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2024-2025 学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列 中，若 6 = 7， 5 + 8 = 15，则公差 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.集合 = 1, 2,3 ， = 3,5,6, 4 ，从集合 中取一个元素作为点的横坐标，从集合 中取一个元素
作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有( )种
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3 1 1.已知数列 满足 +1 = 1 ，若 1 = 2，则 2025等于( )
A. 12 B. 2 C. 1 D. 1
4.若函数 ( ) = 3 2 2 + + 3 无极值，则 的取值范围是( )
A. ∞, 43 B. ∞,
4
3 C.
4 , + ∞ D. 43 3 , + ∞
5.已知数列 为等比数列，其中 6， 10为方程 2 + 2025 + 3 = 0 的两根．则 8 =( )
A. 12 B. 3 C. 3 D. ± 3
6.设函数 ( )是 上可导的偶函数，且 (3) = 2，当 > 0，满足 2 ( ) + ′( ) > 1，则 2 ( ) < 18 的解
集为( )
A. ( ∞, 3) B. (3, + ∞)
C. ( 3,3) D. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 本身不是等差数列，
但从数列 中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 ，则称数列 为一阶等差数列，或
者 仍旧不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 ，则称数
列 为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶
等比数列，设数列 1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第 10 项是( )
A. 210 B. 215 C. 221 D. 236
8 = .若曲线 ( < 0)与 = e
，恰有 2 条公切线，则 =( )
A. 1 1 1e B. e C. e2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
A. ( 1) < (1)
B. (2) < (3)
C. ( )有 2 个极大值点，1 个极小值点
D. ( )的单调递减区间为( 2,2)，(4, + ∞)
10.已知数列 的前 项和为 ( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.若 是等差数列， 15 + 16 > 0， 15 + 17 < 0，则使 > 0 的最大正整数 的值为 15
B.若 是等比数列， = 5 + ( 为常数)，则必有 = 1
C.若 是等比数列， 2， 4 2， 6 4也为等比数列
D.若 + 4
1
1 = 0( ≥ 2)， 1 = 4，则数列{
1
}为递增等差数列
11.已知 ( ) = e ， ( ) = ln .若存在 1 ∈ ， 2 ∈ (0, + ∞)，使得 1 = 2 = 成立，则下列结论中
正确的是( )
A.当 > 0 时， 1 2 = B.当 > 0 时，eln ≤ 1 2
C.存在 ，使得 ′ 1 = ′ 2 成立 D. ( ) > ( ) + 恒成立，则 ≤ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若抛物线 2 = 2 经过点(6,6)，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．
13.已知数列 1 的前 项和 = 2 + ，设 = , 为数列 的前 项和，若对任意的 ∈
，不等
+1
式 < + 3 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
ln , > 0,
14.已知函数 ( ) = 0, = 0,，则下列命题叙述正确的是 . (填写番号)
1
2 ( + 1), < 0,
①当 ∈ ( 3, 2] ( ) = 1时， 8 ( + 3)ln( + 3)；
②若不等式 ( ) < 0 至少有 3 个正整数解，则 > ln3；
③过点 e 2, 0 作函数 = ( )( > 0)图象的切线有且只有一条；

④设实数 > 0，若对任意的 ≥ e ( ) ≥ ，不等式 e 恒成立，则 的最大值是 e．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)若 = ，求二面角 的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + 2， ( ) = ( ) 2 ．
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程．
(2)求函数 ( )的极值．
(3)若函数 = ( ) + 在区间 e, + ∞ 上为单调递增函数，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 且满足 = 2 2 ∈ N ；等差数列 满足 1 = 1，且 2， 3 + 1， 6 + 1
成等比数列．
(1)求数列 与 的通项公式；
(2) 求数列 的最大项；
(3)记数列 的前 项和为 ，求 ，
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其右焦点 (1,0)的最大距离为 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为 , ，过点 的直线 与椭圆交于 , 两点(异于 , ).
