四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二(下)半期考试数学试卷(PDF版,含答案)

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四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二(下)半期考试数学试卷(PDF版,含答案)

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2024-2025 学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列 中,若 6 = 7, 5 + 8 = 15,则公差 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.集合 = 1, 2,3 , = 3,5,6, 4 ,从集合 中取一个元素作为点的横坐标,从集合 中取一个元素
作为点的纵坐标,则该点在第一象限内有( )种
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3 1 1.已知数列 满足 +1 = 1 ,若 1 = 2,则 2025等于( )
A. 12 B. 2 C. 1 D. 1
4.若函数 ( ) = 3 2 2 + + 3 无极值,则 的取值范围是( )
A. ∞, 43 B. ∞,
4
3 C.
4 , + ∞ D. 43 3 , + ∞
5.已知数列 为等比数列,其中 6, 10为方程 2 + 2025 + 3 = 0 的两根.则 8 =( )
A. 12 B. 3 C. 3 D. ± 3
6.设函数 ( )是 上可导的偶函数,且 (3) = 2,当 > 0,满足 2 ( ) + ′( ) > 1,则 2 ( ) < 18 的解
集为( )
A. ( ∞, 3) B. (3, + ∞)
C. ( 3,3) D. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题,即一个数列 本身不是等差数列,
但从数列 中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列 ,则称数列 为一阶等差数列,或
者 仍旧不是等差数列,但从 数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列 ,则称数
列 为二阶等差数列,依次类推,可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义,我们亦可定义高阶
等比数列,设数列 1,1,2,8,64,……是一阶等比数列,则该数列的第 10 项是( )
A. 210 B. 215 C. 221 D. 236
8 = .若曲线 ( < 0)与 = e
,恰有 2 条公切线,则 =( )
A. 1 1 1e B. e C. e2 D. 1
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
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9.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示,则( )
A. ( 1) < (1)
B. (2) < (3)
C. ( )有 2 个极大值点,1 个极小值点
D. ( )的单调递减区间为( 2,2),(4, + ∞)
10.已知数列 的前 项和为 ( ∈ ),则下列说法正确的是( )
A.若 是等差数列, 15 + 16 > 0, 15 + 17 < 0,则使 > 0 的最大正整数 的值为 15
B.若 是等比数列, = 5 + ( 为常数),则必有 = 1
C.若 是等比数列, 2, 4 2, 6 4也为等比数列
D.若 + 4
1
1 = 0( ≥ 2), 1 = 4,则数列{
1
}为递增等差数列
11.已知 ( ) = e , ( ) = ln .若存在 1 ∈ , 2 ∈ (0, + ∞),使得 1 = 2 = 成立,则下列结论中
正确的是( )
A.当 > 0 时, 1 2 = B.当 > 0 时,eln ≤ 1 2
C.存在 ,使得 ′ 1 = ′ 2 成立 D. ( ) > ( ) + 恒成立,则 ≤ 2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若抛物线 2 = 2 经过点(6,6),则该抛物线的焦点到准线的距离为 .
13.已知数列 1 的前 项和 = 2 + ,设 = , 为数列 的前 项和,若对任意的 ∈
,不等
+1
式 < + 3 恒成立,则实数 的取值范围为 .
ln , > 0,
14.已知函数 ( ) = 0, = 0,,则下列命题叙述正确的是 . (填写番号)
1
2 ( + 1), < 0,
①当 ∈ ( 3, 2] ( ) = 1时, 8 ( + 3)ln( + 3);
②若不等式 ( ) < 0 至少有 3 个正整数解,则 > ln3;
③过点 e 2, 0 作函数 = ( )( > 0)图象的切线有且只有一条;

