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2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，且，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布规律为，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，共面，则实数的值是( )
A. B. C. D.
5.甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是( )
A. B. C. D.
6.设，且，若能被整除，则( )
A. B. C. D.
7.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
8.为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派名、名、名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为、、，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于随机变量的说法正确的是( )
A. 若服从正态分布，则
B. 已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则
C. 若服从超几何分布，则期望
D. 若服从二项分布，则方差
10.设随机事件，满足，，，则( )
A. B. ，相互独立 C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 、、、四点共面
B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方体的棱长为，则的值为 ．
13.展开式中含项的系数是 ．
14.如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式的展开式中二项式系数的和为．
求展开式中各项的系数和；
求展开式的常数项．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
求证：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
现有男女共个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？
某医院有内科医生名，其中名女医生，有外科医生名，其中只有名女医生．现选派名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须名男医生名女医生，且每队由名外科医生名内科医生组成，有多少种派法？最后结果都用数字作答
18.本小题分
为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；
学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，“选两项”全对得分，选对一个得分，有错选得分，“选三项”全对得分，选对一个得分，对两个得分，有错选得分试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望．
19.本小题分
请在以下两个组合恒等式中选择一个证明如果两个都选，则按第个计分；
，．
某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班名同学中选取人组成班委团队，并选举人担任班长，共有多少种不同的选举方法一方面，可以首先从名同学中选取人组成班委团队，再从人中选取人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从名同学中选取人做班长，再在余下的名同学中选取人做其余的班委，则共有所以：据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
化简：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】由二项式的展开式中二项式系数的和为，得，解得，
令，得，所以的展开式中各项的系数和为．
二项式的展开式的通项为：，，
令，解得，所以二项式的展开式的常数项为．

16.【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，则
即，不妨令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，则
即，不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，所以平面平面．
由知，，所以，，
因为，所以，即，解得，
故，所以，由知，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．

17.【详解】两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法；
本不同的书分给位同学，可以分成，，，或，，，两种情况，
若是，，，分组，则有种，
若是，，，分组，则有种，合计种方法；
若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的名男医生都被派出，
有种派法；
若甲、乙两地安排到的名女医生一个是内科医生一个是外科医生，
有两种情况：甲内科为女医生，而乙外科有女医生，
此时派法有种，
甲外科有女医生，乙内科为女医生，则派法有种，
合计种方法；
综上共有种派法．

18.【详解】由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为．
记甲同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以甲同学得分的数学期望为．
记乙同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以乙同学得分的数学期望为．

19.【详解】证明：
；
证明：
．
令为，为，
由，可得．
证明：．
由得，即，
原式
．
【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形．

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