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2024-2025 学年江苏省徐州市第三中学高二下学期 4 月期中调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是( )
A. 12 种 B. 14 种 C. 16 种 D. 18 种
2.若(1 + )5的展开式各项系数之和为 1，则实数 为( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
3.西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量
(单位：克)近似服从正态分布 (90,100)，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间(100,110)内的概率为( )
附：若 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤
+ 3 ) ≈ 0.9973．
A. 0.4545 B. 0.1827 C. 0.2718 D. 0.1359
4
4.二项式 2 + 6 的展开式中有理项的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.已知 ( ) = 14
2 + sin( π2 + )，
′( )为 ( )的导函数，则 ′( )的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6 1.设 ， 为两个事件，若 ( ∩ ) = 3， ( ) =
2
3，则 ( | )等于( )
A. 4 1 2 19 B. 9 C. 9 D. 2
7 5.已知随机变量 的分布列：满足 = + 3, ( ) = 3，则 的值为( )
1 0 1
1 1 1
2 3 6
第 1页，共 9页
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
8.设 ≠ 0，若 为函数 ( ) = ( )2( )的极大值点，则( )
A. < B. > C. < 2 D. > 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设(1 + 3 ) = 0 + 1 + 2 2 + + ，若 5 = 6，则下列结论正确的是( )
A. = 7
B. = 11
C. 0 1 + 2 3 + + ( 1) = 128
D. 1 = 35
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲乙丙按从左到右的顺序(可以不相邻)，则不同排法共有 20 种
B.如果甲乙不相邻，则不同排法共有 36 种
C.如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有 36 种
D.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有 48 种
11.下列选项正确的是( )
A.若随机变量 服从两点分布，也称 0 1 分布，且 ( ) = 1 ( ) = 12，则 8
C C2 B.若随机变量 满足 ( = ) = 2 42 , = 0,1,2，则 ( ) =
2
C6 3
C.若随机变量 , 2 , ( ≤ 4) = ( ≥ 0)，则 = 2
D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 ，若 (10,0.7)，则此人最有可能 7 次击中目标
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某流水线上生产的一批零件，其规格指标 可以看作一个随机变量，且 (98, 2)，对于 ≥ 100 的
零件即为不合格，不合格零件出现的概率为 0.05，现从这批零件中随机抽取 400 个，用 用表示 400 个零
件的规格指标 位于区间(96,100)的个数，则随机变量 的方差是 ．
13.盒中装有 3 个黄球和 1 个红球，现从盒中每次随机取出 1 个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，
取到黄球的个数为 ，则 ( ) =
14.若函数 ( ) = 1 33
2 + 存在单调递减区间，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化
消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了 200 名消费者，得到如下列联
表：
年龄不超过 40 岁 年龄超过 40 岁 合计
是微短剧消费者 30 45
不是微短剧消费者
合计 100 200
(1)根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过 40 岁”有关联？
(2)记 2020 2024 年的年份代码 依次为 1，2，3，4，5，下表为 2020 2023 年中国微短剧市场规模及
2024 年中国微短剧预测的市场规模 (单位：亿元)与 的统计数据：
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 9.4 36.8 101.7 373.9
根据上表数据求得 关于 的经验回归方程为 = 132.71 192.85，求相关系数 ，并判断该经验回归方程
是否有价值．
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ， 0.05 = 3.841．

5 2 =1 = 442.03，相关系数 =
=1 ． 10 = 3.16．
2 2 =1 =1
若| | ≥ 0.75，则认为经验回归方程有价值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + 在 = 2 处取得极小值 5．
(1)求实数 , 的值；
(2)当 ∈ [0,3]时，求函数 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
我国是全球制造业大国，制造业增加值自 2010 年起连续 12 年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，
为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行
技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为 (单位：nm).