④设实数 > 0,若对任意的 ≥ e ( ) ≥ ,不等式 e 恒成立,则 的最大值是 e.
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四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, ⊥ , ⊥ .
(1)证明: ⊥平面 .
(2)若 = ,求二面角 的余弦值.
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + 2, ( ) = ( ) 2 .
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程.
(2)求函数 ( )的极值.
(3)若函数 = ( ) + 在区间 e, + ∞ 上为单调递增函数,求实数 的取值范围.
17.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 且满足 = 2 2 ∈ N ;等差数列 满足 1 = 1,且 2, 3 + 1, 6 + 1
成等比数列.
(1)求数列 与 的通项公式;
(2) 求数列 的最大项;
(3)记数列 的前 项和为 ,求 ,
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其右焦点 (1,0)的最大距离为 3.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为 , ,过点 的直线 与椭圆交于 , 两点(异于 , ).
①若 的面积为 15,求直线 的方程;
②若直线 与直线 交于点 ,证明:点 在一条定直线上.
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ( ∈ R, e 为自然对数的底数), ( ) = ln + + 1.
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(1)讨论 ( )的单调性;
(2)若 ( )有两个零点,求实数 的取值范围;
(3)当 = 1 时, ( ) + ≥ ( )对任意的 ∈ (0, + ∞)恒成立,求实数 的取值范围.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.( ∞,30)
14.①③④
15.解:(1)证明:因为底面 为正方形,所以 ⊥ .
又因为 ⊥ , ∩ = , , 平面 ,所以 ⊥平面 ;
因为 平面 ,所以 ⊥ .
因为 ⊥ , 与 相交, , 平面 .
所以 ⊥平面 .
(2)解:以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设 = = 1,则 (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),则 = ( 1,0,1), = (0,1,0), = ( 1,1,0).
设平面 的法向量为 = ( , , ),
则 = 0 + = 0
,即
= 0 = 0
,令 = 1,则 = 1,
所以平面 的一个法向量为 = (1,0,1).
设平面 的法向量为 = ( , , ),

则 = 0 + = 0 ,即 = 0 + = 0
,令 = 1,则 = = 1,
所以平面 的一个法向量为 = (1,1,1).
cos , = 2 6 = 2× 3 = 3 ,
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易知二面角 的平面角为锐角,故二面角 6的余弦值为 3 .
16.解:(1) ∵ ( ) = ln + 2,∴ ′( ) = ln + 1,∴ (1) = 2, ′(1) = 1,
∴曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 2 = 1,即 + 1 = 0;
(2) ∵ ( ) = ( ) 2 = ln 2 + 2,∴ ′( ) = ln 1,
由 ′( ) > 0,得 > e,由 ′( ) < 0 得 0 < < e,
∴ ( )在 0, e 单调递减,在 e, + ∞ 单调递增,
∴当 = e 时, ( )有极小值 e = 2 e,无极大值;
(3)设函数 ( ) = ( ) + = ln + + 2,则 ′( ) = ln + + 1,
∵函数 ( ) = ( ) + 在区间 e, + ∞ 上为单调递增函数,
∴ ′( ) ≥ 0 在 e, + ∞ 恒成立,即 ≥ ln 1 在 e, + ∞ 恒成立,
设 ( ) = ln 1, ∈ e, + ∞ ,则 ′( ) = 1 ,
∵ ∈ e, + ∞ ,∴ ′( ) = 1 < 0,∴ ( ) = ln 1 在区间 e, + ∞ 上单调递减,
∴ ( ) < e = 2,∴ ≥ 2,
∴实数 的取值范围为[ 2, + ∞).
17.解:(1) ∵ = 2 2, ∴ +1 = 2 +1 2,且 1 = 2 1 2, 1 = 2,
∴ +1 = +1 = 2 +1 2 2 2 = 2 +1 2 ,
∴ +1 = 2 ,
所以数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 = 2 .
设等差数列 的公差为 ,
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则由 + 1 23 = 22 6 + 1 ,得(2 + 2 ) = (1 + )(2 + 5 ),
解得: = 1(舍),或 = 2,所以 = 2 1.
(2)由(1) 可知 =
2 1
2 , ∴
+1 2 +1 2 1 = 2 +1 2 =
3 2
+1 2 +1

当 = 1 时, +1 2 1 > 0,所以 > 0, +1 2 1
当 ≥ 2 时, +1 +1 < 0,所以 < . +1 +1
3 3
经分析可知当 = 2 时, 2 = 4最大,且最大值为2 4

(3)由(1)可知, = (2 1) × 2 ,设 = ,
则 = 1 + 2 + 3 + + 1 + ,
∴ = 1 × 21 + 3 × 22 + 5 × 23 + + (2 3) × 2 1 + (2 1) × 2
∴ 2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + + (2 3) × 2 + (2 1) × 2 +1
两式相减得 2 3 +1 = 2 + 2 × 2 + 2 + + 2 (2 1) × 2
22 × 1 2 1
= 2 + 2 × 1 2 (2 1) × 2
+1 = (3 2 ) × 2 +1 6
故 = (2 3) × 2 +1 + 6.
18.解:(1)由题意可知, = 1, + = 3,所以 = 2.
又 2 = 2 2 = 4 1 = 3,

