资源简介 2024-2025 学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列 中,若 6 = 7, 5 + 8 = 15,则公差 =( )A. 1 B. 1 C. 2 D. 22.集合 = 1, 2,3 , = 3,5,6, 4 ,从集合 中取一个元素作为点的横坐标,从集合 中取一个元素作为点的纵坐标,则该点在第一象限内有( )种A. 6 B. 5 C. 4 D. 33 1 1.已知数列 满足 +1 = 1 ,若 1 = 2,则 2025等于( )A. 12 B. 2 C. 1 D. 14.若函数 ( ) = 3 2 2 + + 3 无极值,则 的取值范围是( )A. ∞, 43 B. ∞,43 C.4 , + ∞ D. 43 3 , + ∞5.已知数列 为等比数列,其中 6, 10为方程 2 + 2025 + 3 = 0 的两根.则 8 =( )A. 12 B. 3 C. 3 D. ± 36.设函数 ( )是 上可导的偶函数,且 (3) = 2,当 > 0,满足 2 ( ) + ′( ) > 1,则 2 ( ) < 18 的解集为( )A. ( ∞, 3) B. (3, + ∞)C. ( 3,3) D. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题,即一个数列 本身不是等差数列,但从数列 中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列 ,则称数列 为一阶等差数列,或者 仍旧不是等差数列,但从 数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列 ,则称数列 为二阶等差数列,依次类推,可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义,我们亦可定义高阶等比数列,设数列 1,1,2,8,64,……是一阶等比数列,则该数列的第 10 项是( )A. 210 B. 215 C. 221 D. 2368 = .若曲线 ( < 0)与 = e ,恰有 2 条公切线,则 =( )A. 1 1 1e B. e C. e2 D. 1二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。第 1页,共 10页9.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示,则( )A. ( 1) < (1)B. (2) < (3)C. ( )有 2 个极大值点,1 个极小值点D. ( )的单调递减区间为( 2,2),(4, + ∞)10.已知数列 的前 项和为 ( ∈ ),则下列说法正确的是( )A.若 是等差数列, 15 + 16 > 0, 15 + 17 < 0,则使 > 0 的最大正整数 的值为 15B.若 是等比数列, = 5 + ( 为常数),则必有 = 1C.若 是等比数列, 2, 4 2, 6 4也为等比数列D.若 + 4 1 1 = 0( ≥ 2), 1 = 4,则数列{1 }为递增等差数列 11.已知 ( ) = e , ( ) = ln .若存在 1 ∈ , 2 ∈ (0, + ∞),使得 1 = 2 = 成立,则下列结论中正确的是( )A.当 > 0 时, 1 2 = B.当 > 0 时,eln ≤ 1 2C.存在 ,使得 ′ 1 = ′ 2 成立 D. ( ) > ( ) + 恒成立,则 ≤ 2三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.若抛物线 2 = 2 经过点(6,6),则该抛物线的焦点到准线的距离为 .13.已知数列 1 的前 项和 = 2 + ,设 = , 为数列 的前 项和,若对任意的 ∈ ,不等 +1式 < + 3 恒成立,则实数 的取值范围为 . ln , > 0,14.已知函数 ( ) = 0, = 0,,则下列命题叙述正确的是 . (填写番号)12 ( + 1), < 0,①当 ∈ ( 3, 2] ( ) = 1时, 8 ( + 3)ln( + 3);②若不等式 ( ) < 0 至少有 3 个正整数解,则 > ln3;③过点 e 2, 0 作函数 = ( )( > 0)图象的切线有且只有一条; ④设实数 > 0,若对任意的 ≥ e ( ) ≥ ,不等式 e 恒成立,则 的最大值是 e.第 2页,共 10页四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, ⊥ , ⊥ .(1)证明: ⊥平面 .(2)若 = ,求二面角 的余弦值.16.(本小题 15 分)已知函数 ( ) = ln + 2, ( ) = ( ) 2 .(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程.(2)求函数 ( )的极值.(3)若函数 = ( ) + 在区间 e, + ∞ 上为单调递增函数,求实数 的取值范围.17.(本小题 15 分)已知数列 的前 项和为 且满足 = 2 2 ∈ N ;等差数列 满足 1 = 1,且 2, 3 + 1, 6 + 1成等比数列.(1)求数列 与 的通项公式;(2) 求数列 的最大项; (3)记数列 的前 项和为 ,求 ,18.(本小题 17 分) 2 2已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其右焦点 (1,0)的最大距离为 3.(1)求椭圆 的方程;(2)设椭圆的左、右顶点分别为 , ,过点 的直线 与椭圆交于 , 两点(异于 , ).①若 的面积为 15,求直线 的方程;②若直线 与直线 交于点 ,证明:点 在一条定直线上.19.(本小题 17 分)已知函数 ( ) = e ( ∈ R, e 为自然对数的底数), ( ) = ln + + 1.第 3页,共 10页(1)讨论 ( )的单调性;(2)若 ( )有两个零点,求实数 的取值范围;(3)当 = 1 时, ( ) + ≥ ( )对任意的 ∈ (0, + ∞)恒成立,求实数 的取值范围.第 4页,共 10页参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.313.( ∞,30)14.①③④15.解:(1)证明:因为底面 为正方形,所以 ⊥ .又因为 ⊥ , ∩ = , , 平面 ,所以 ⊥平面 ;因为 平面 ,所以 ⊥ .因为 ⊥ , 与 相交, , 平面 .所以 ⊥平面 .(2)解:以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设 = = 1,则 (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),则 = ( 1,0,1), = (0,1,0), = ( 1,1,0).设平面 的法向量为 = ( , , ),则 = 0 + = 0 ,即 = 0 = 0,令 = 1,则 = 1,所以平面 的一个法向量为 = (1,0,1).设平面 的法向量为 = ( , , ),