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(1)现有旧设备生产的零件共 8 个，其中直径大于 10nm 的有 4 个.现从这 8 个零件中随机抽取 3 个.记 表示
取出的零件中直径大于 10nm 的零件的个数，求 的分布列及数学期望 ( )；
(2) 3技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为4，每个零件是否合格相互独立.现任取 6 个零件进行检测，
若合格的零件数 超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及 的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径 ～ (9,0.04)，从生产的零件中随机取出 10 个，求至少有一个零件
直径大于 9.4nm 的概率．
参考数据：若 , 2 ，则 | | ≤ ≈ 0.6827， | | ≤ 2 ≈ 0.9545, | | ≤ 3 ≈
0.9973, 0.9772510 ≈ 0.7944，0.954510 ≈ 0.6277.
18.(本小题 17 分)
设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测
合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节 和环节 ，两
个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲 乙两款车
4 3
型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过 环节的概率分别为5 , 4，乙车通过 环节的概率分
2 3 16 10
别为3 , 4，路面测试环节中甲 乙款车合格的概率分别为19 , 11．
(1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
(2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为 ，求 的分布列与均值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ln ， ∈ ．
(1)若曲线 ( )在 = 1 处的切线与直线 2 + 3 + 1 = 0 垂直，求 的值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3) 1当 ∈ e , e 时， ( ) ≥ ( + 2) ，求 的取值范围．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.36
13.54
14.( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
15.(1)2 × 2 列联表如下：
年龄不超过 40 岁 年龄超过 40 岁 合计
是微短剧消费者 30 15 45
不是微短剧消费者 70 85 155
合计 100 100 200
零假设 0“是微短剧消费者”与“年龄不超过 40 岁”无关联，
2 = 200×(30×85 70×15)
2
因为 100×100×45×155 ≈ 6.452 > 3.841 = 0.05，
根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过 40
岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05．
(2)由 的取值依次为 1，2，3，4，5，得 = 3，5 2 =1 = 10，
因为经验回归方程为 = 132.71 192.89，
5 5
所以 = =1 5 =
=1
=1 2 10
= 132.71，
所以5 =1 = 1327.1，
第 5页，共 9页
=
5
=1 = 1327.1所以 3.16×442.03 ≈ 0.95．5 =1 2 5 =1 2
因为| | = 0.95 > 0.75，所以该经验回归方程有价值．
16.【详解】(1)由题意可知 ′( ) = 6 2 2 + 12，
因为 ( )在 = 2 处取极小值 5，所以 ′(2) = 24 4 + 12 = 0，解得 = 9，
此时 ′( ) = 6 2 18 + 12 = 6( 1)( 2)，
所以 ( )在(1,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增
所以 ( )在 = 2 时取极小值，符合题意
所以 = 9, ( ) = 2 3 9 2 + 12 + ，又 (2) = 4 + = 5，所以 = 1．
综上 = 9, = 1．
(2)由(1)得 ( ) = 2 3 9 2 + 12 + 1，所以 ′( ) = 6( 1)( 2)
列表如下：
(0,1) (1,2) (2,3)
0 1 2 3
′( ) + +
0 0
( ) ↗ ↘ ↗
1 极大值 6 极小值 5 10
故 ∈ [0,3]时， ( )的值域为[1,10]．
17.【详解】(1)由题意，可知 可取 0，1，2，3，
0 3 1 2 2 1 3 0
( = 0) = C4C4 = 1， ( = 1) = C4C4 = 3 C C 33 14 3 7， ( = 2) =
4 4
3 = 7， ( = 3) =
C4C4 = 13 14，C8 C8 C8 C8
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 3 3 1
14 7 7 14
第 6页，共 9页