2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1;
(2)①设过点 (1,0)的直线方程为 = + 1,点 1, 1 , 2, 2 ,
2 2
联立 4 + 3 = 1,得 3 2 + 4 2 + 6 9 = 0,
= + 1
+ = 6 9则 1 2 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4,
2
则| | = 1 + 2 1 + 2
12 +1
2 4 1 2 = 3 2+4 .
又因为点 ( 2,0) 3到直线 的距离 = .
1+ 2
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= 1
2
令 2 | | =
18 1+ 6
3 2+4 = 15,解得 =± 3 ,
所以直线 的方程为 3 ± 6 3 = 0.
②由①知 ( 2,0), (2,0),
则直线 : = 1 2 2 ( 2),直线 : = +2 ( + 2),1 2
= 1 2 ( 2)1 +2 = 2+2 1 = +3 由 2 ,整理得
1 2 1.
= +2 ( + 2)
2 1 2 2 1 2 2
2
+ 6 9由①知 1 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4,得 1 2 =
3
2 1 + 2 ,
9 3
+2
所以 = 1 2+3 1
+
2 =
2 1 2 2 = 3,
1 2 2 3 12 1+2 2
+2
即 2 = 3,解得 = 4,
所以点 在直线 = 4 上.
19. 1 +1解:(1)易知 ( )定义域为(0, + ∞),又 ′( ) = + = ,
当 ≥ 0 时, ′( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立,此时 ( )在(0, + ∞)单调递增,
当 < 0 1时,令 ′( ) = 0,则 = ,
又 ∈ 0, 1 时,
′( ) > 0; ∈ 1 , + ∞ 时,
′( ) < 0
所以 ( )在 0, 1 1 单调递增,在 , + ∞ 单调递减.
综上所述,当 ≥ 0 时, ( )在区间(0, + ∞)单调递增,
< 0 时, ( ) 1 1在区间 0, 单调递增,在区间 , + ∞ 单调递减.
(2)因为 ( )有两个零点 关于 的方程e = 有两个相异实根,
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由e > 0,知 > 0,由e = ,得到 = ln ,即 = ln ,
∴ ( ) ln 有两个零点 = 有两个相异实根,
( ) = ln 令 ( > 0)
′( ) = 1 ln ,则 2 ,令
′( ) = 0,得到 = e,
当 0 < < e 时, ′( ) > 0,当 > e 时, ′( ) < 0,
∴ ( )在区间 0, e 上单调递增,在区间 e, + ∞ 上单调递减,
∴ ( )max = e =
1
e,又 → 0 时, ( ) → ∞, →+∞时, ( ) → 0,
则 ( ) = ln ( > 0)的图象如图,
1
由图知,当 ( )有两个零点时,实数 的取值范围为 0, e .
(3)当 = 1 时, ( ) = e ,
所以原命题等价于 e ≥ ln + + 1 对一切 ∈ (0, + ∞)恒成立,
ln 1
即 ≤ e 对一切 ∈ (0, + ∞)恒成立,
( ) = e ln 1令 ( > 0),则 ≤ ( )min,
2
又 ′( ) = e + ln e +ln 2 2 = 2 ,令 ( ) = e + ln , ∈ (0, + ∞),
则 ′( ) = 2 e + 2e + 1 > 0 恒成立,所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增,
1
又 (1) = e > 0, 1 = ee 2e 1 < e
0 1 = 0,所以 0 ∈
1
e , 1 ,使 0 = 0,
即 2 0e 0 + ln 0 = 0①,
当 ∈ 0, 0 时, ( ) < 0,当 ∈ 0, + ∞ 时, ( ) > 0,
所以 ( )在 0, 0 上单调递减,在 0, + ∞ 上单调递增,
( ) = = e 0 ln 0 1所以 min 0 ,由①知
2
0e 0 = ln 0,
0 0
1
∴ ln 0 1 1 1
ln
0e 0 = = 0 0
ln = ln e ,0 0 0
令 ( ) = e ( > 0),则 ′( ) = ( + 1)e > 0 恒成立,
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所以函数 ( ) = e 在(0, + ∞)单调递增,
所以 0 = ln
1
,即 0 = ln 0,则 ( )
ln 0 1 1 1
min = e 0 0 0
=
0
+ 1 = 1,0 0
所以 ≤ 1,故实数 的取值范围为( ∞,1].
第 10页,共 10页

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