①若 的面积为 15，求直线 的方程；
②若直线 与直线 交于点 ，证明：点 在一条定直线上．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ( ∈ R, e 为自然对数的底数)， ( ) = ln + + 1．
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(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)当 = 1 时， ( ) + ≥ ( )对任意的 ∈ (0, + ∞)恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.( ∞,30)
14.①③④
15.解：(1)证明：因为底面 为正方形，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ；
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ ， 与 相交， , 平面 ．
所以 ⊥平面 ．
(2)解：以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 = = 1，则 (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)， (0,0,1)，则 = ( 1,0,1)， = (0,1,0)， = ( 1,1,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 + = 0
，即
= 0 = 0
，令 = 1，则 = 1，
所以平面 的一个法向量为 = (1,0,1)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，

则 = 0 + = 0 ，即 = 0 + = 0
，令 = 1，则 = = 1，
所以平面 的一个法向量为 = (1,1,1)．
cos , = 2 6 = 2× 3 = 3 ，
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易知二面角 的平面角为锐角，故二面角 6的余弦值为 3 ．
16.解：(1) ∵ ( ) = ln + 2，∴ ′( ) = ln + 1，∴ (1) = 2， ′(1) = 1，
∴曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 2 = 1，即 + 1 = 0；
(2) ∵ ( ) = ( ) 2 = ln 2 + 2，∴ ′( ) = ln 1，
由 ′( ) > 0，得 > e，由 ′( ) < 0 得 0 < < e，
∴ ( )在 0, e 单调递减，在 e, + ∞ 单调递增，
∴当 = e 时， ( )有极小值 e = 2 e，无极大值；
(3)设函数 ( ) = ( ) + = ln + + 2，则 ′( ) = ln + + 1，
∵函数 ( ) = ( ) + 在区间 e, + ∞ 上为单调递增函数，
∴ ′( ) ≥ 0 在 e, + ∞ 恒成立，即 ≥ ln 1 在 e, + ∞ 恒成立，
设 ( ) = ln 1， ∈ e, + ∞ ，则 ′( ) = 1 ，
∵ ∈ e, + ∞ ，∴ ′( ) = 1 < 0，∴ ( ) = ln 1 在区间 e, + ∞ 上单调递减，
∴ ( ) < e = 2，∴ ≥ 2，
∴实数 的取值范围为[ 2, + ∞)．
17.解：(1) ∵ = 2 2, ∴ +1 = 2 +1 2，且 1 = 2 1 2， 1 = 2，
∴ +1 = +1 = 2 +1 2 2 2 = 2 +1 2 ，
∴ +1 = 2 ，
所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 = 2 ．
设等差数列 的公差为 ，
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则由 + 1 23 = 22 6 + 1 ，得(2 + 2 ) = (1 + )(2 + 5 )，
解得： = 1(舍)，或 = 2，所以 = 2 1．
(2)由(1) 可知 =
2 1
2 , ∴
+1 2 +1 2 1 = 2 +1 2 =
3 2
+1 2 +1
，
当 = 1 时， +1 2 1 > 0，所以 > 0， +1 2 1
当 ≥ 2 时， +1 +1 < 0，所以 < ． +1 +1
3 3
经分析可知当 = 2 时， 2 = 4最大，且最大值为2 4
．
(3)由(1)可知， = (2 1) × 2 ，设 = ，
则 = 1 + 2 + 3 + + 1 + ，
∴ = 1 × 21 + 3 × 22 + 5 × 23 + + (2 3) × 2 1 + (2 1) × 2
∴ 2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + + (2 3) × 2 + (2 1) × 2 +1
两式相减得 2 3 +1 = 2 + 2 × 2 + 2 + + 2 (2 1) × 2
22 × 1 2 1
= 2 + 2 × 1 2 (2 1) × 2
+1 = (3 2 ) × 2 +1 6
故 = (2 3) × 2 +1 + 6．
18.解：(1)由题意可知， = 1, + = 3，所以 = 2．