1 3 3 1 3从而 的数学期望 ( ) = 0 × 14 + 1 × 7 + 2 × 7 + 3 × 14 = 2．
(2) 3可取的值为 0，1，2，3，4，5，6，显然 ～(6, 4 )，
( = 4) = C46(
3 )4( 14 4 )
2 = 1215 5 3 5 1 7294096， ( = 5) = C6( 4 ) ( 4 ) = 2048，
( = 6) = ( 34 )
6 = 7294096．
1701
所以技术攻坚成功的概率 ( ≥ 4) = ( = 4) + ( = 5) + ( = 6) = 2048，
所以 的方差 ( ) = 6 × 3 3 94 × (1 4 ) = 8．
(3)由 (9,0.04)，得 = 0.2，由 (| | ≤ 2 ) ≈ 0.9545，得 (8.6 < < 9.4) ≈ 0.9545，
则 (9 < < 9.4) = 12 (8.6 < < 9.4) ≈ 0.47725，
1
于是 ( ≥ 9.4) = 2 (9 < < 9.4) ≈ 0.02275，则 ( ≤ 9.4) = 1 ( ≥ 9.4) ≈ 0.97725，
记“从生产的零件中随机取出 10 个，至少有一个零件直径大于 9.4 ”为事件 ，
则 ( ) = 1 ( ) ≈ 1 0.9772510 ≈ 1 0.7944 = 0.2056．
所以至少有一个零件直径大于 9.4 的概率为 0.2056．
【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且
两种试验结果发生的概率分别为 ，1 ；二是看是否为 次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这
次独立重复试验中发生的次数．
18.【详解】(1)设事件 表示甲车通过实验室测试，事件 表示乙车通过实验室测试，
则 ( ) = 1 1 4 × 1 3 19 2 3 115 4 = 20， ( ) = 1 1 3 × 1 4 = 12，
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：
+ = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 19 × 1 1120 12 + 1
19 × 11 120 12 = 8；
(2)随机变量 可能的取值为：0,1,2，
19 16 4 11 10 5
由题意，甲、乙车投产的概率分别为20 × 19 = 5 , 12 × 11 = 6，
所以 ( = 0) = 15 ×
1 1
6 = 30，
( = 1) = 4 × 1 + 1 × 5 = 9 = 35 6 5 6 30 10，
( = 2) = 4 5 25 × 6 = 3，
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0 1 2
1 3 2
30 10 3
1
所以数学期望 ( ) = 0 × 30 + 1 ×
3
10 + 2 ×
2
3 =
49
30．
19. 【详解】(1)因为 ( ) = 2 + ln ，所以 ′( ) = 2 + ，
所以 ′(1) = 2 + ，
又 ( )在 = 1 2处的切线与直线 2 + 3 + 1 = 0 垂直，所以 ′(1) 3 = 1，
3 1
即 2 + = 2，所以 = 2．
2
(2) ′( ) = 2 + =
2 +
， > 0．
①当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
< 0 ′( ) = 0 2 = ②当 时，令 ，得 2，又 > 0，所以 = 2．

当 ∈ 0, 2 时，
′( ) < 0， ( ) 单调递减；当 ∈ 2, + ∞ 时，
′( ) > 0， ( )单调递增．
综上，当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；

当 < 0 时， ( )在 0, 2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增．
(3)由 ( ) ≥ ( + 2) 1，得 ln ≤ 2 2 在 e , e 上恒成立．
令 ( ) = ln ， > 0，则 ′( ) = 1 1 = 1，令 ′ ( ) = 0，得 = 1，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1 > 0，即 ln > 0，
2
≤ 2 1则 ln 在 e , e 上恒成立．
2
( ) = 2 ∈ 1令 ln ， e , e ，
(2 2) ln 2 2 1 1
则 ′( ) = ln 2
= 2( 1) ln ( 2)( 1) = ( 1) +2 2ln ln 2 ln 2 ．
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因为 ∈ 1e , e ，所以 ln ≤ 1，则 + 2 2ln > 0，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
当 ∈ 1 ′e , 1 时， ( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ 1, e 时，
′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )min = (1) = 1，
所以 ≤ 1，即 的取值范围是( ∞, 1]．
第 9页，共 9页

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