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2024-2025 学年内蒙古呼和浩特市和林格尔县民族中学高一下学期第
一次质量监测考试（期中）试数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列现象是必然现象的是( )
A.某路口每星期发生交通事故 1 次 B.冰水混合物的温度是 1°C
C.三角形的内角和为 180° D.一个射击运动员每次射击都命中 7 环
2. 1650°的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某中学有高中生 1000 人，初中生 3000 人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽中的高中生人数为( )
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
4.某人在一次考试中每门课得分如下：60,59,76,90,85,100,则数据的第 75 百分位数为( )
A. 87.5 B. 85 C. 90 D. 100
5.从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事
件中，是对立事件的是( )
A.恰好有一件次品与全是次品 B.至少有一件次品与全是次品
C.至少有一件次品与全是正品 D.至少有一件正品与至少有一件次品
6.经过 5 分钟，分针的转动角为( )
A. 60 B. 30 C. 30 D. 60
7.掷一个骰子的试验，事件 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 表示“出现小于 5 的点数”，若 表示
的对立事件，则在一次试验中，事件 ∪ 发生的概率为( )
A. 13 B.
1
2 C.
2 D. 53 6
8.若 sin < 0 且 tan < 0，则角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.下列说法中正确的个数是( )①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是
负角；④小于 90°的角都是锐角．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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10 π ≤ ≤ π + π.集合 3 , ∈ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.2024 年巴黎奥运会中男单八进四中樊振东逆转张本智和挺进男单四强，体现了中国体育健儿顽强的意
志品质与拼搏精神，其 7 场的得分分别为 2，9，11，11，4，11，11，则这组数据的( )
A.极差为 9 B.中位数为 11 C.平均数大于 9 D. 30%分位数为 9
12.下列说法中，正确的是( )
A. 330°是第四象限角
B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角大于第一象限的角
D. 若角 为第二象限角，那么2为第一象限角
13.已知 是第二象限角，则2可以是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
14.计算 sin30° = ．
15.如图是 6 株果树植株挂果个数(两位数)的茎叶图，则 6 株果数植株挂果个数的中位数为 ．
16.函数 ( ) = 2025tan 3 + π8 的最小正周期为 ．
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17.已知在一次随机试验 中，定义两个随机事件 ， ，若 ( ) = 0.4， ( ) = 0.3， ( ∩ ) = 0.1，则 ( ∪
) = ．
18.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 的样本，其频率直方图如图所示，
其中支出在[20,30)内的同学有 10 人，则 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 57 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 12 分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 100 名职工，根据这 100 名职工对该部门的
评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为[40,50), [50,60), , [80,90), [90,100]．
(1)求图中 的值；
(2)估计该企业 100 名职工对该部门评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求这 2 人评分都在[50,60)的概率．
20.(本小题 10 分)
从 2 名男生(记为 1和 2)和 3 名女生(记为 1, 2和 3)组成的总体中，任意依次抽取 2 名学生．
(1)不放回简单随机抽样求出抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率．
(2)有放回简单随机抽样求出抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率．
21.(本小题 11 分)
化简求值
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(1) 4已知 cos = 5， 在第二象限，求 sin 和 tan 的值；
(2) tan = 2 sin +cos 已知 ，求sin 3cos 的值．
22.(本小题 12 分)
求下列函数的定义域：
(1) = tan 2；
(2) = 11 tan ．
(3) = tan ；
23.(本小题 12 分)
(1)已知角 顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ( 1,2)．
求值：(ⅰ)sin ；
sin π + cos( )
(ⅱ)
sin π2 +
(2) cos π = 1 π 2π若 3 3，求 sin 6 + cos 3 + 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.12或 0.5
15.21.5
16.π3
17.35或 0.6
18.100
19.解：(1)因为 10(0.004 + + 0.018 + 0.022 × 2 + 0.028) = 1，解得： = 0.006．
(2)因为：45 × 0.04 + 55 × 0.06 + 65 × 0.22 + 75 × 0.28 + 85 × 0.22 + 95 × 0.18 = 76.2，
所以估计该企业 100 名职工对该部门评分的平均数为 76.2．
(3)因为评分[40,50)的受访职工有 100 × 0.04 = 4 人，评分[50,60)的受访职工有 100 × 0.06 = 6 人，从这 10
人中任选 2 人，这 2 人评分都在[50,60)的概率为：
C2 = 6 = 1．
C210 3
20.解：(1)从 5 名学生中，不放回地任意依次抽取 2 名学生的所有可能结果为：
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( 1, 2), ( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 3), ( 1, 1), ( 1, 2),
( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 1), ( 2, 3), ( 3, 1), ( 3, 2), ( 3, 1), ( 3, 2)，
共 20 种结果．
设事件 为抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生，则事件 发生的所有可能结果为：
( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 3), ( 1, 1), ( 1, 2), ( 2, 1), ( 2, 2),
( 3, 1), ( 3, 2)，共 12 种结果．
12 3
由古典概型的概率计算公式得： ( ) = 20 = 5，
3
即不放回简单随机抽样求出抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为5．
(2)有放回简单随机抽样抽取 2 名学生的所有可能结果为：
( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 3),
( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 1)( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 3),
( 3, 1), ( 3, 2), ( 3, 1), ( 3, 2), ( 3, 3)，共 25 种结果．
设事件 为抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生，则事件 发生的所有可能结果为：
( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), ( 2, 1), ( 2, 2), ( 2, 3), ( 1, 1), ( 1, 2), ( 2, 1), ( 2, 2),
( 3, 1), ( 3, 2)，共 12 种结果．
12
由古典概型的概率计算公式得： ( ) = 25，
12
即有放回简单随机抽样求出抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为25．
21.解：(1) 4 3由于 cos = 5， 在第二象限，所以 sin = 1 cos
2 = 5，
sin
所以 tan = cos =
3
4．
(2)依题意，tan = 2，
sin +cos = tan +1 = 2+1所以sin 3cos tan 3 2 3 = 3．
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22.解：(1) 令 2 + <
< 2 2 + ， ∈ ，得 + 2 < < + 2 ， ∈ ，
故函数 的定义域为 + 2 < < + 2 , ∈ ．
(2) 由题意，1 tan ≠ 0 解得 ≠ 4 + ， ∈ ，

故函数 的定义域为 2 + < < 2 + ,且 ≠ 4 + , ∈ ．
(3)由题意，tan ≥ 0，则 ∈ ≤ < 2 + , ∈ ，

故函数 的定义域为 ≤ < 2 + , ∈ ．
23.解：(1)由于角 的终边经过 ( 1,2)，
(ⅰ) 2 2 5故 sin = = ，
( 1)2+22 5
(ⅱ)tan = 2 1 = 2，
sin π +cos( ) = sin +cos π cos = tan + 1 = 2 + 1 = 1，sin 2+
π π π π 1
(2)sin 6 + = sin 2 3 = cos 3 = 3 ,
cos 2π3 + = cos π
π = cos π3 3 =
1
3，
故 sin π6 + cos
2π
3 + =
1 1 1
3 × 3 = 9，
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