，得 2 + 4 2 = 4，即 + 24 = 1，
2
所以点 的轨迹 的方程是 4 +
2 = 1．
(2)( )由(1)不妨令 1( 2,0), 2(2,0)，直线 不垂直于 轴，
设直线 : = + 3， ( 1, 1), ( 2, 2)，
= + 3
由 2 ，得( 22 + 4)
2 + 6 + 5 = 0，由 = 16 2 80 > 0，得 > 5或 < 5，
4 + = 1
+ = 6 则 1 2 2+4 , 1
5
2 = 2+4，5( 1 + 2) = 6 1 2，

直线 11 方程为 = +2 ( + 2)，直线

2 方程为 = 2 ( 2)，1 2 2
5
+2 = ( 1+2) 2 = ( 1+5) +5
( 1+ 2)+5 2
联立消去 ，得 2 1 2 2 6 2 ( 2) ( +1) = + = 5 = 5，2 1 2 1 1 2 1 6( 1+ 2)+ 1
解得 = 4 43，所以点 在直线 = 3上.
( )由 ⊥ ，得 1 ⊥ 2 ，则点 在以 1 2为直径的圆上，
设 ( 4 , ) 43 ，则( 3 )
2 + 2 = 4 2 5 4 2 5，解得 =± 3 ，即 ( 3 , ± 3 )，
5 =±
5
于是直线 的方程为 =± ( + 2)，由 5
( + 2)
2
1 5 2
消去 得 9 + 16 4 = 0，
4 +
2 = 1
4 1 2 4 5
而点 横坐标为 2，则点 横坐标 = 9 ( 2 ) = 9，纵坐标 =± 9 ，
所以直线 0 4 5的斜率 3
=± 25 ．
第 8页，共 9页
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