江苏省淮安市马坝高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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江苏省淮安市马坝高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年江苏省淮安市马坝高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,,且,则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布规律为,则( )
A. B. C. D.
4.已知向量,,共面,则实数的值是( )
A. B. C. D.
5.甲,乙二人同时射击,甲的命中率为,乙的命中率为,则命中目标的概率是( )
A. B. C. D.
6.设,且,若能被整除,则( )
A. B. C. D.
7.如图,三棱柱中,为棱的中点,若,,,则( )
A. B.
C. D.
8.为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,某校在第个植树节来临之际,从高一、高二、高三中分别选派名、名、名学生参加植树造绿活动,其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为、、,活动结束后,随机推选一名学生汇报活动体会,如果选到的是女生,则该生不是高二同学的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列关于随机变量的说法正确的是( )
A. 若服从正态分布,则
B. 已知随机变量服从二项分布,且,随机变量服从正态分布,若,则
C. 若服从超几何分布,则期望
D. 若服从二项分布,则方差
10.设随机事件,满足,,,则( )
A. B. ,相互独立 C. D.
11.如图,在棱长为的正方体中,、、分别是、、的中点,则下列结论正确的是( )
A. 、、、四点共面
B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知正方体的棱长为,则的值为 .
13.展开式中含项的系数是 .
14.如图,在三棱柱中中,两两互相垂直,是线段上的点,平面与平面所成锐二面角为,当最小时, .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式的展开式中二项式系数的和为.
求展开式中各项的系数和;
求展开式的常数项.
16.本小题分
如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面,,,为的中点.
求证:平面平面;
若,求直线与平面所成角的正弦值.
17.本小题分
现有男女共个人排成一排照相,其中两个女生相邻的排法种数为多少?
把本不同的书分给位学生,每人至少一本,有多少种方法?
某医院有内科医生名,其中名女医生,有外科医生名,其中只有名女医生.现选派名去甲、乙两地参加赈灾医疗队,要求每队必须名男医生名女医生,且每队由名外科医生名内科医生组成,有多少种派法?最后结果都用数字作答
18.本小题分
为了研究新高考数学多选题的答题规律,某数学兴趣小组研究发现:多选题正确答案是“选两项”的概率为,正确答案是“选三项”的概率为现有学生甲、乙两人,由于数学基础很差,多选题完全没有思路,只能靠猜.
求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率;
学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,“选两项”全对得分,选对一个得分,有错选得分,“选三项”全对得分,选对一个得分,对两个得分,有错选得分试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望.
19.本小题分
请在以下两个组合恒等式中选择一个证明如果两个都选,则按第个计分;
,.
某同学在研究组合问题时解决了如下问题:从全班名同学中选取人组成班委团队,并选举人担任班长,共有多少种不同的选举方法一方面,可以首先从名同学中选取人组成班委团队,再从人中选取人做班长,则共有种选举方法;另一方面,也可以首先从名同学中选取人做班长,再在余下的名同学中选取人做其余的班委,则共有所以:据此请你提出一个较一般的结论,并证明你的结论;
化简:.
参考答案
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15.【详解】由二项式的展开式中二项式系数的和为,得,解得,
令,得,所以的展开式中各项的系数和为.
二项式的展开式的通项为:,,
令,解得,所以二项式的展开式的常数项为.

16.【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,设,
则,,,,
,,.
设平面的一个法向量为,则
即,不妨令,则,,
所以,
设平面的一个法向量为,则
即,不妨令,则,,
所以,
因为,
所以,所以平面平面.
由知,,所以,,
因为,所以,即,解得,
故,所以,由知,
设直线与平面所成的角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.

17.【详解】两个女生一起视作一人,符合要求的排法数为种方法;
本不同的书分给位同学,可以分成,,,或,,,两种情况,
若是,,,分组,则有种,
若是,,,分组,则有种,合计种方法;
若两地安排到的女医生都为内科医生,则外科的名男医生都被派出,
有种派法;
若甲、乙两地安排到的名女医生一个是内科医生一个是外科医生,
有两种情况:甲内科为女医生,而乙外科有女医生,
此时派法有种,
甲外科有女医生,乙内科为女医生,则派法有种,
合计种方法;
综上共有种派法.

18.【详解】由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为.
记甲同学答一道多选题得分为,则,
;;,
所以甲同学得分的数学期望为.
记乙同学答一道多选题得分为,则,
;;,
所以乙同学得分的数学期望为.

19.【详解】证明:

证明:

令为,为,
由,可得.
证明:.
由得,即,
原式

【点睛】方法点睛:排列组合数相关的化简计算,主要在于将其计算式写出来,然后通过分式的性质对其进行变形.

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