又 2 = 2 2 = 4 1 = 3，

2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1；
(2)①设过点 (1,0)的直线方程为 = + 1，点 1, 1 , 2, 2 ，
2 2
联立 4 + 3 = 1，得 3 2 + 4 2 + 6 9 = 0，
= + 1
+ = 6 9则 1 2 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，
2
则| | = 1 + 2 1 + 2
12 +1
2 4 1 2 = 3 2+4 ．
又因为点 ( 2,0) 3到直线 的距离 = ．
1+ 2
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= 1
2
令 2 | | =
18 1+ 6
3 2+4 = 15，解得 =± 3 ，
所以直线 的方程为 3 ± 6 3 = 0．
②由①知 ( 2,0), (2,0)，
则直线 : = 1 2 2 ( 2)，直线 : = +2 ( + 2)，1 2
= 1 2 ( 2)1 +2 = 2+2 1 = +3 由 2 ，整理得
1 2 1．
= +2 ( + 2)
2 1 2 2 1 2 2
2
+ 6 9由①知 1 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，得 1 2 =
3
2 1 + 2 ，
9 3
+2
所以 = 1 2+3 1
+
2 =
2 1 2 2 = 3，
1 2 2 3 12 1+2 2
+2
即 2 = 3，解得 = 4，
所以点 在直线 = 4 上．
19. 1 +1解：(1)易知 ( )定义域为(0, + ∞)，又 ′( ) = + = ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立，此时 ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 < 0 1时，令 ′( ) = 0，则 = ，
又 ∈ 0, 1 时，
′( ) > 0； ∈ 1 , + ∞ 时，
′( ) < 0
所以 ( )在 0, 1 1 单调递增，在 , + ∞ 单调递减．
综上所述，当 ≥ 0 时， ( )在区间(0, + ∞)单调递增，
< 0 时， ( ) 1 1在区间 0, 单调递增，在区间 , + ∞ 单调递减．
(2)因为 ( )有两个零点 关于 的方程e = 有两个相异实根，
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由e > 0，知 > 0，由e = ，得到 = ln ，即 = ln ，
∴ ( ) ln 有两个零点 = 有两个相异实根，
( ) = ln 令 ( > 0)
′( ) = 1 ln ，则 2 ，令
′( ) = 0，得到 = e，
当 0 < < e 时， ′( ) > 0，当 > e 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在区间 0, e 上单调递增，在区间 e, + ∞ 上单调递减，
∴ ( )max = e =
1
e，又 → 0 时， ( ) → ∞， →+∞时， ( ) → 0，
则 ( ) = ln ( > 0)的图象如图，
1
由图知，当 ( )有两个零点时，实数 的取值范围为 0, e ．
(3)当 = 1 时， ( ) = e ，
所以原命题等价于 e ≥ ln + + 1 对一切 ∈ (0, + ∞)恒成立，
ln 1
即 ≤ e 对一切 ∈ (0, + ∞)恒成立，
( ) = e ln 1令 ( > 0)，则 ≤ ( )min，
2
又 ′( ) = e + ln e +ln 2 2 = 2 ，令 ( ) = e + ln ， ∈ (0, + ∞)，
则 ′( ) = 2 e + 2e + 1 > 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
1
又 (1) = e > 0， 1 = ee 2e 1 < e
0 1 = 0，所以 0 ∈
1
e , 1 ，使 0 = 0，
即 2 0e 0 + ln 0 = 0①，
当 ∈ 0, 0 时， ( ) < 0，当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0，
所以 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
( ) = = e 0 ln 0 1所以 min 0 ，由①知
2
0e 0 = ln 0，
0 0
1
∴ ln 0 1 1 1
ln
0e 0 = = 0 0
ln = ln e ，0 0 0
令 ( ) = e ( > 0)，则 ′( ) = ( + 1)e > 0 恒成立，
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所以函数 ( ) = e 在(0, + ∞)单调递增，
所以 0 = ln
1
，即 0 = ln 0，则 ( )
ln 0 1 1 1
min = e 0 0 0
=
0
+ 1 = 1，0 0
所以 ≤ 1，故实数 的取值范围为( ∞,1]．
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